第第1讲集合及其运算讲集合及其运算知 识 梳 理1集合与元素(1)集合中元素的三个特征： 、 、无序性(2)元素与集合的关系为 或 关系，分别用符号 或 表示 (3)集合的表示法： 、 、图示法、区间法(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分 为 、无限集、空集确定性 互异性 属于 不属于 列举法 描述法 有限集 AB 子集 2n 2n1 3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA，或xB；交集：AB ；补集：UA U为全集，UA表示A相对于全集U的补集(2)集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.x|xA，且xB x|xU，且xA 辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若x2,10,1，则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则ABx|xR()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西卷改编)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a_.(2)(2013山东卷改编)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_解析(1)由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4.(a0不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性答案1 考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论【训练2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为_(2)(2014郑州模拟)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为_考点三集合的基本运算【例3】 (1)(2013山东卷改编)已知集合A，B均为全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB_.(2)(2014唐山模拟)若集合My|y3x，集合Sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是_MSM；MSS；MS；MS解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正确答案(1)3(2)规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为_(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，则A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以Bx|2x4故UBx|x2，或x4，从而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为_解析法一(列表法)因为xA，yA，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：由题意xyA，故xy只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10.y xyx12345101234210123321012432101543210法二(直接法)因为A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都为正数，若xyA，则必有xy0，xy.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案10反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k 1A， 那 么 称 k是 A的 一 个 “好 元 素 ” 给 定 S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_个解析依题，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案6