第第5 5节直线、平面垂直的判定与性质节直线、平面垂直的判定与性质知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.直线直线l l与平面与平面内无数条直线垂直内无数条直线垂直, ,则直线则直线ll吗吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,当这无数条直线相互平行时当这无数条直线相互平行时,l,l与与不一定垂直不一定垂直. .2.2.若平面若平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面,则则吗吗? ?提示提示: :垂直垂直. .3.3.若若, ,则则内任意直线都与内任意直线都与垂直吗垂直吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,平面平面内只有垂直于交线的直线才与内只有垂直于交线的直线才与垂直垂直. .知识梳理知识梳理 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)(1)直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义直线直线l l与平面与平面内的内的 直线都垂直直线都垂直, ,就说直线就说直线l l与平面与平面互互相相 . .任意一条任意一条垂直垂直(2)(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理直线与平面垂直的判定定理及性质定理两条相交直线两条相交直线 平行平行 2.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)(1)定义定义平面的一条斜线和它在平面上的平面的一条斜线和它在平面上的 所成的所成的 , ,叫做这条直线和叫做这条直线和这个平面所成的角这个平面所成的角. .如图如图, , 就是斜线就是斜线APAP与平面与平面所成的角所成的角. .射影射影锐角锐角PAOPAO(2)(2)平面与平面的垂直平面与平面的垂直定义定义: :一般地一般地, ,两个平面相交两个平面相交, ,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是 , ,就就说这两个平面互相垂直说这两个平面互相垂直. .直二面角直二面角平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理垂线垂线 交线交线 【重要结论【重要结论】 1.1.若两平行线中的一条垂直于一个平面若两平行线中的一条垂直于一个平面, ,则另一条也垂直于这个平面则另一条也垂直于这个平面. .2.2.若两条直线同垂直于一个平面若两条直线同垂直于一个平面, ,那么这两条直线平行那么这两条直线平行. .3.3.若一条直线和两个不重合的平面都垂直若一条直线和两个不重合的平面都垂直, ,那么这两个平面平行那么这两个平面平行. .夯基自测夯基自测1.(20141.(2014高考浙江卷高考浙江卷) )设设m,nm,n是两条不同的直线是两条不同的直线,是两个不同的平面是两个不同的平面( ( ) )(A)(A)若若mn,nmn,n, ,则则mm(B)(B)若若m,m, ,则则mm(C)(C)若若m,n,nm,n,n, ,则则mm(D)(D)若若mn,n,mn,n, ,则则mm解析解析: :选项选项A,B,DA,B,D中中m m与平面与平面可能平行、相交或可能平行、相交或m m在平面内在平面内;对于对于C,C,若若m,n,m,n,则则mn,mn,而而n,n,所以所以m.m.C C 2.2.设设,是两个不同的平面是两个不同的平面,l,l是一条直线是一条直线, ,给出下列说法给出下列说法: :若若l,l, ,则则l l;若若l,l, ,则则l l; ;若若l,l, ,则则ll;若若l,l, ,则则ll. .其中说法正确的个数为其中说法正确的个数为( ( ) )(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)0(D)0解析解析: :对于对于,l,l 或或l;l;对于对于,若若l,l,则则l,l,正确正确; ;对于对于,若若l,l,则则l l 或或ll或或ll或或l l与与斜交斜交, ,错误错误. .A A 3.(20153.(2015天津市新华中学质检天津市新华中学质检) )设设a,ba,b是两条直线是两条直线,是两个平面是两个平面, ,则则abab的一个充分条件是的一个充分条件是( ( ) )(A)a,b,(A)a,b, (B)a,b,(B)a,b,(C)a(C)a,b,b, (D)a(D)a,b,b,解析解析: :若若b,b,所以所以b,b,又又a a ,所以所以ba,ba,即即ab.ab.C C 4.(20164.(2016武昌调研武昌调研) )给出下列四个命题给出下列四个命题: :如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内一定存在直线平行于平面内一定存在直线平行于平面;如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面内一定不存在直线垂直于内一定不存在直线垂直于平面平面;如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=l,=l,那么那么ll平面平面;如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内所有直线都垂直于平面内所有直线都垂直于平面.其中错误的命题是其中错误的命题是.(.(写出所有错误命题的序号写出所有错误命题的序号) )解析解析: :借助正方体很容易判断出借助正方体很容易判断出是正确的是正确的, ,只有只有是错误的是错误的. .答案答案: :5.5.边长为边长为a a的正方形的正方形ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD折成直二面角折成直二面角, ,则则ACAC的长为的长为. .答案答案: :a a 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 直线与平面垂直的判定和性质直线与平面垂直的判定和性质【例【例1 1】 (2014(2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)如图如图, ,三棱柱三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C为菱形为菱形,B,B1 1C C的中点为的中点为O,O,且且AOAO平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(1)(1)证明证明:B:B1 1CAB;CAB;(1)(1)证明证明: :连接连接BCBC1 1, ,则则O O为为B B1 1C C与与BCBC1 1的交点的交点. .因为侧面因为侧面BBBB1 1C C1 1C C为菱形为菱形, ,所以所以B B1 1CBCCBC1 1, ,又又AOAO平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,所以所以B B1 1CAO,CAO,故故B B1 1CC平面平面ABO.ABO.由于由于ABAB 平面平面ABO,ABO,故故B B1 1CAB.CAB.(2)(2)若若ACABACAB1 1,CBB,CBB1 1=60=60,BC=1,BC=1,求三棱柱求三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的高的高. .反思归纳反思归纳 (1)(1)证明线线垂直的常用方法证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系利用特殊图形中的垂直关系; ;利用等腰三角形底边中线的性质利用等腰三角形底边中线的性质; ;利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理; ;利用直线与平面垂直的性质利用直线与平面垂直的性质. .(2)(2)证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理; ;利用利用“两平行线中的一条与平面垂直两平行线中的一条与平面垂直, ,则另一条也与这个平面垂直则另一条也与这个平面垂直”; ;利用利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个一条直线垂直于两个平行平面中的一个, ,则与另一个也垂直则与另一个也垂直”; ;利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理. .(2)(2)判断平面判断平面BEGBEG与平面与平面ACHACH的位置关系的位置关系, ,并证明你的结论并证明你的结论; ;(3)(3)证明证明: :直线直线DFDF平面平面BEG.BEG.考点二考点二平面与平面垂直的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质考查角考查角度度1:1:面面垂直的判定面面垂直的判定. .高考扫描高考扫描: :20152015高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2012,2012高考新课标全国卷高考新课标全国卷. .【例【例2 2】 (2015(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形,G,G为为ACAC与与BDBD的交点的交点,BE,BE平面平面ABCD.ABCD.(1)(1)证明证明: :平面平面AECAEC平面平面BED;BED;(1)(1)证明证明: :因为四边形因为四边形ABCDABCD为菱形为菱形, ,所以所以ACBD.ACBD.因为因为BEBE平面平面ABCD,ABCD,所以所以ACBE.ACBE.故故ACAC平面平面BED.BED.又又ACAC 平面平面AEC,AEC,所以平面所以平面AECAEC平面平面BED.BED.反思归纳反思归纳 (1) (1)面面垂直的证明方法面面垂直的证明方法定义法定义法: :利用面面垂直的定义利用面面垂直的定义, ,即判定两平面所成的二面角为直二即判定两平面所成的二面角为直二面角面角, ,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. .定理法定理法: :利用面面垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理, ,即证明其中一个平面经过另一即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线个平面的一条垂线, ,把问题转化成证明线线垂直加以解决把问题转化成证明线线垂直加以解决. .反思归纳反思归纳 面面垂直性质的应用面面垂直性质的应用(1)(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据, ,运运用时要注意用时要注意“平面内的直线平面内的直线”. .(2)(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面两个相交平面同时垂直于第三个平面, ,它们的交线也垂直于第三它们的交线也垂直于第三个平面个平面. . 线面角与二面角的求法线面角与二面角的求法考点三考点三 (2)(2)证明证明AEAE平面平面PCD;PCD;(2)(2)证明证明: :在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,因为因为PAPA底面底面ABCD,CDABCD,CD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以CDPA.CDPA.由条件由条件CDAC,CDAC,PAAC=A,PAAC=A,所以所以CDCD平面平面PAC.PAC.又又AEAE 平面平面PAC,PAC,所以所以AECD.AECD.由由PA=AB=BC,PA=AB=BC,ABC=60ABC=60, ,得得AC=PA.AC=PA.因为因为E E是是PCPC的中点的中点, ,所以所以AEPC.AEPC.又又PCCD=C,PCCD=C,所以所以AEAE平面平面PCD.PCD.(3)(3)求二面角求二面角A-PD-CA-PD-C的正弦值的正弦值. .反思归纳反思归纳 空间线面角、二面角的求法空间线面角、二面角的求法(1)(1)线面角的求法线面角的求法: :找出斜线在平面上的射影找出斜线在平面上的射影, ,作出垂线作出垂线, ,确定垂足确定垂足. .(2)(2)二面角的求法二面角的求法直接法直接法: :根据概念直接作根据概念直接作, ,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边底边, ,就可以取棱的中点就可以取棱的中点. .垂面法垂面法: :过二面角棱上一点作棱的垂面过二面角棱上一点作棱的垂面, ,则垂面与二面角的两个半则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角. .垂线法垂线法: :过二面角的一个半平面内一点过二面角的一个半平面内一点A,A,作另一个半平面的垂线作另一个半平面的垂线, ,垂足为垂足为B,B,再从垂足再从垂足B B向二面角的棱作垂线向二面角的棱作垂线, ,垂足为垂足为C,C,连接连接AC,AC,则则ACBACB就是二面角的平就是二面角的平面角或其补角面角或其补角. .(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-BD-A-BD-A的大小的大小; ;(3)(3)求直线求直线ABAB1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .备选例题备选例题 【例题】【例题】如图所示如图所示, ,在边长为在边长为4 4的菱形的菱形ABCDABCD中中,DAB=60,DAB=60. .点点E,FE,F分别在边分别在边CD,CBCD,CB上上, ,点点E E与点与点C,DC,D不重合不重合,EFAC,EFAC于点于点O.O.沿沿EFEF将将CEFCEF翻折到翻折到PEFPEF的位的位置置, ,使平面使平面PEFPEF平面平面ABFED.ABFED.(1)(1)求证求证:BD:BD平面平面POA;POA;(1)(1)证明证明: :因为菱形因为菱形ABCDABCD的对角线互相垂直的对角线互相垂直, ,所以所以BDAC,BDAC,所以所以BDAO.BDAO.因为因为EFAC,EFAC,所以所以POEF.POEF.因为平面因为平面PEFPEF平面平面ABFED,ABFED,平面平面PEFPEF平面平面ABFED=EF,ABFED=EF,且且OPOP 平面平面PEF,PEF,所以所以POPO平面平面ABFED.ABFED.因为因为BDBD 平面平面ABFED,ABFED,所以所以POBD.POBD.因为因为AOPO=O,AOPO=O,又又BDAO,BDAO,所以所以BDBD平面平面POA.POA.(2)(2)当当PBPB取得最小值时取得最小值时, ,求四棱锥求四棱锥P P- -BFEDBFED的体积的体积. .解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化立体几何中折叠问题的求解策略立体几何中折叠问题的求解策略答题模板答题模板: :第一步第一步: :确定折叠前后的各量之间的关系确定折叠前后的各量之间的关系, ,搞清折叠前后的搞清折叠前后的变化量和不变量变化量和不变量. .第二步第二步: :在折叠后的图形中确定线和面的位置关系在折叠后的图形中确定线和面的位置关系, ,明确需要用到的明确需要用到的线面线面. .第三步第三步: :利用判定定理或性质定理进行证明利用判定定理或性质定理进行证明. .第四步第四步: :利用所给数据求边长和面积等利用所给数据求边长和面积等, ,进而求表面积、体积进而求表面积、体积. .