高等数学第九章高等数学第九章ppt第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用一一 二重积分的概念二重积分的概念1）曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积1 两个实例两个实例解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线, 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面，“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” 求其体积求其体积.2 2第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)“3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体3 3第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用4)“4)“取极限取极限”令令4 4第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用2）平面薄片的质量）平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求求 极限极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .5 5第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量6 6第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 7 7第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用2 二重积分的定义及可积性二重积分的定义及可积性定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使可积可积 , 在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的上的有界有界函数函数 , 8 8第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分二重积分这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作实例实例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:实例实例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:（称其为（称其为直角坐标下的面积元素直角坐标下的面积元素），），记作记作9 9第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数(证明略)在在D上可积上可积.在有界闭区域在有界闭区域 D则则上连续上连续,对二重积分定义的说明对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是当被积函数大于零时，二重积分是曲顶曲顶柱体的体积柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是当被积函数小于零时，二重积分是曲顶曲顶柱体的柱体的体积的负值体积的负值1010第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用二二 二重积分的性质二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质）性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性1111第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用性质性质 若若 为为的面积，的面积，性质性质 若在若在D D上上则有则有特殊地特殊地性质性质（二重积分估（二重积分估 值不等式）值不等式）1212第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用性质性质（二重积分（二重积分 中值定理）中值定理）证证: 由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点使使因此因此1313第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1414第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用例例2. 判断积分判断积分的正负号的正负号.解解:则则原式原式 =猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计 .舍去此项舍去此项分积分域为分积分域为1515第一节第一节第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第第第九九九九章章章章 重重重重积积积积分分分分及及及及其其其其应应应应用用用用解解1616