(MonteCarlo)蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡洛法利用随机模拟和统计实验利用随机模拟和统计实验的方法求某些数学、物理的方法求某些数学、物理和工程问题近似解的数值和工程问题近似解的数值方法方法计算圆周率的问题（谱丰问题计算圆周率的问题（谱丰问题Buffon1777）2axLL任投一针的概率意义为：任投一针的概率意义为：1、针的中点至距它最近的平行线的距离、针的中点至距它最近的平行线的距离x是是(0，a)上均匀分布上均匀分布的随机数；的随机数；2、针与线的夹角、针与线的夹角是(0，)上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数;3、随机数、随机数x、互相独立。互相独立。蒙特卡洛法针线相交的充要条件：针线相交的充要条件：若投针若投针n次，相交次，相交m次，当次，当n 时时x和和的概率密度为的概率密度为1/1/a a和和1/ 1/ 最后得到最后得到值为：值为：蒙特卡洛法一些人进行了实验，其结果列于下表一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929蒙特卡洛法 为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。蒙特卡洛法计算机模拟：计算机模拟：通过一定的公式产生服从通过一定的公式产生服从(0，1)均匀分布的随机数均匀分布的随机数ri(i=1,2,.)通过变换得到服从通过变换得到服从(0，)和和(0，a)均匀分布的随机数：均匀分布的随机数：如果满足：如果满足：则针线相交。进行则针线相交。进行n模拟，其中模拟，其中m次相交。次相交。计算高维积分、解椭圆和抛物线型偏微分方程解、计算高维积分、解椭圆和抛物线型偏微分方程解、代数方程组、计算逆矩阵等代数方程组、计算逆矩阵等蒙特卡洛法蒙特卡洛方法的收敛性、误差及特点蒙特卡洛方法的收敛性、误差及特点设某个随机变量的简单样本为设某个随机变量的简单样本为其算术平均为其算术平均为由强大数定理由强大数定理蒙特卡洛法蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法的的近近似似值值与与真真值值的的误误差差问问题题，概概率率论论的的中中心心极极限限定定理理给给出出了了答答案案。该该定定理理指指出出，如如果果随随机机变变量量序序列列X1，X2，XN独独立立同同分分布布，且且具具有有有有限限非零的方差非零的方差2，即，即 f(X)是是X的分布密度函数。则的分布密度函数。则蒙特卡洛法当当N充分大时，有如下的近似式充分大时，有如下的近似式其中其中称为置信度，称为置信度，1称为置信水平。称为置信水平。通常，蒙特卡罗方法的误差通常，蒙特卡罗方法的误差定义为定义为上式中上式中与置信度与置信度是一一对应的，根据问题的要求确定出置信是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出水平后，查标准正态分布表，就可以确定出。蒙特卡洛法下面给出几个常用的下面给出几个常用的与与的数值：的数值：关关于于蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法的的误误差差需需说说明明两两点点：第第一一，蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法的的误误差差为为概概率率误误差差，这这与与其其他他数数值值计计算算方方法法是是有有区区别别的的。第第二二，误差中的均方差误差中的均方差是未知的是未知的，0.50.050.003l la0.67451.963蒙特卡洛法工程结构的破坏概率可以表示为工程结构的破坏概率可以表示为用蒙特卡洛方法用蒙特卡洛方法当选取当选取95%置信度时置信度时抽样方差抽样方差蒙特卡洛法用相对误差表示用相对误差表示由于一般由于一般pf是一个小量，可以近似表示为是一个小量，可以近似表示为如果如果e e=0.1蒙特卡洛法减小方差的各种技巧减小方差的各种技巧 显显然然，当当给给定定置置信信度度后后，误误差差由由和和N决决定定。要要减减小小，或或者者是是增增大大N，或或者者是是减减小小方方差差2。在在固固定定的的情情况况下下，要要把把精精度度提提高高一一个个数数量量级级，试试验验次次数数N需需增增加加两两个个数数量量级级。因因此此，单单纯纯增增大大N不是一个有效的办法。不是一个有效的办法。另一方面，如能减小估计的均方差另一方面，如能减小估计的均方差，比如降低一半，那，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。因此降低方差的增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低各种技巧，引起了人们的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。方差的技巧。蒙特卡洛法蒙特卡洛方法特点蒙特卡洛方法特点p程序结构简单，模拟过程灵活，限制条件少，能够比较程序结构简单，模拟过程灵活，限制条件少，能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。p误差具有概率的特征，即是概率意义的误差误差具有概率的特征，即是概率意义的误差p误差只与样本标准差和样本大小有关。误差只与样本标准差和样本大小有关。与样本元素所在的空间无关。与样本元素所在的空间无关。p收敛速度与问题的维数无关收敛速度与问题的维数无关p具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。p收敛速度慢。收敛速度慢。蒙特卡洛法能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程及物理实验过程蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。形象的特点。蒙特卡洛法受几何条件限制小受几何条件限制小在计算在计算s维空间中的任一区域维空间中的任一区域Ds上的积分上的积分时，无论区域时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述的形状多么特殊，只要能给出描述Ds的几何的几何特征的条件，就可以从特征的条件，就可以从Ds中均匀产生中均匀产生N个点个点，得到积分的近似值。，得到积分的近似值。其中其中Ds为区域为区域Ds的体积。这是其他数值方法难以作到的。的体积。这是其他数值方法难以作到的。另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。原则上的困难。蒙特卡洛法收敛速度与问题的维数无关收敛速度与问题的维数无关由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的收敛速度为，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增加，而且，由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。蒙特卡洛法具有同时计算多个方案与多个未知量的能力具有同时计算多个方案与多个未知量的能力对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计算所有的方案，其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。例如，对于屏蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。 另外，使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个所求量。例如，在模拟粒子过程中，可以同时得到不同区域的通量、能谱、角分布等，而不像常规方法那样，需要逐一计算所求量。 蒙特卡洛法误差容易确定误差容易确定对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并不是一件容易的事情，而蒙特卡罗方法则不然。根据蒙特不是一件容易的事情，而蒙特卡罗方法则不然。根据蒙特卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误差。对干很复杂的蒙特卡罗方法计算问题，也是容易确定差。对干很复杂的蒙特卡罗方法计算问题，也是容易确定的。的。一般计算方法常存在着有效位数损失问题，而要解决一般计算方法常存在着有效位数损失问题，而要解决这一问题有时相当困难，蒙特卡罗方法则不存在这一问题。这一问题有时相当困难，蒙特卡罗方法则不存在这一问题。程序结构简单，易于实现程序结构简单，易于实现在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。强，易于实现。蒙特卡洛法收敛速度慢收敛速度慢如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度为 ，一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数少（三维以下）的问题，不如其他方法好。误差具有概率性误差具有概率性由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。计算结果与系统大小有关计算结果与系统大小有关对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结果往往比真值偏低。蒙特卡洛法中子穿透问题：中子穿透问题：已知中子垂直进入厚度为已知中子垂直进入厚度为3d的铅壁，设每个中子在铅的铅壁，设每个中子在铅壁中每次走过壁中每次走过d后才与铅原子碰撞，碰撞后随机弹射，走过后才与铅原子碰撞，碰撞后随机弹射，走过d后再和第二个铅原子碰撞，如此反复，每个中子可能穿透后再和第二个铅原子碰撞，如此反复，每个中子可能穿透铅壁、返回，若经铅壁、返回，若经10次碰撞后没有穿透或返回则被铅壁吸次碰撞后没有穿透或返回则被铅壁吸收收。求穿透、返回和吸收的概率。求穿透、返回和吸收的概率。x是是(0,2(0,2) )均匀分布均匀分布计算机模拟计算机模拟50005000个中子，结果穿透的占个中子，结果穿透的占26.3%26.3%，吸收的占，吸收的占22%22%，返回的占，返回的占51%51%蒙特卡洛法（0 0，1 1）均匀分布随机数的生成：）均匀分布随机数的生成：乘同余法：乘同余法：混合同余法：混合同余法：若若C C取正奇数，取正奇数，M=2M=2k k，=4q+1=4q+1，x x0 0取任意非负数，最取任意非负数，最大周期大周期T=2T=2k k蒙特卡洛法由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，属罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。样中若干个性近似地反映总体的共性。随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。蒙特卡洛法随机数的统计检验：随机数的统计检验：参数检验（矩检验）：参数检验（矩检验）： 检验随机数子样的均值与理论均值的差异是否显著。检验随机数子样的均值与理论均值的差异是否显著。在在(0,1)(0,1)上均匀分布的随机数的期望和方差为上均匀分布的随机数的期望和方差为设随机变量设随机变量R R共有共有n n个观察值个观察值r r1 1，r r2 2，r rn n，由中心极限定理得：由中心极限定理得：其中：其中：蒙特卡洛法设随机变量设随机变量R R共有共有n n个观察值个观察值r r1 1，r r2 2，r rn n，由中心极限定理得：由中心极限定理得：其中：其中：渐近服从标准正态分布渐近服从标准正态分布 N N（0 0，1 1）。）。所以可以进行所以可以进行u u检验。当检验。当给定显著水平后，即可根据正态分布表确定临界值。检验时一给定显著水平后，即可根据正态分布表确定临界值。检验时一般可取显著水平为般可取显著水平为=0.05=0.05，此时的临界值为此时的临界值为1.961.96。当。当 有显著差异。有显著差异。蒙特卡洛法 均匀性检验又称频率检验，检验随机数子样的经验频均匀性检验又称频率检验，检验随机数子样的经验频率与理论频率的差异是否显著。率与理论频率的差异是否显著。 把（把（0 0，1 1）等分成）等分成k k个区间，以个区间，以(i-)/k,(i/k)(i=1i-)/k,(i/k)(i=1，2 2，k)k)表示第表示第k k个小区间，如个小区间，如r ri i是是(0(0，1)1)均匀分布随机数均匀分布随机数的一个样本，则落在任意一个小区间上的概率的一个样本，则落在任意一个小区间上的概率P Pi i为这些小区为这些小区间的长度间的长度1/1/k k，故故n n个样本落在任意小区间内的概率为个样本落在任意小区间内的概率为m mi i=nP=nPi i=n/k=n/k。设落在第设落在第i i个小区间内有个小区间内有n ni i个，则统计量：个，则统计量：均匀性检验：均匀性检验：蒙特卡洛法渐近服从渐近服从2 2（k-1k-1）分布分布如果给定显著水平如果给定显著水平=0.05=0.05；若：若：独立性检验：独立性检验： 独立性检验，检验随机数子样中前后各数的相关性是独立性检验，检验随机数子样中前后各数的相关性是否显著。否显著。两个随机变量的相关系数可以反映它们之间的线性相关程度。两个随机变量的相关系数可以反映它们之间的线性相关程度。设给定随机数设给定随机数r r1 1，r r2 2，r rn n，计算前后距离为计算前后距离为k k的样本相关系的样本相关系数。数。蒙特卡洛法其中：其中：在统计假设在统计假设k=0k=0成立时，当成立时，当n n充分大时，统计量：充分大时，统计量：渐近服从标准正态分布渐近服从标准正态分布N N（0 0，1 1），），故可以进行故可以进行u u检验。检验。除了上述三种基本检验外，还有其他检验，如组合规律除了上述三种基本检验外，还有其他检验，如组合规律检验，连贯性检验等。检验，连贯性检验等。蒙特卡洛法任意分布随机数的生成任意分布随机数的生成利用利用(0,1)(0,1)均匀分布的随机数可以生成任意分布的随机数均匀分布的随机数可以生成任意分布的随机数1 1、反函数法：（针对分布函数是显函数时的方法）、反函数法：（针对分布函数是显函数时的方法）反函数定理：如果随机数反函数定理：如果随机数x x的分布函数的分布函数F(x)F(x)连续，则连续，则R=FR=F( (x)x)是是(0,1)(0,1)上均匀分布的随机变量。（直接抽样的基础）上均匀分布的随机变量。（直接抽样的基础）如果如果F(x)F(x)是显函数，则有是显函数，则有x=Fx=F-1-1(R)(R)如果已经得到如果已经得到(0,1)(0,1)上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数r r1 1，r r2 2，r rn n， x xi i=F=F-1-1(r(ri i) )则：则：x x1 1，x x2 2，x xn n，是是(-, )(-, )上服从上服从F(x)F(x)分布。分布。蒙特卡洛法产生产生 a a，bb上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数给定给定r ri i，则有则有蒙特卡洛法产生服从指数分布的随机数产生服从指数分布的随机数给定给定r ri i，则有：则有：由于由于r ri i为为(0,1)(0,1)上均匀分布的随机数，则有上均匀分布的随机数，则有1-1-r ri i也为也为(0,1)(0,1)上上均匀分布的随机数。均匀分布的随机数。则有：则有：蒙特卡洛法2 2、舍选法、舍选法已知已知f(x)f(x)，并集中在有限区间并集中在有限区间( (a,b)a,b)内，即内，即步骤：步骤：选取选取( (a,b)a,b)为为f(x)f(x)的取值区间。的取值区间。选取常数选取常数c c使其在使其在( (a,b)a,b)有有cf(x)1cf(x)r2 cf(z1)r2 为服从为服从f(x)f(x)分布的第一个随机数。分布的第一个随机数。 如果如果cf(z1)r2 cf(z1)r2 舍去舍去 重复重复 得出一系列服从得出一系列服从f(x)f(x)分布的随机数分布的随机数这种方法适合于形状比较平坦的这种方法适合于形状比较平坦的f(x)f(x)，如果如果f(x)f(x)在某一小区在某一小区间内的取值变化比较大，该方法就不稳定间内的取值变化比较大，该方法就不稳定蒙特卡洛法产生标准正态分布的随机数产生标准正态分布的随机数已知标准正态分布的概率密度函数为已知标准正态分布的概率密度函数为选择选择并取区间并取区间(-(-a,a),aa,a),a根据精度取根据精度取5 5或或6 6产生一对产生一对(0(0，1 1) )上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数r r1 1,r,r2 2，并将并将r r1 1变成变成(-(-a,a)a,a)上上均匀分布的随机数均匀分布的随机数如果如果如果不满足上述条件，则舍去。继续取一对如果不满足上述条件，则舍去。继续取一对(0(0，1 1) )上均匀分上均匀分布的随机数布的随机数r r1 1,r,r2 2进行舍选。最终得出一系列服从标准正态分进行舍选。最终得出一系列服从标准正态分布的随机数布的随机数z zi i。作变换作变换的随机数的随机数则取则取z z1 1为一个服从为一个服从f(x)f(x)的随机数的随机数蒙特卡洛法3 3、离散逼近法、离散逼近法设已知设已知f(x)f(x)，并集中在有限区间并集中在有限区间( (a,b)a,b)内。将内。将( (a,b)a,b)分成分成n n等份等份其分点为：其分点为：a=xa=x0 0xx1 1xx2 2 xxn n=b,=b,计算每个子区间中的概率计算每个子区间中的概率显然有：显然有：又将又将(0,1)(0,1)分成分成n n等份，其分点为：等份，其分点为：0=0=r r0 0rr1 1rr2 2 rrn n=1,=1,同时有同时有r ri i-r-ri-1i-1=p=pi i产生产生(0,1)(0,1)均匀分布的随机数均匀分布的随机数r,r,作变换作变换蒙特卡洛法4 4、随机变量函数法、随机变量函数法设随机变量设随机变量Z Z是是其它随机其它随机x xi i，i=1,2,i=1,2,n,n的函数的函数如果随机变量如果随机变量x xi i,i=1,2,i=1,2,n ,n 互相独立，各自均有不同的分互相独立，各自均有不同的分布且已知。布且已知。可以利用上述的方法产生服从各自分布的随机变量可以利用上述的方法产生服从各自分布的随机变量x xi i, ,代入代入函数关系得到函数关系得到z zj j，j=1,2,j=1,2,Z Z落在区间落在区间( (x xi-1i-1,x,xi i) )的概率为：的概率为：只要只要n n充分大，充分大，z z就可以近似作为服从就可以近似作为服从f(x)f(x)分布的随机数。分布的随机数。蒙特卡洛法几种常见的抽样公式，几种常见的抽样公式，已知已知R,RR,R1 1,R,R2 2为为(0,1)(0,1)上上均匀分布的随机数均匀分布的随机数标准正态分布标准正态分布指数分布指数分布（X X1 1,x,x2 2为互相独立的随机变量）为互相独立的随机变量）蒙特卡洛法威布尔分布威布尔分布正态分布正态分布对数正态分布对数正态分布蒙特卡洛法多维随机变量舍选法多维随机变量舍选法已知已知n n维概率密度函数维概率密度函数f(xf(x1 1,x,x2 2, ,x xn n) )，并集中在有限区间并集中在有限区间( (a a1 1,b,b1 1) )(a a2 2,b,b2 2) ).(.(a an n,b,bn n) )内内选取常数选取常数c c使其在定义域上有使其在定义域上有c cf(xf(x1 1,x,x2 2, ,x xn n) r) rn+1n+1 为服从为服从f(xf(x1 1,x,x2 2, ,x xn n) )分布的第一个随机数。分布的第一个随机数。 如果如果c cf(zf(z1 1,z,z2 2, ,z zn n) r) rn+1 n+1 舍去舍去 蒙特卡洛法加速收敛加速收敛蒙特卡洛方法是用随机变量的样本推断母体的性质。而样本蒙特卡洛方法是用随机变量的样本推断母体的性质。而样本总量是有限的，因此推断总有误差。已证明当总量是有限的，因此推断总有误差。已证明当n n充分大时，充分大时，估计值的标准误差与估计值的标准误差与 成反比。也可以说收敛速度与成反比。也可以说收敛速度与 成反比。成反比。因此要将蒙特卡洛方法的计算精度提高一位，理论上必因此要将蒙特卡洛方法的计算精度提高一位，理论上必须成百倍地提高样本容量。实际上样本容量应提高一千须成百倍地提高样本容量。实际上样本容量应提高一千倍。倍。采用加速收敛的方法可以用同样的样本得到更精确的估采用加速收敛的方法可以用同样的样本得到更精确的估计量。其主要的途径是改进抽样方法。计量。其主要的途径是改进抽样方法。蒙特卡洛法对偶变量法对偶变量法z z,z,z为为z z的无偏估计，取的无偏估计，取z za a=(z=(z+z+z)/2)/2，E(zE(za a)=E(z),z)=E(z),za a也是无偏估计量也是无偏估计量如果如果z z,z,z负相负相关关则则负相关随机变量的产生：由负相关随机变量的产生：由n n个均匀分布的随机数个均匀分布的随机数r ri,i,i=1,2,i=1,2,n,n得到估计量得到估计量z z, ,由由1-1-r ri i,i=1,2,i=1,2,n,n得到得到z z，则则z z,z,z负相关。负相关。蒙特卡洛法重要性抽样法重要性抽样法若存在一个抽样密度函数若存在一个抽样密度函数h(X)h(X)，满足条件，满足条件蒙特卡洛法分层抽样法分层抽样法分层抽样法的概念与重要性抽样法相似，它们都是要使对分层抽样法的概念与重要性抽样法相似，它们都是要使对pipi贡献大的抽样出现的次数更多。分层抽样法并不改变原贡献大的抽样出现的次数更多。分层抽样法并不改变原始的密度函数，而是将抽样区间分成一些区间，并使各个始的密度函数，而是将抽样区间分成一些区间，并使各个区间的抽样点数不同，在贡献大的区间抽取更多的样本。区间的抽样点数不同，在贡献大的区间抽取更多的样本。将积分区域将积分区域G(X)0G(X)0分成分成M M个互不相交的子区域个互不相交的子区域LjLj，在每个，在每个区间内取区间内取NjNj个均匀分布在该区间的均匀分布的随机数。个均匀分布在该区间的均匀分布的随机数。蒙特卡洛法其它加速收敛的方法有：相关抽样法、控制变量其它加速收敛的方法有：相关抽样法、控制变量法、复合重要性抽样法、法、复合重要性抽样法、V空间重要性空间重要性抽样法等。抽样法等。例：计算积分例：计算积分一般一般MCMC法法方差方差重要性取样法重要性取样法 0.13 0.13 对偶变量法对偶变量法 0.05 0.05一般一般MCMC法法 1 1蒙特卡洛法例：一简单刚架，受重力例：一简单刚架，受重力w w、等效地震载荷等效地震载荷kwkw的作用。设立柱的的作用。设立柱的极限弯矩为极限弯矩为M M1 1，横梁的极限弯矩为横梁的极限弯矩为M2M2，其相关系数为其相关系数为0.80.8，假设，假设失效是由于产生塑性铰所致，各杆为等截面且抗弯刚度相同。失效是由于产生塑性铰所致，各杆为等截面且抗弯刚度相同。M M2 2M M1 1M M1 1M M2 2kwkwh hL L蒙特卡洛法除除w w外，外，k,Mk,M1 1,M,M2 2均服从正态分布，均服从正态分布，h=4.57m,L=6.10mh=4.57m,L=6.10m利用虚功原理可以得到失效方程：利用虚功原理可以得到失效方程：失效发生失效发生当当蒙特卡洛法利用蒙特卡洛方法模拟结构失效。利用蒙特卡洛方法模拟结构失效。根据根据k k，M M1 1各自的正态分布，产生各自的正态分布，产生k k，M M1 1的随机数，利用的随机数，利用M M1 1的随的随机数产生机数产生M M2 2利用产生的随机数利用产生的随机数k k，M M1 1 ，M M2 2和和w,h,Lw,h,L带如失效面方程，如果带如失效面方程，如果g0g0，则记数一次。重复则记数一次。重复n n次，次，g0g0发生发生m m次，则结构的失效概率为次，则结构的失效概率为蒙特卡洛法求某一球罐的失效概率，已知各个参数的分布及参数如下求某一球罐的失效概率，已知各个参数的分布及参数如下表所示。表所示。临界COD值随机变量随机变量分布密度函数分布密度函数分布参数分布参数初始当量裂纹深度a0膜应力 波动应力幅 材料常数C错边量应力集中系数 角变形应力集中系数 临界COD值 蒙特卡洛法失效判据失效判据参数敏感性指标计算参数敏感性指标计算参数敏感性指标各参数敏感性指标各个随机变量的变化对结构失效概率个随机变量的变化对结构失效概率的影响的影响 蒙特卡洛法变异系数变异系数蒙特卡洛法参数均值0510152025300.4380.530.580.610.630.670.690.740.1190.140.150.170.170.180.192.0114.5MPa0.2022.022.022.022.022.022.028.8MPa01.162.403.535.128.248.24C1.510-1101.020.040.060.080.110.131.24mm3.193.193.193.203.213.213.22a01.538mm2.592.652.722.772.862.943.02蒙特卡洛法