A-1 指标符号指标符号附附A A 张量分析张量分析例例如如, , 三三维维空空间间任任意意一一点点P P在在笛笛卡卡儿儿坐坐标系标系用指标符用指标符号表示为号表示为i指标指标取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数n维数维数 数数变量变量指标符号指标符号一、一、求和约定求和约定和哑指标和哑指标 A-1 指标符号指标符号A A 张量分析张量分析约定约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维 A-1 指标符号指标符号代表代表代表代表2727项项项项的和式的和式的和式的和式一、一、求和约定求和约定和哑指标和哑指标 双重求和双重求和双重求和双重求和二、自由指标二、自由指标 筒写为筒写为筒写为筒写为 j 哑指标哑指标哑指标哑指标i自由指标自由指标自由指标自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 A-1 指标符号指标符号三、三、Kronecker- 符号符号和和置换置换符符号号( (RicciRicci符号符号) )Kronecker- 符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号三三、Kronecker- 符符号号和和置置换换符符号号( (RicciRicci符号符号) )Kronecker- 符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的基矢量基矢量基矢量基矢量 三、三、Kronecker- 符号符号和和置换置换符符号号( (RicciRicci符号符号) )RicciRicci符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号偶次置换奇次置换三、三、Kronecker- 符号符号和和置换置换符符号号( (RicciRicci符号符号) )RicciRicci符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号Kronecker-Kronecker- 和和RicciRicci符号符号的关系的关系A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 在三维空间中在三维空间中在三维空间中在三维空间中, , 任意矢任意矢任意矢任意矢量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基矢量的线性组合矢量的线性组合矢量的线性组合矢量的线性组合 a ai i i i为矢量为矢量为矢量为矢量a a在基矢量在基矢量在基矢量在基矢量e ei i i i下的分解系数下的分解系数下的分解系数下的分解系数, , , , 也称矢量也称矢量也称矢量也称矢量的分量的分量的分量的分量 一一、矢量点积、矢量点积 A A 张量分析张量分析A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 一一、矢量点积、矢量点积 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析证明证明证明证明A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析三三、矢量、矢量的混合的混合积积 A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 Ricci符号符号A A 张量分析张量分析四四、矢量、矢量的并乘的并乘(并矢并矢) A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 A A 张量分析张量分析并乘并乘A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 A A 张量分析张量分析坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换式式式式A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 A A 张量分析张量分析互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵基基基基矢量变换矢量变换矢量变换矢量变换式式式式任意向任意向任意向任意向量变换量变换量变换量变换式式式式A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 坐标坐标坐标坐标变换变换变换变换系数系数系数系数张量的定义张量的定义在坐在坐在坐在坐标标系系系系变换时变换时, , , ,满满足如下足如下足如下足如下变换变换关系的量称关系的量称关系的量称关系的量称为张为张量量量量 张张量的量的量的量的阶阶自由指自由指自由指自由指标标的数目的数目的数目的数目不变性记法不变性记法不变性记法不变性记法 A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 一一、加、加( (减减) )法法 二、矢量与张量的点积二、矢量与张量的点积( (点乘点乘) ) 左点乘左点乘左点乘左点乘 A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量, ,新新张量量b b比原比原张量量 T T的的阶数降低数降低一一阶 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 右右右右点乘点乘点乘点乘 对对称称张张量量两两者才相等者才相等A A 张量分析张量分析三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 左左左左叉叉叉叉乘乘乘乘 A A 张量分析张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量矢量与张量叉乘的结果仍为张量, , 新张量与原新张量与原张量同阶张量同阶 右叉右叉右叉右叉乘乘乘乘 三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析四四、两个两个张量的张量的点点积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 2 2 两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量, ,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘 五五、张量的、张量的双点双点积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 4 4 六六、张量的、张量的双叉乘双叉乘 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析七七、张量的、张量的缩并缩并 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中, , 将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘, , 其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量, , 这种运这种运算称为缩并算称为缩并 八八、指指标置置换换 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, , 得得到一个与原张量同阶的新张量到一个与原张量同阶的新张量 九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析若若张张量量的的任任意意两两个个指指标标经经置置换换后后所所得得的的张张量量与与原原张张量量相相同同, 则则称称该该张张量量关关于于这这两两个个指指标标为为对对称称, , 若若与与原原张张量量相相差差一一符符号号, , 则则称称该张量关于这两个指标为反称。该张量关于这两个指标为反称。有有6 6个独立分量个独立分量 有有3 3个独立分量个独立分量 九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析对对对对称称称称化化化化：对已知已知张量的量的N N个指个指标进行行N!N!次不同的置次不同的置换, , 并取所得的并取所得的N!N!个新个新张量的算量的算术平均平均值的运算的运算。其其结果果张量关于参与置量关于参与置换的指的指标为对称。将指称。将指标放放在在圆括弧内表示括弧内表示对称化运算称化运算。九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析反称化反称化反称化反称化: : : : 对已知已知张量的量的 N N 个指个指标进行行N!N!次不同的次不同的置置换, ,并将其中指并将其中指标经过奇次置奇次置换的新的新张量取反号量取反号, ,再求算再求算术平均平均值, , 这种运算称种运算称张量的反称化量的反称化, ,其其结果果张量关于参与置量关于参与置换的指的指标为反称。将指反称。将指标放在方括放在方括弧内表示反称运算弧内表示反称运算。 十十、商法则商法则 若在某坐若在某坐标系中按某系中按某规律律给出出 33=27 个数个数 A(ijk), 且且A(ijk)bk=Cij, 其中其中bk 是与是与A(ijk)无关的任意矢量无关的任意矢量 , , Cij是是张量量 , , 那么那么 , A(ijk)必必为比比Cij高一高一阶的的张量。量。 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析用于判定某些量的张量性！用于判定某些量的张量性！A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析B B的作用如同一个算子的作用如同一个算子, , 它使空它使空间内每一个向量内每一个向量变换为另一个向量另一个向量, , 或者或者说 B B 能把一个向量空能把一个向量空间映射映射为另一向量空另一向量空间。 A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T 对称张量对称张量对称张量对称张量 反反反反对称张量对称张量对称张量对称张量 A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T 和和和和b b b b为任意向量为任意向量为任意向量为任意向量 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）一一、仿射量的、仿射量的逆逆B B-1-1 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 对于于仿仿射射量量B, B, 若若存存在在三三个个相相互互垂垂直直的的方方向向i,ji,j, ,k k, , 其其映映象象 Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也也相相互互垂垂直直, , 则称称该三三个个方方向向为 B B 的的主主向向。对称称仿仿射射量量T T 必必存存在在三三个个主主向向和三个相和三个相应的主的主值。主。主值S S 满足如下特征方程。足如下特征方程。A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张量量 各向同性张量各向同性张量各向同性张量各向同性张量在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时, , , , 各分量保持各分量保持各分量保持各分量保持不变的张量不变的张量不变的张量不变的张量 零阶张量零阶张量( (标量标量) )总是各向同性的。一阶张量总是各向同性的。一阶张量( (即矢量即矢量) ) 总不是各向同性的。对于对称二阶张量总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,T,如果其如果其三个主值相等三个主值相等, , 即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,则是各向同性的。则是各向同性的。 A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张量量 证明：证明：证明：证明：(1)4个指标都相同的分量有3个A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张量量 证明：证明：证明：证明：(2) 4个指标有3个相同的分量有24个以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等， A1112 。必为零。所以 A1123=0。其它都为零。(3) 4个指标中有2个相同的分量有36个以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则将此三类分量用统一形式表示为：(3) 4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。 在空在空间所所论域内域内, , 每点定每点定义的同的同阶张量量, , 构成了构成了张量量场。一般。一般张量量场中被考察的中被考察的张量量随位置而随位置而变化。研究化。研究张量量场因位置而因位置而变化的化的情况使我情况使我们从从张量代数的量代数的领域域进入入张量分析量分析的的领域。域。笛卡儿坐笛卡儿坐标系中的系中的张量分析量分析。 A-6 A-6 张量分析张量分析一、哈一、哈密密顿( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) 设有标量场设有标量场设有标量场设有标量场 ( (x),x), 当位置点当位置点当位置点当位置点r(x)r(x)变到变到变到变到r(x+dx)r(x+dx)时时时时, , , , 的的的的增量增量增量增量d d 命为命为命为命为 梯度算子,矢量算子 A-6 A-6 张量分析张量分析一、哈一、哈密密顿( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) A-6 A-6 张量分析张量分析1. 1. 1. 1. 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度2. 2. 2. 2. 矢量场矢量场矢量场矢量场u u u u的散度的散度的散度的散度 一、哈一、哈密密顿( (Hamilton)Hamilton)算子算子( (梯度梯度算子算子) ) A-6 A-6 张量分析张量分析3. 3. 3. 3. 矢量的旋度矢量的旋度矢量的旋度矢量的旋度 二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析1. 1. 1. 1. 张张张张量量量量A A A A的的的的梯梯梯梯度度度度 左梯左梯左梯左梯度度度度 右梯右梯右梯右梯度度度度 张张张张量的量的量的量的梯梯梯梯度度度度为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量 二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析1. 1. 1. 1. 张张张张量量量量A A A A的的的的散散散散度度度度 左散左散左散左散度度度度 右散右散右散右散度度度度 张张张张量的量的量的量的散散散散度度度度为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量 二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析3. 3. 3. 3. 张张张张量量量量A A A A的的的的旋旋旋旋度度度度 左旋左旋左旋左旋度度度度 二二、张量场的微分张量场的微分 A-6 A-6 张量分析张量分析3. 3. 3. 3. 张张张张量量量量A A A A的的的的旋旋旋旋度度度度 右旋右旋右旋右旋度度度度 三三、散度定理散度定理 A-6 A-6 张量分析张量分析高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为 三三、散度定理散度定理 A-6 A-6 张量分析张量分析高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为任意阶张量任意阶张量任意阶张量任意阶张量 A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 一般一般一般一般讨论的张量讨论的张量讨论的张量讨论的张量, , , , 都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的, , , , 在解决具体问题时在解决具体问题时在解决具体问题时在解决具体问题时, , , , 往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系。 一一、曲线坐标、曲线坐标在笛卡儿坐标系在笛卡儿坐标系 , 空间任一点空间任一点 P 的向径是的向径是设在设在三维空间三维空间某连通区域某连通区域, 给定了笛氏坐标的三个给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数连续可微的单值函数 反函数反函数A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 若函数不是线性函数若函数不是线性函数, , 则称其为曲线坐标系则称其为曲线坐标系 用于编排指标用于编排指标用于编排指标用于编排指标iiii的次序的次序的次序的次序A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 在在笛笛卡卡儿儿坐坐标标系系, , 空空间间任任意意向向量量( (张张量量) )都都可可以以在在基基上上分分解。这种做法可进行两种不同的解释解。这种做法可进行两种不同的解释: :(l) (l) 空空间间里里只只有有一一个个固固定定在在原原点点的的基基e ei i, , 先先将将向向量量( (张量张量) )平行移至原点平行移至原点, , 然后在这基上分解。然后在这基上分解。(2)(2)在在定定义义区区域域内内每每点点都都有有一一个个与与e ei i相相同同的的基基, , 即即局局部部基基, , 向向量量( (张张量量) )在在本本作作用用点点的的局局部部基基上上就就地分解。地分解。 在在在在曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标系系系系, , , , 如如如如果果果果只只只只用用用用一一一一个个个个固固固固定定定定基基基基的的的的做做做做法法法法, , , , 就就就就会会会会使使使使曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标的的的的引引引引人人人人成成成成为为为为无无无无的的的的放放放放矢矢矢矢。我我我我们们们们采采采采用用用用第第第第二种做法二种做法二种做法二种做法, , , , 在空间每一点都建立在空间每一点都建立在空间每一点都建立在空间每一点都建立局部基局部基局部基局部基。 A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 取一点处坐标曲线的切向量取一点处坐标曲线的切向量取一点处坐标曲线的切向量取一点处坐标曲线的切向量 自然基自然基自然基自然基 度量张量 A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量和度量张量和度量张量g gij ij ij ij A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量和度量张量和度量张量g gij ij ij ij A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等, , , ,可以推广到曲线坐标系可以推广到曲线坐标系可以推广到曲线坐标系可以推广到曲线坐标系, , , , 区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量g gi i i i及变换系数及变换系数及变换系数及变换系数 iiiiiiii是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量A A A A在曲线坐标系可以写成在曲线坐标系可以写成在曲线坐标系可以写成在曲线坐标系可以写成 由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲 , 例例如如 , 圆柱坐标中的。因此圆柱坐标中的。因此 , 相对相对 应的自然基矢量就不应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量 ( 张张量量 ) 在这样的基上在这样的基上 的各分量并不具有物理量纲的各分量并不具有物理量纲, 从而从而给直接的物理解释带来不便给直接的物理解释带来不便。A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量二、局部基矢量 为为了了使使张张量量在在每每个个具具体体坐坐标标系系里里能能取取得得具具有有物物理理量量纲纲的的分分量量 , 在在正正交交曲曲线线坐坐标标系系 , 取取切切 于于坐坐标标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量曲线的无量纲单位矢量作为基矢量 , 即即正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架, , , , 或称物理基或称物理基或称物理基或称物理基 在物理标架上分解的张在物理标架上分解的张量量, , 其相应的各分量能其相应的各分量能取得相同的物理量纲取得相同的物理量纲 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 标量场标量场标量场标量场 沿沿沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为 两边点乘A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 标量场标量场标量场标量场 沿沿沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为 形式导数A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 1. 1. 克里斯多弗符号克里斯多弗符号A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 1. 1. 克里斯多弗符号克里斯多弗符号A-7 A-7 曲线坐标下的张量分析曲线坐标下的张量分析 1. 1. 张量的梯度张量的梯度圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析