9.7抛物线基础知识自主学习课时训练题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习1.抛物线的概念抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .2.抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质知识梳理标准方程y22px(p0) y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离相等焦点准线图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F FFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下知识拓展知识拓展3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x .()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()思考辨析思考辨析考点自测1.(2016四川)抛物线y24x的焦点坐标是A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)对于y24x，焦点坐标为(1,0).答案解析2.(2016金华一诊)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案解析3.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.答案解析4.(2016合肥模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.答案解析2圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，题题型分型分类类深度剖析深度剖析题型一抛物线的定义及应用题型一抛物线的定义及应用例例1(1)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为答案解析(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_.4答案解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.引申探究引申探究1.若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值.解答由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，2.若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.解答由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.思维升华跟跟踪踪训训练练1设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，题型二抛物线的标准方程和几何性质题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点命题点1求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例例2已知双曲线C1： 1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为答案解析命题点命题点2抛物线的几何性质抛物线的几何性质例例3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：证明证明(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟跟踪踪训训练练2(1)(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4 ，|DE|2 ，则C的焦点到准线的距离为A.2 B.4 C.6 D.8答案解析(2)(2016昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 的最大值为答案解析题型三直线与抛物线的综合问题题型三直线与抛物线的综合问题命题点命题点1直线与抛物线的交点问题直线与抛物线的交点问题例例4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若 0，则k_.2答案解析命题点命题点2与抛物线弦的中点有关的问题与抛物线弦的中点有关的问题例例5(2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；证明(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解答(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法点差法”求解求解.思维升华跟跟踪踪训训练练3(2016天津模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0).(1)若点F到直线l的距离为 ，求直线l的斜率；解答由已知，得x4不合题意，设直线l的方程为yk(x4)，由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值.证明典典例例(14分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.直线与圆锥曲线问题的求解策略答题答题模板模板系列系列7思维点拨规范解答答题模板课时训练课时训练1.(2016太原模拟)若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于故选D.答案解析123456789101112132.(2016浙江统一检测)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果 12，那么抛物线C的方程为A.x28y B.x24y C.y28x D.y24x答案解析123456789101112133.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A.x1 B.x1 C.x2 D.x2答案解析123456789101112134.(2016绵阳模拟)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为答案解析123456789101112135.(2016九江一模)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|6， ，则的值为答案解析12345678910111213*6.(2016济南模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为答案解析123456789101112137.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|_.答案解析1212345678910111213答案解析2M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30，123456789101112139.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.答案解析612345678910111213*10.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.答案解析(2,4)1234567891011121311.(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，以A(x1，y1)(x10)为直角顶点的等腰直角ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线E上.(1)过Q(0，3)作抛物线E的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线E的方程；解答12345678910111213(2)求ABC面积的最小值.解答12345678910111213*13.如图，由部分抛物线：y2mx1(m0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和( ).(1)求“黄金抛物线C”的方程；“黄金抛物线C”的方程为y2x1(x0)和x2y21(x0).解答12345678910111213(2)设P(0,1)和Q(0，1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解答12345678910111213