2.2等差数列把握热点考向应用创新演练第二章数列考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第一课时等差数列的概念及通项公式第一课时等差数列的概念及通项公式第一课时等差数列的概念及通项公式 1一个剧场设置了一个剧场设置了20排座位，从第排座位，从第1排起各排起各排的座位数为：排的座位数为：38,40,42,44,46 2鞋的尺码，按照国家统一规定，有鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5 3某长跑运动员某长跑运动员7天里每天的训练量天里每天的训练量(单位：单位：m)是：是：7 500,8 000,8 500,9 000,9 500,10 000,10 500 问题问题1：这三组数是数列吗？：这三组数是数列吗？ 提示：提示：是数列是数列 问题问题2：这三组数有何共同特点？：这三组数有何共同特点？ 提示：提示：这三组数的共同特点是：在每一组数中，后这三组数的共同特点是：在每一组数中，后一个数减去前一个数的差都是同一个常数一个数减去前一个数的差都是同一个常数 等差数列等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项减去它如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于的前一项所得的差都等于 常数，那么这常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的列的 通常用字母通常用字母d表示表示.同一个同一个公差公差1,3,5,7,9，问题问题1：该数列是等差数列吗？公差：该数列是等差数列吗？公差d是多少？是多少？提示：提示：是等差数列，是等差数列，d2.问题问题2：能否用项数：能否用项数n，表示第，表示第n项项an呢？呢？提示：提示：1211，3221，5231，7241，an2n1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式 对于等差数列对于等差数列an的第的第n项项an有：有： an . a1(n1)d 1等差数列定义的理解：等差数列定义的理解： (1)“每一项与它的前一项的差每一项与它的前一项的差”这一运算要求这一运算要求 是指是指“相邻且后项减去前项相邻且后项减去前项”强调了：强调了：作差的顺作差的顺序；序；这两项必须相邻这两项必须相邻 (2)定义中的定义中的“同一常数同一常数”是指全部的后项减去是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列为等差数列 2在等差数列的通项公式在等差数列的通项公式ana1(n1)d中有中有4个个 变量变量an、a1、n、d，在这，在这4个变量中可以个变量中可以“知三求一知三求一”其其作用为：作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首已知等差数列的任意两项，就可以求出首 项项 和公差从而可求等差数列中的任一项；和公差从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项 例例1判断下列数列是否为等差数列判断下列数列是否为等差数列 (1)在数列在数列an中中an3n2； (2)在数列在数列an中中ann2n. 思路点拨思路点拨利用利用an1an是否为常数进行判断是否为常数进行判断 精解详析精解详析(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)，由由n的任意性知，这个数列为等差数列的任意性知，这个数列为等差数列 (2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列不是常数，所以这个数列不是等差数列 一点通一点通判断一个数列是否为等差数列主要是利用判断一个数列是否为等差数列主要是利用定义，利用定义法判断时，关键是看定义，利用定义法判断时，关键是看an1an得到的结果得到的结果是不是一个与是不是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列是，则不是等差数列1已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为anpn2qn(常数常数p， qR)p，q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列an是等差数列？是等差数列？解：解：anpn2qn，an1anp(n1)2q(n1)pn2qnpn22pnpqnqpn2qn2pn(pq)若数列若数列an为等差数列，为等差数列，则则p0，q为任意实数为任意实数 例例2若等差数列若等差数列an中，中，apq，aqp，且，且pq，求求apq. 思路点拨思路点拨利用通项公式求出首项和公差，再利利用通项公式求出首项和公差，再利用通项公式求用通项公式求apq，或利用等差数列的通项公式是关于，或利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数解决的一次函数解决 一点通一点通知道等差数列中的任意两项，都可利知道等差数列中的任意两项，都可利用方程组的思想求出用方程组的思想求出a1，d，此类解法突出等差数列，此类解法突出等差数列两个基本量两个基本量a1，d的作用此题中的法二计算简捷，的作用此题中的法二计算简捷，但对特殊数列的定义要理解深刻法三运用了函数思但对特殊数列的定义要理解深刻法三运用了函数思想，想，an是关于是关于n的一次函数因此，的一次函数因此， 点点(n，an)都在一都在一条直线上，从而任意两点确定的斜率都是相等的条直线上，从而任意两点确定的斜率都是相等的3等差数列等差数列1，3，7，11，的通项公式的通项公式 _ 解析：解析：a11，d4， ana1(n1)d 1(n1)(4) 54n. 答案：答案：an54n4已知等差数列已知等差数列an中，中，a26，a515，若，若bn a2n， 则则 b15等于等于_答案：答案：905在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a511，a85，求，求a10. 例例3某公司经销一种数码产品，第某公司经销一种数码产品，第1年可获利年可获利200万元从第万元从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？司经销这一产品将亏损？ 思路点拨思路点拨分析题意，明确题中每年获利构成等分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可列的知识解决即可 精解详析精解详析由题设可知第由题设可知第1年获利年获利200万元，第万元，第2年年获利获利180万元，第万元，第3年获利年获利160万元，万元，每年获利构成，每年获利构成等差数列等差数列an，且当，且当an0时，该公司会出现亏损时，该公司会出现亏损设从第设从第1年起，第年起，第n年的利润为年的利润为an，则，则anan120，n2，nN*.所以每年的利润可构成一个等差数列所以每年的利润可构成一个等差数列an，且首项且首项a1200，公差，公差d20.所以所以ana1(n1)d22020n.若若an0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an22020n11，即从第即从第12年起，该公司经销此产品将亏损年起，该公司经销此产品将亏损 一点通一点通(1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决(2)在利在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题问题6已知已知ABC内有内有2 006个点，其中任意三点不共线，把个点，其中任意三点不共线，把这这2 006个点加上个点加上ABC的三个顶点，共的三个顶点，共2 009个点作为个点作为顶点组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角顶点组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角形的个数为形的个数为_解析：解析：设设ABC内有内有n个点时，小三角形有个点时，小三角形有an个现个现增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，且此增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，且此点把此小三角形分成三个与原来所有小三角形都不相点把此小三角形分成三个与原来所有小三角形都不相叠的三个小三角形，故总数多出了两个，即叠的三个小三角形，故总数多出了两个，即an1an2.因此，数列因此，数列an是以是以a13为首项，为首项，2为公差的等差为公差的等差数列，于是数列，于是a2 0063(2 0061)24 013.答案：答案：4 0137梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽，最低一级宽110 cm，中，中 间还有间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间级，各级的宽度成等差数列，计算中间 各级的宽度各级的宽度 解：解：用用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差表示梯子自上而下各级宽度所成的等差 数列，由已知，得数列，由已知，得a133，a12110，n12. 由通项公式，得由通项公式，得a12a1(121)d， 即即1103311d，解得，解得d7.因此，因此，a233740，a340747，a454，a561，a668，a775，a882，a989，a1096，a11103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. (1)在等差数列的通项公式在等差数列的通项公式ana1(n1)d中，共中，共有四个量已知任意三个量可求得第四个量，其中首有四个量已知任意三个量可求得第四个量，其中首项和公差称之为基本量涉及等差数列的基本概念的项和公差称之为基本量涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量问题，常用基本量a1，d来处理在解题中，善于选择来处理在解题中，善于选择公式，即尽量减少运算量，可达到快速、准确解题的公式，即尽量减少运算量，可达到快速、准确解题的目的目的(2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法：判断一个数列是否为等差数列的常用方法：方法方法符号语言符号语言结论结论定义法定义法anan1d(常数常数) (n2且且nN*)an是等是等差数列差数列等差中项法等差中项法2anan1an1(n2且且nN*)通项公式法通项公式法anknb(k，b为常数，为常数，nN*)