1.1.理解平面向量的概念理解平面向量的概念, ,两个向量相等的含义两个向量相等的含义, ,向量的向量的 几何表示几何表示. .2.2.掌握向量的加法、减法的运算掌握向量的加法、减法的运算, ,并理解其几何意义并理解其几何意义; ; 掌握向量数乘的运算及其意义掌握向量数乘的运算及其意义; ;理解两个向量共线的理解两个向量共线的 含义含义; ;了解向量的线性运算的性质及其含义了解向量的线性运算的性质及其含义. .3.3.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量 的正交分解及其坐标表示的正交分解及其坐标表示, ,会用坐标表示平面向量的会用坐标表示平面向量的 加法、减法与数乘的运算加法、减法与数乘的运算; ;理解由坐标表示的平面向理解由坐标表示的平面向 量的共线条件量的共线条件. .学案学案12 12 平面向量平面向量 4.4.理解平面向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义; ;了解平面向量的数量了解平面向量的数量 积与向量投影的关系；掌握向量数量积的坐标表示积与向量投影的关系；掌握向量数量积的坐标表示, , 会进行平面向量数量积的运算会进行平面向量数量积的运算, ,能用数量积表示两个能用数量积表示两个 向量的夹角向量的夹角, ,会用数量积判断两个平面向量的垂直关会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系系. .5.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题及其它一些实际问题问题及其它一些实际问题. . 1.(20091.(2009北京北京) )已知向量已知向量a a、b b不共线不共线, ,c c=k=ka a+ +b b(k (kR),R), d d= =a a- -b b, ,如果如果c cd d, ,那么那么 ( )( ) A. A.k k=1=1且且c c与与d d同向同向 B.B.k k=1=1且且c c与与d d反向反向 C.C.k k=-1=-1且且c c与与d d同向同向 D.D.k k=-1=-1且且c c与与d d反向反向解析解析 c cd d,c c= = d d, ,即即k ka a+ +b b= (= (a a- -b b).). 又又a a、b b不共线，不共线， c c=-=-d d,c c与与d d反向反向. . D D2.(20092.(2009全国全国)设设a a、b b、c c是单位向量是单位向量, ,且且a ab b=0, =0, 则则( (a a- -c c) )( (b b- -c c) )的最小值为的最小值为 ( )( ) A.-2 B. C.-1 D. A.-2 B. C.-1 D.解析解析 a ab b=0,=0,且且a a, ,b b, ,c c均为单位向量，均为单位向量， |a a+ +b b|= ,|= ,|c c|=1.|=1. ( (a a- -c c) )( (b b- -c c)=)=a ab b-(-(a a+ +b b) )c c+ +c c2 2. . 设设a a+ +b b与与c c的夹角为的夹角为 则则( (a a- -c c) )( (b b- -c c)=1-|)=1-|a a+ +b b| | |c c| | 故故( (a a- -c c) )( (b b- -c c) )的最小值为的最小值为D D3.(20093.(2009重庆重庆) )已知已知| |a a|=1,|=1,|b b|=6,|=6,a a( (b b- -a a)=2,)=2,则向则向 量量a a与与b b的夹角是的夹角是 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D.解析解析 a a( (b b- -a a)=)=a ab b- -a a2 2=2,=2,a ab b=2+=2+a a2 2=3=3 cos cosa a, ,b b= = a a与与b b的夹角为的夹角为C C4.(20094.(2009浙江浙江) )设向量设向量a a, ,b b满足满足:|:|a a|=3,|=3,|b b|=4,|=4,a ab b= = 0. 0.以以a a, ,b b, ,a a- -b b的模为边长构成三角形的模为边长构成三角形, ,则它的边与半则它的边与半 径为径为1 1的圆的公共点个数最多为的圆的公共点个数最多为 ( )( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6解析解析 对于半径为对于半径为1 1的圆有一个位置正好是三角形的的圆有一个位置正好是三角形的 内切圆，此时只有三个交点内切圆，此时只有三个交点, ,对于圆的位置稍一右移对于圆的位置稍一右移 或其他的变化，能实现或其他的变化，能实现4 4个交点的情况个交点的情况, ,但但5 5个及以上个及以上 的交点不能实现的交点不能实现. . B B题型一题型一 平面向量的基本概念及运算平面向量的基本概念及运算【例【例1 1】(1)(2009(1)(2009湖南湖南) )如图所示如图所示, ,D D, ,E E, ,F F分别是分别是 ABCABC的边的边ABAB, ,BCBC, ,CACA的中点的中点, ,则则 ( )( ) A. = A. =0 0 B. = B. =0 0 C. = C. =0 0 D. = D. =0 0解析解析 = =0 0 = =0 0A A(2)(2009(2)(2009福建福建) )设设a a, ,b b, ,c c为同一平面内具有相同起点为同一平面内具有相同起点 的任意三个非零向量的任意三个非零向量, ,且满足且满足a a与与b b不共线不共线, ,a ac c,|,|a a|=|= | |c c|,|,则则| |b bc c| |的值一定等于的值一定等于 ( )( ) A. A.以以a a, ,b b为两边的三角形的面积为两边的三角形的面积 B.B.以以b b, ,c c为两边的三角形的面积为两边的三角形的面积 C.C.以以a a, ,b b为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积 D.D.以以b b, ,c c为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积 解析解析 若若| |a a|=|=|c c|=1,|=1,|b b|=2,|=2,a a, ,b b= = c c, ,b b= = 则则| |b bc c|=2|=21 1 =1. =1.而以而以a a, ,b b为两边的三角形为两边的三角形 面积面积S S= |= |a a|b b| | 以以b b, ,c c为两边的三角形面为两边的三角形面 积积S S= |= |b b| | |c c| | 以以a a, ,b b为邻边的平行四为邻边的平行四 边形的面积边形的面积S S=|=|a a| | |b b| | =1, =1,以以b b, ,c c为邻边的平为邻边的平 行四边形的面积行四边形的面积S S=|=|b b| | |c c| | = = 故排除故排除A A、 B B、D,D,选选C.C. 答案答案 C C 【探究拓展探究拓展】对于向量的有关运算，要画出图形并结】对于向量的有关运算，要画出图形并结 合图形进行运算，特别要熟练掌握向量运算的三角形合图形进行运算，特别要熟练掌握向量运算的三角形 法则和平行四边形法则以及向量的基本定理及性质法则和平行四边形法则以及向量的基本定理及性质. 变式训练变式训练1 (1)(20091 (1)(2009山东山东) )设设P P是是ABCABC所在平面所在平面 内的一点内的一点, , 则则 ( )( ) A. = A. =0 0 B. = B. =0 0 C. = C. =0 0 D. = D. =0 0 解析解析 因为因为 所以点所以点P P为线段为线段ACAC的中点的中点. .(2)(2009(2)(2009全国全国)已知向量已知向量a a=(2,1),=(2,1),a ab b=10,|=10,|a a+ +b b| | = = 则则| |b b| |等于等于 ( )( ) A. B. C.5 D.25 A. B. C.5 D.25解析解析 50=|50=|a a+ +b b| |2 2=|=|a a| |2 2+2+2a ab b+|+|b b| |2 2 =5+20+| =5+20+|b b| |2 2，|b b|=5. |=5. C CC C题型二题型二 平面向量与三角函数的问题平面向量与三角函数的问题【例【例2 2】(2009(2009湖南湖南) )已知向量已知向量a a= = b b=(1,2).=(1,2). (1) (1)若若a ab b, ,求求 的值；的值； (2)(2)若若| |a a|=|=|b b|, |, 解解 (1)(1)因为因为a ab b, ,所以所以 (2)(2)由由| |a a|=|=|b b| |知知, ,【探究拓展探究拓展】 向量的坐标形式沟通了向量与三角函向量的坐标形式沟通了向量与三角函 数、解析几何等的联系数、解析几何等的联系, ,向量的概念及运算是处理这向量的概念及运算是处理这 类问题的基础及桥梁类问题的基础及桥梁. . 变式训练变式训练2 2 (2009 (2009上海上海) )已知已知ABCABC的角的角A A、B B、C C所所 对的边分别是对的边分别是a a、b b、c c, ,设向量设向量m m=(=(a a, ,b b),),n n=(sin =(sin B B, , sin sin A A),),p p=(=(b b-2,-2,a a-2).-2). (1) (1)若若m mn n, ,求证求证:ABCABC为等腰三角形；为等腰三角形； (2)(2)若若m mp p, ,边长边长c c=2,=2,角角C C= = 求求ABCABC的面积的面积. . (1) (1)证明证明 m mn n,a asin sin A A= =b bsin sin B B, ,即即 其中其中R R是三角形是三角形ABCABC外接圆半径，外接圆半径，a a= =b b， ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. . (2)(2)解解 由题意可知由题意可知m mp p，即即a a( (b b-2)+-2)+b b( (a a-2)=0,-2)=0,a a+ +b b= =abab, ,由余弦定理可知，由余弦定理可知，4=4=a a2 2+ +b b2 2- -abab=(=(a a+ +b b) )2 2-3-3abab, ,即即( (abab) )2 2-3-3abab-4=0,-4=0,abab=4(=4(舍去舍去abab=-1)=-1)题型三题型三 平面向量与解析几何的问题平面向量与解析几何的问题【例【例3 3】在直角坐标系】在直角坐标系xOyxOy中中, ,点点P P到两点到两点(0, ),(0, ), (0, ) (0, )的距离之和为的距离之和为4,4,设点设点P P的轨迹为的轨迹为C C, ,直线直线y y= =kxkx+ + 1 1与与C C交于交于A A, ,B B两点两点. . (1) (1)写出写出C C的方程；的方程； (2)(2)若若 求求k k的值的值; ; (3) (3)若点若点A A在第一象限在第一象限, ,证明证明: :当当k k0 0时时，恒有恒有| | | | | |.|. (1) (1)解解 设设P P( (x x, ,y y),),由椭圆定义可知，由椭圆定义可知， 点点P P的轨迹的轨迹C C是以是以(0, ),(0, )(0, ),(0, )为焦点，为焦点， 长半轴为长半轴为2 2的椭圆的椭圆. .它的短半轴它的短半轴(2)(2)解解 设设A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),其坐标满足其坐标满足消去消去y y并整理得并整理得( (k k2 2+4)+4)x x2 2+2+2kxkx-3=0,-3=0,若若 即即x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0.=0.而而y y1 1y y2 2= =k k2 2x x1 1x x2 2+ +k k( (x x1 1+ +x x2 2)+1,)+1,化简得化简得-4-4k k2 2+1=0,+1=0,所以所以(3)(3)证明证明因为因为A A在第一象限在第一象限, ,故故x x1 10.0.即在题设条件下，恒有即在题设条件下，恒有【探究拓展探究拓展】向量与平面解析几何都具有数与形结合】向量与平面解析几何都具有数与形结合 的特征的特征, ,在它们的知识交汇处命题在它们的知识交汇处命题, ,正是高考命题的正是高考命题的 一大亮点，它不仅考查了向量的有关知识一大亮点，它不仅考查了向量的有关知识, ,更体现了更体现了 向量的工具性作用，题中常涉及到夹角、平行、垂向量的工具性作用，题中常涉及到夹角、平行、垂 直、共线、长度等问题直、共线、长度等问题, ,通常用向量的坐标运算通常用向量的坐标运算, ,把把 几何中的条件转化为坐标，使问题的解决变得直观几何中的条件转化为坐标，使问题的解决变得直观 化、简单化，从而使问题顺利解决化、简单化，从而使问题顺利解决. . 变式训练变式训练3 3 如图所示如图所示, ,已知点已知点F F(1,(1, 0) 0)，直线，直线l l: :x x=-1=-1，P P 为平面上的动为平面上的动 点，过点，过P P作直线作直线l l的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点 Q Q, ,且且 (1)(1)求动点求动点P P的轨迹的轨迹C C的方程；的方程； (2)(2)过点过点F F的直线交轨迹的直线交轨迹C C于于A A, ,B B两点两点, ,交直线交直线l l于点于点MM, , 解解 (1)(1)设点设点P P( (x x, ,y y),),则则Q Q(-1,(-1,y y),),由由 得得( (x x+1,0)+1,0)(2,-(2,-y y)=()=(x x-1,-1,y y) )(-2,(-2,y y) )， 化简得化简得C C: :y y2 2=4=4x x. . (2)(2)设直线设直线ABAB的方程为：的方程为：x x= =mymy+1 (+1 (m m0).0).设设A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),又又 题型四题型四 平面向量的应用平面向量的应用【例【例4 4】如图所示】如图所示, ,三角形三角形ABCABC中中, , 已知已知ABAB= =ACAC=5,=5,BCBC=6,=6,MM是是ACAC边边 上靠近上靠近A A点的一个三等分点点的一个三等分点, ,试试 问在线段问在线段BMBM( (端点除外端点除外) )上是否上是否 存在点存在点P P, ,使得使得PCPCBMBM？解解 以点以点B B为原点为原点, ,BCBC所在的直线为在的直线为x x轴轴, ,建立平面直建立平面直 角坐标系角坐标系, ,如图所示如图所示, , 因为因为ABAB= =ACAC=5,=5,BCBC=6,=6, 所以所以B B(0,0),(0,0),A A(3,4),(3,4),C C(6,0),(6,0),则则 =(3,-4), =(3,-4), 又又MM是是ACAC边上靠近边上靠近A A点的一个三等分点，点的一个三等分点，假设在线段假设在线段BMBM( (端点除外端点除外) )上存在点上存在点P P使得使得PCPCBMBM, , 这与这与 (0,1)(0,1)矛盾矛盾, ,所以在线段所以在线段BMBM( (端点除外端点除外) )上不存上不存在点在点P P使得使得PCPCBMBM. . 【探究拓展探究拓展】本题是存在性问题，若用一般的平面几】本题是存在性问题，若用一般的平面几何知识去解何知识去解, ,将非常繁杂将非常繁杂, ,但利用共线向量但利用共线向量, ,则能巧妙则能巧妙解决此问题，在今后的解题中注意体会及应用解决此问题，在今后的解题中注意体会及应用. .变式训练变式训练4 4 (2009 (2009陕西陕西) )在在ABCABC中中, ,MM是是BCBC的中点的中点, , AMAM=1,=1,点点P P在在AMAM上且满足上且满足 等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 MM是是BCBC的中点的中点, ,则则A A【考题再现】【考题再现】 (2009(2009湖北湖北) )已知向量已知向量a a= = b b= = c c=(-1,0).=(-1,0). (1) (1)求向量求向量b b+ +c c的长度的最大值；的长度的最大值； (2)(2)设设 且且a a(b b+ +c c),),求求 的值的值. .【解题示范解题示范】 解解 (1)(1)b b+ +c c= = | |b b+ +c c| |2 2= = 2 2分分-1 1,0|0|b b+ +c c| |2 24,4,即即0|0|b b+ +c c|2. 4|2. 4分分 当当 =-1=-1时时, ,有有| |b b+ +c c|=2|=2， 所以向量所以向量b b+ +c c的长度的最大值为的长度的最大值为2.2. 6 6分分(2)(2)由已知可得由已知可得b b+ +c c= =a a( (b b+ +c c)=)= 因为因为a a(b b+ +c c),),a a( (b b+ +c c)=0,)=0,1.1.向量有几何法和坐标法两种表示向量有几何法和坐标法两种表示, ,它的运算也因这它的运算也因这 两种不同的表示而有两种方式两种不同的表示而有两种方式, ,因此向量问题的解决因此向量问题的解决 可有两个途径可有两个途径, ,即基于几何表示的几何法和基于坐标即基于几何表示的几何法和基于坐标 运算的代数法运算的代数法, ,在具体解题时在具体解题时, ,要善于从不同的角度要善于从不同的角度 考虑问题考虑问题. .2.2.解决向量垂直问题解决向量垂直问题: :两个非零向量两个非零向量a a, ,b b垂直的充要条垂直的充要条 件为件为a ab b=0;=0;若若a a=(=(x x1 1, ,y y1 1),),b b=(=(x x2 2, ,y y2 2),),则则a ab b x x1 1x x2 2 + +y y1 1y y2 2=0.=0.说明说明: :a ab b a ab b=0=0的适用前提是向量的适用前提是向量a a, ,b b 均为非零向量均为非零向量, ,这一条件不可忽视这一条件不可忽视, ,切记切记. .3.3.两向量夹角问题：若两个非零向量两向量夹角问题：若两个非零向量a a，b b的夹角记为的夹角记为 a a, ,b b= (1) (2)= (1) (2)若若a a=(=(x x1 1, ,y y1 1),),b b=(=(x x2 2, , y y2 2),),则则 说明说明: :a ab b0 0 a a与与b b的夹角为锐角或零度角的夹角为锐角或零度角; ;a ab b0 0 a a与与b b的夹的夹 角为钝角或平角角为钝角或平角; ;a ab b=0=0 a a与与b b的夹角为直角的夹角为直角. .一、选择题一、选择题1.(20091.(2009辽宁辽宁) )平面向量平面向量a a与与b b的夹角为的夹角为6060, ,a a=(2,0),=(2,0), | |b b|=1,|=1,则则| |a a+2+2b b| |等于等于 ( )( ) A. B. C.4 D.12 A. B. C.4 D.12 解析解析 由题意可知，由题意可知， a ab b=|=|a a| | |b b|cos 60|cos 60=2=21 1 =1, =1, 而而| |a a+2+2b b| |2 2=|=|a a| |2 2+4|+4|b b| |2 2+4+4a ab b=4+4+4=12,=4+4+4=12, 所以所以| |a a+2+2b b|= |= B B2.(20092.(2009浙江浙江) )已知向量已知向量a a=(1,2),=(1,2),b b=(2,-3).=(2,-3).若向量若向量c c 满足满足( (c c+ +a a)b b, ,c c(a a+ +b b),),则则c c等于等于 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 不妨设不妨设c c=(=(m m, ,n n),),则则a a+ +c c=(1+=(1+m m,2+,2+n n),),a a+ +b b=(3,=(3, -1), -1),对于对于( (c c+ +a a)b b, ,则有则有-3(1+-3(1+m m)=2(2+)=2(2+n n);); 又又c c(a a+ +b b),),则有则有3 3m m- -n n=0,=0,则有则有D D3.(20093.(2009重庆重庆) )设设ABCABC的三个内角的三个内角A A, ,B B, ,C C, ,向量向量m m= = ( sin ( sin A A,sin ,sin B B),),n n=(cos =(cos B B, cos , cos A A),),若若m mn n=1+=1+ cos( cos(A A+ +B B),),则则C C等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由题意可知由题意可知, ,m mn n= (sin = (sin A Acos cos B B+ + cos cos A Asin sin B B)= sin()= sin(A A+ +B B)=1+cos()=1+cos(A A+ +B B),), 即即 sin sin C C+cos +cos C C=2sin(=2sin(C C+ )=1,+ )=1,C C4.(20094.(2009海南海南) )已知已知O O, ,N N, ,P P在在ABCABC所在平面内所在平面内, ,且且 = =0 0 则点则点O O, ,N N, ,P P依次是依次是ABCABC的的 ( )( ) A. A.重心重心 外心外心 垂心垂心 B.B.重心重心 外心外心 内心内心 C.C.外心外心 重心重心 垂心垂心 D.D.外心外心 重心重心 内心内心 ( (注注: :三角形的三条高线交于一点三角形的三条高线交于一点, ,此点为三角形的垂此点为三角形的垂 心心) ) 解析解析 由由 知点知点O O是是ABCABC的外心的外心; ;由由 = =0 0知点知点N N是是ABCABC的重心的重心; ;由由 知点知点P P是是ABCABC的垂心的垂心. . C C5.5.如图所示如图所示, ,O O, ,A A, ,B B是平面上的三点是平面上的三点, , 向量向量 = =a a, =, =b b, ,设设P P为为ABAB的垂直平的垂直平 分线分线CPCP上的任意一点上的任意一点, ,向量向量 = =p p, ,若若 | |a a|=4,|=4,|b b|=2,|=2,则则p p( (a a- -b b) )等于等于 ( )( ) A.6 B.5 A.6 B.5 C.3 D.1 C.3 D.1 解析解析 p p= (= (a a+ +b b)+)+ =( =(a a- -b b) p p( (a a- -b b)= ()= (a a+ +b b) )( (a a- -b b) ) = ( = (a a2 2- -b b2 2)=)=A A6.6.已知已知O O是是ABCABC所在平面上的一点所在平面上的一点, ,且满足且满足 = =0 0, , 则点则点O O ( )( ) A. A.在在ABAB边上边上 B.B.在在ACAC边上边上 C.C.在在BCBC边上边上 D.D.在在ABCABC内部内部 解析解析 由题意可知由题意可知 = =0 0, , 所以点所以点O O在在BCBC上上. . C C二、填空题二、填空题7.(20097.(2009天津天津) )若等边若等边ABCABC的边长为的边长为 平面内一平面内一 点点MM满足满足 =_.=_. 解析解析 建立如图所示的直角坐标建立如图所示的直角坐标 系系, ,因为三角形是正三角形因为三角形是正三角形, ,故设故设 C C(0,0),(0,0),A A( ,0),( ,0),B B( ,3),( ,3), 求得求得 然后求得然后求得-2-28.8.a a, ,b b的夹角为的夹角为120120,|,|a a|=1,|=1,|b b|=3|=3，则，则|5|5a a- -b b|=_.|=_. 解析解析 因为因为a ab b=1=13 3 所以所以|5|5a a- -b b| |2 2=(5=(5a a- -b b) )2 2=25=25a a2 2+ +b b2 2-10-10a ab b=49. =49. 因此因此|5|5a a- -b b|=7.|=7.9.9.如图如图, ,在在ABCABC中中,BACBAC=120=120, , ABAB=2,=2,ACAC=1,=1,D D是边是边BCBC上一点上一点, ,DCDC =2 =2BDBD, ,则则 =_.=_. 解析解析 由余弦定理得由余弦定理得7 7答案答案10.10.设点设点O O在在ABCABC的内部的内部, ,且有且有 = =0 0, , 则则ABCABC的面积与的面积与AOCAOC的面积的比是的面积的比是_._. 解析解析 如图如图, ,取取BCBC与与ACAC的中点的中点 MM、N N, ,连结连结OMOM、ONON. . = =0 0, , = =0 0, , O O、MM、N N三点共线三点共线. . MNMN是是ABCABC的中位线的中位线, ,且且ONON=2=2OMOM,ABAB=3=3ONON 则则ABCABC的面积与的面积与AOCAOC的面积的比是的面积的比是3. 3. 3 3三、解答题三、解答题11.11.已知向量已知向量a a= = b b= = c c= = (1,-1), (1,-1),其中其中 (1)(1)求证求证:(:(a a+ +b b)()(a a- -b b);); (2) (2)设函数设函数f f( (x x)=(|)=(|a a+ +c c| |2 2-3)(|-3)(|b b+ +c c| |2 2-3),-3),求求f f( (x x) )的最大的最大 值和最小值值和最小值. . (1) (1)证明证明 因为因为( (a a+ +b b) )( (a a- -b b）= =a a2 2- -b b2 2 =1-1=0, =1-1=0,所以所以( (a a+ +b b)()(a a- -b b). ). (2)(2)解解 因为因为| |a a+ +c c| |2 2-3-3| |b b+ +c c| |2 2-3=-3=所以函数所以函数f f( (x x)=(|)=(|a a+ +c c| |2 2-3)-3)(|(|b b+ +c c| |2 2-3)-3)所以当所以当sin sin x x= = 时时,f f( (x x)maxmax= =当当sin sin x x=1=1时时,f f( (x x)minmin=-8. =-8. 1212. .已知正项数列已知正项数列 a an n 的前的前n n项和为项和为 S Sn n,且且4,4,a an n+1,+1,S Sn n成成 等比数列等比数列, ,向量向量a a=(-1,1),=(-1,1),b b=(1,1),=(1,1),点点P Pn n满足满足 =(=(a an n -1)-1)a a+ + b b ( (n nNN* *, ,O O是原点是原点).). (1) (1)求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式; ; (2) (2)试判断点试判断点P P1 1, ,P P2 2, ,P P3 3, , ,P Pn n是否共线是否共线, ,并说明理由并说明理由. . 解解 (1)(1)由题意可得由题意可得:(:(a an n+1)+1)2 2=4=4S Sn n 且且a a1 1=1,(=1,(a an n-1-1+1)+1)2 2=4=4S Sn n-1-1 ( (n n2) 2) 由由整理得整理得:(:(a an n- -a an n-1-1-2)(-2)(a an n+ +a an n-1-1)=0,)=0, 由由a an n0,0,a an n- -a an n-1-1=2 (=2 (n n2),2), 所以数列所以数列 a an n 是以是以1 1为首项为首项,2,2为公差的等差数列为公差的等差数列. . a an n=2=2n n-1 (-1 (n nNN* *). ). (2)(2)因为因为 =(=(a an n-1)-1)a a+ + b b ( (n nNN* *, ,O O是原点是原点).).=(=(a ak k-1)-1)a a+ + b b- -( (a a1 1-1)-1)a a- - b b设向量设向量c c=(-3,5), =(-3,5), c c c c, ,所以所以, ,点点P P1 1, ,P P2 2, ,P P3 3, , ,P Pn n共线共线. . 返回