第三章力偶系 Couple of forces system2024年年7月月25日日2024/7/251引言引言力力 是改变物体运动状态的物理量。是改变物体运动状态的物理量。物体运动状物体运动状态的改变态的改变移动移动转动转动用用力矢力矢来度量来度量用用力矩力矩来度量来度量力矩是力矩是度量力对刚体转动效应度量力对刚体转动效应的物理量。的物理量。力矩本质上仍是力。力矩本质上仍是力。2024/7/252目录3-1 3-1 3-1 3-1 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算3-23-23-23-2 平面力偶理论平面力偶理论平面力偶理论平面力偶理论3-43-43-43-4 空间力对点之矩与对轴之矩空间力对点之矩与对轴之矩空间力对点之矩与对轴之矩空间力对点之矩与对轴之矩3-33-33-33-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡3-5 3-5 3-5 3-5 空间力偶理论空间力偶理论空间力偶理论空间力偶理论3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2024/7/253ABd3-1 3-1 平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算1. 1.力对点之矩力对点之矩力对点之矩力对点之矩d d 力臂力臂力臂力臂 O O 矩心矩心矩心矩心 “ “” ” 使物体使物体使物体使物体逆时针逆时针逆时针逆时针转时力矩为正；转时力矩为正；转时力矩为正；转时力矩为正；“ “” ” 使物体使物体使物体使物体顺时针顺时针顺时针顺时针转时力矩为负。转时力矩为负。转时力矩为负。转时力矩为负。 代数量（标量）代数量（标量）代数量（标量）代数量（标量）2024/7/2542. 2.合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理 平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。力对于该点之矩的代数和。力对于该点之矩的代数和。力对于该点之矩的代数和。证明：证明：cbdOxOb = Oc + Od而：而：ABDC3-1 3-1 平面力对点之矩平面力对点之矩2024/7/2553. 3.力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式yxAOxy3-1 3-1 平面力对点之矩平面力对点之矩2024/7/256Or 已知：已知：F，r例例例例 题题题题 1 1求：力求：力 F 块对轮心块对轮心O的力矩。的力矩。h解：（解：（1）直接计算）直接计算（2）利用合力之矩定理计算）利用合力之矩定理计算3-1 3-1 平面力对点之矩平面力对点之矩2024/7/2573-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论2024/7/258ABdC1. 1.力偶与力偶矩力偶与力偶矩力偶与力偶矩力偶与力偶矩力偶臂力偶臂力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的作用面力偶的作用面力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶矩力偶矩:力偶力偶两个大小相等、方向两个大小相等、方向两个大小相等、方向两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的相反且不共线的平行力组成的相反且不共线的平行力组成的相反且不共线的平行力组成的力系。力系。力系。力系。 或或或或3-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论2024/7/2592. 2.力偶的性质力偶的性质力偶的性质力偶的性质性质性质1 1. .力偶不能合成为一个力，力偶不能合成为一个力，故力偶也不能用一个力来平衡。故力偶也不能用一个力来平衡。因此因此力力和和力偶力偶是静力学的两个基是静力学的两个基本要素。本要素。性质性质2 2. .力偶对作用面内任一点之力偶对作用面内任一点之矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩。矩。验证：验证：验证：验证：Oxd3-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论2024/7/2510性质性质3 3. .平面力偶等效定理：在同一平面内的两个力偶，如果平面力偶等效定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。推论推论1：力偶对刚体的作用与力力偶对刚体的作用与力力偶对刚体的作用与力力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关偶在其作用面内的位置无关偶在其作用面内的位置无关偶在其作用面内的位置无关；推论推论2：只要保持力偶矩的大小只要保持力偶矩的大小只要保持力偶矩的大小只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时和力偶的转向不变，可以同时和力偶的转向不变，可以同时和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂改变力偶中力的大小和力偶臂改变力偶中力的大小和力偶臂改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的长短，而不改变力偶对刚体的长短，而不改变力偶对刚体的长短，而不改变力偶对刚体的作用。的作用。的作用。的作用。MMM注：性质注：性质3 3只适用于刚体。只适用于刚体。dABDC3-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论力偶二要素力偶二要素: 大小和转向大小和转向2024/7/25113-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：合成结果：合成结果：合成结果：合成结果：ABdd1d2ABd2024/7/2512？MaaABCa例例例例 题题题题 2 2求：求：A、 C 处约束力。处约束力。已知：已知：a, M解：解：（1）取取AB为研究对象为研究对象（2）取）取BC为研究对象为研究对象BCABM 若将此力偶移至若将此力偶移至BC构件上，再求构件上，再求A、C处约束力。在此处约束力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是否还等于力偶矩。是否还等于力偶矩。3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2024/7/2513M1M2CABDM2CDM1AB解解: (1)取取AB为研究对象为研究对象(2) 取取CD为研究对象为研究对象例例例例 题题题题 3 3求：平衡时求：平衡时M1、M2之间的关系。之间的关系。已知：已知：AB=CD=a, BCD=30解得解得解得解得因为因为 FB = FC3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2024/7/2514DBCMaaEDCBAaa求：求：A、B、C、D、E处的处的约束力。约束力。例例例例 题题题题 4 4解解: (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象(2) 取取BCD为研究对象为研究对象确定确定 D 处约束力的方向处约束力的方向3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2024/7/2515CAE (4) 取取ACE为研究对象为研究对象MDE(3) 取取DE为研究对象为研究对象MaaEDCBAaa3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2024/7/2516RoABC 当当 M=PR 时，系统处于平时，系统处于平衡，因此力偶也可以与一个力衡，因此力偶也可以与一个力平衡，这种说法对吗平衡，这种说法对吗? 图示系统平衡否，若平衡，图示系统平衡否，若平衡，A、B处约束力的方向应如何确处约束力的方向应如何确定。定。思考题？思考题？3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2024/7/25171.1.1.1.力对点的矩力对点的矩力对点的矩力对点的矩空间的力对空间的力对O点之矩取决于：点之矩取决于：（1）力矩的）力矩的 大小大小；（2）力矩的）力矩的 转向转向；（3）力矩）力矩 作用面方位作用面方位。3-4 空间力对点之矩与对轴之矩空间力对点之矩与对轴之矩 须用一矢量表征须用一矢量表征OA(x,y,z)Bhyxz2024/7/2518OA(x,y,z)Bhyxz定位矢量定位矢量3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/2519Oxyzh 力对轴的矩等于力在垂直于该力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。点的矩。 力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征力对刚体力对刚体力对刚体力对刚体绕某轴绕某轴绕某轴绕某轴的转动效应。的转动效应。的转动效应。的转动效应。 当力与轴在当力与轴在同一平面同一平面时，力对该轴的矩等于零。时，力对该轴的矩等于零。2.2.2.2.力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩BAb注：注：3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/2520力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式yzOxA(x,y,z)Babxy3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/2521 力对点的矩矢在通过力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。于力对该轴的矩。3.3.3.3.力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/2522（1）力对点的矩）力对点的矩 回顾：回顾：空间力矩的计算空间力矩的计算OA(x,y,z)Brhyxz2024/7/2523 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。面上的投影对轴与平面交点的矩。（2）力对轴的矩）力对轴的矩 OABabhzyzOxA(x,y,z)Babxy2024/7/2524（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系）力对点的矩与力对轴的矩的关系 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。影，等于力对该轴的矩。2024/7/2525解：解：(1) 直接计算直接计算例例例例 题题题题 5 53-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩求：求：已知：已知：F、 a、b、 、 2024/7/2526(2) 利用力矩关系利用力矩关系3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/2527已知：已知： F 、 a、b、c求：求： 力力F 对对OA轴之矩轴之矩（2）利用力矩关系）利用力矩关系例例例例 题题题题 6 6zOabcAxy 3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩解：（解：（1）计算）计算2024/7/2528已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：力求：力 F 对对OA 边的中点边的中点D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。解：利用力矩关系解：利用力矩关系xyz例例例例 题题题题 7 7OABCD3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/2529OABCDxyz3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2024/7/25303-5 空间力偶理论空间力偶理论(1) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(2) 力偶的转向；力偶的转向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。 空间力偶矩矢为空间力偶矩矢为自由矢量自由矢量，即可以在保证大小和方向不，即可以在保证大小和方向不变的情况下在刚体内任意移动。变的情况下在刚体内任意移动。空间力偶的定义空间力偶的定义:右手螺旋右手螺旋BA力偶矩矢：力偶矩矢： 或或 2024/7/2531BA证明：证明：B1A1O两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件: :自由矢量自由矢量3-5 3-5 3-5 3-5 空间力偶空间力偶空间力偶空间力偶2024/7/2532 空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡合力偶矩矢：合力偶矩矢：zOxyABC3-5 3-5 3-5 3-5 空间力偶空间力偶空间力偶空间力偶2024/7/25333-5 3-5 3-5 3-5 空间力偶空间力偶空间力偶空间力偶平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件 平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程 2024/7/2534已知已知 O1和和O2圆盘与水平轴圆盘与水平轴AB固连固连 ， O1盘垂直于盘垂直于z轴，轴， O2盘垂直于盘垂直于x轴，盘面上分别作用力偶，如图示。两盘半轴，盘面上分别作用力偶，如图示。两盘半径径r=20 cm,F1=3 N,F2=5 N, AB=80 cm，不计构件自重，试，不计构件自重，试计算轴承计算轴承A和和B处的约束力。处的约束力。解：取整体为研究对象解：取整体为研究对象例例例例 题题题题 8 8解得：解得：3-5 3-5 3-5 3-5 空间力偶空间力偶空间力偶空间力偶2024/7/25353-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论1. 平面力对点之矩平面力对点之矩2. 合力矩定理：合力矩定理：3. 平面力偶和力偶矩平面力偶和力偶矩力偶力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。2024/7/2536 力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论4. 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平衡条件：平衡条件：合成结果：合成结果：力偶的等效定理：力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。2024/7/2537（1）力对点的矩）力对点的矩 5. 空间力矩的计算空间力矩的计算OA(x,y,z)Brhyxz3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2024/7/2538 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。面上的投影对轴与平面交点的矩。（2）力对轴的矩）力对轴的矩 OABabhzyzOxA(x,y,z)Babxy3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2024/7/2539（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系）力对点的矩与力对轴的矩的关系 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。影，等于力对该轴的矩。3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2024/7/2540(1) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(2) 力偶的转向；力偶的转向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。自由矢量自由矢量空间力偶的定义空间力偶的定义:空间力偶的等效条件：空间力偶的等效条件：两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。6. 空间力偶及其等效条件空间力偶及其等效条件AB3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2024/7/25417. 空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡平衡条件：平衡条件：合成结果：合成结果：3-6 3-6 3-6 3-6 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2024/7/2542END OF CHAPTER THREE 2024/7/2543