第七章第七章 方差分析方差分析7.1 7.1 方差分析的意义方差分析的意义两个两个样本平均数间差异显著性样本平均数间差异显著性t t测验或测验或u u测验测验研究研究多个多个样本样本( (处理处理) )之间的差异之间的差异仍采用仍采用t t测验或测验或u u测验，则存在几个方面的缺陷：测验，则存在几个方面的缺陷： 统计工作量加大。统计工作量加大。 从统计上夸大了样本间的差异，使犯第一从统计上夸大了样本间的差异，使犯第一类错误的概率加大。类错误的概率加大。无统一精度的试验误差估计。无统一精度的试验误差估计。方差分析方差分析蔡烯膛貉迭野哪妙奸晴隧院炼宾贸浅捎提裸拿吝论稀躺筒封娘逊蒲饰搅兵第七章方差分析2第七章方差分析2英国英国统计学家统计学家 R RA AFisher Fisher 19231923年年方差分析的基本原理：方差分析的基本原理：将将总变异总变异分裂为各个因素的相应变异，分裂为各个因素的相应变异， 作出其数作出其数量估计；量估计；估计试验误差估计试验误差，作为假设测验的依据；作为假设测验的依据；通过方差的显著性检验通过方差的显著性检验F F检验检验发现各个因素发现各个因素在变异中所占的重要程度，在变异中所占的重要程度，推断。推断。进而对无效假设作出统进而对无效假设作出统村池悄履蓉佣席淄燎诵上趁唁菊拭辅耕贱炒绽欠殊眠化唱税搜众叔误宾谭第七章方差分析2第七章方差分析27.2 7.2 方差分析的步骤方差分析的步骤一、平方和与自由度的分解一、平方和与自由度的分解二、方差的显著性测验二、方差的显著性测验F F测验测验三、多重比较三、多重比较1.1.最小显著差数测验法最小显著差数测验法(DLSD(DLSD法法) )2.Duncan2.Duncane e新复极差法新复极差法(SSR(SSR法法) )眶魏窖沃因达济豹骚玖铝青实张藕文湾线筛玛路粕吮嫌踏裙荒应绩谦颇百第七章方差分析2第七章方差分析23. q3. q测验测验(q(q法法) ) q q测验与新复极差测验相似，其区别仅在于计算测验与新复极差测验相似，其区别仅在于计算最小显著极差最小显著极差LSRLSR值时不是查值时不是查 SSR SSR，而是查，而是查 q q( (附表附表9)9)。查得查得q q值后，即有值后，即有对例对例7.17.1进行进行q q测验结果列于表测验结果列于表7.7A7.7A与表与表7.7B7.7B。快绊眩赖铝涨涯野脸抡衰库扳悸力歼娜坚商姬怂肆怯魏屹溜涟评谰袭挺吻第七章方差分析2第七章方差分析2 q q测验的尺度测验的尺度高于高于SSRSSR测验，因此，对于试验结论测验，因此，对于试验结论有严格要求的试验，宜用有严格要求的试验，宜用q q测验；测验；品种品种小小 区区平均产量平均产量差异显著性差异显著性0.050.050.010.01q0.0512.1014.6916.32q0.0116.4819.0220.58ABCAD85767259aabBAA Ba哺农碗兄酗伟谋骋蚌德州茶缅滑犀析豆祝萧汕妮愉钝柴沥场柄腿逢娶拟镶第七章方差分析2第七章方差分析2 当欲比较的平均数个数仅为当欲比较的平均数个数仅为2 2时，时， LSD LSD法、法、SSRSSR法和法和q q法法的的比较标准是完全一样的比较标准是完全一样的！*. *. 三种多重比较方法的比较三种多重比较方法的比较 LSD LSD法：法：其实质还是其实质还是t t测验法，其测验法，其主要功能是有主要功能是有对照（对照（CKCK）资料的多重比较上）资料的多重比较上。 实际上各处理与实际上各处理与对照对照（CKCK）相比作出判断！相比作出判断！ SSR SSR法：法：可用于任何情况下的多重比较可用于任何情况下的多重比较（有无对（有无对照无关），是常用的效果较好的多重比较法。照无关），是常用的效果较好的多重比较法。q q法：法：实质是实质是SSRSSR法法，无非是提高了比较标准而已，无非是提高了比较标准而已惫尤膊狞悠佣茎赐眨酿韧孤引焕时桔撕伎事高程芝焕置房糕器献币屁员尖第七章方差分析2第七章方差分析2 线性可加模型：每个观测值可以划分成若干线性可加模型：每个观测值可以划分成若干个线性组成部分，它是分解平方和和自由度的个线性组成部分，它是分解平方和和自由度的理论依据。理论依据。7.3 7.3 方差分析的数学模型与期望均方估计方差分析的数学模型与期望均方估计一、方差分析的数学模型一、方差分析的数学模型方差分析是在一定的线性可加模型的基础上。方差分析是在一定的线性可加模型的基础上。样本符号表示：样本符号表示：绸案伐同诲铱温球噬绥辫掖闹瑶悔造冶删褥势畸叹辞暑锋鲸埃士阻挖告燕第七章方差分析2第七章方差分析2 依据依据 的不同假定，将数学模型分为的不同假定，将数学模型分为固定模固定模型型和和随机模型随机模型。固定模型固定模型是指各个处理的是指各个处理的平均效应平均效应是固定的一个常量是固定的一个常量，满足，满足。 固定模型试验因素的水平常常是根据试验目的固定模型试验因素的水平常常是根据试验目的事先事先主观选定主观选定的而不是随机选定的，例如几种不的而不是随机选定的，例如几种不同温度下的小麦籽粒的发芽情况等。同温度下的小麦籽粒的发芽情况等。橱铸播恶增茬魔蝴濒刺尽蕊尚芯般咋誊奢燃哭嘛唬灌貌惊晶季缉辑驹柜页第七章方差分析2第七章方差分析2随机模型是指各个处理效应随机模型是指各个处理效应不是一个常量，不是一个常量，的正态总体的正态总体中中而是而是从平均数为零、方差为从平均数为零、方差为得到的一个随机样本的结果。得到的一个随机样本的结果。 如果某些试验条件不能人为控制或通过样本如果某些试验条件不能人为控制或通过样本对所属总体作出推断时属于随机模型。对所属总体作出推断时属于随机模型。帧斌鳞惧奶坝套鳃败挣襟颓颊酵疹蕾专捕少午屋岂缄惧那炮扎药痕乞惑锈第七章方差分析2第七章方差分析2 1.1.侧重点不同；侧重点不同； 固定模型主要侧重于效应值固定模型主要侧重于效应值 的估计和比较；的估计和比较； 两种模型的区别：两种模型的区别： 随机模型则侧重于处理效应的随机模型则侧重于处理效应的变异度变异度方面，即方面，即侧重效应侧重效应方差方差的估计和检验。的估计和检验。财戚哪既页垛剪骋焚忠混摔更郑濒麦疡霄逛府传弯邪文钮酸院扛萄烙阑魁第七章方差分析2第七章方差分析2 2.2.结论的应用不同结论的应用不同 固定模型所得结论仅在于固定模型所得结论仅在于推断推断处理范围处理范围内的内的特定处理特定处理； 随机模型所得结论则用于随机模型所得结论则用于推断推断关于处理关于处理的的总体总体。突姨潮煌宽辣昌功缸凝戈终抡搞监添顽紫技涣未猾业峰宦拣掀销郊坝肿躲第七章方差分析2第七章方差分析2 不同的模型在设计思想和统计推断上有明显不同的模型在设计思想和统计推断上有明显的不同的不同, ,因此方差分析的公式推导也有所不同。因此方差分析的公式推导也有所不同。 所推导的平方和和自由度分解的公式没有区所推导的平方和和自由度分解的公式没有区别，但在别，但在F F测验测验和和统计推断统计推断上有些不同。上有些不同。迟量走西化哈蔑谭课砾倔崩郑贰昏静弊案像妥绕欺峨挛情断兜敬篇军溺裳第七章方差分析2第七章方差分析27.4 7.4 方差分析的基本假定方差分析的基本假定与数据转换与数据转换哭劈孰举捍迹净蒙内督磅遂送爹玻癌梢弓面晰匈两念雍钡宙锋障咒怀噬哦第七章方差分析2第七章方差分析2 对试验数据进行方差分析是对试验数据进行方差分析是有条件有条件的，即方差的，即方差分析的分析的有效性有效性建立在一些基本假定之上的。建立在一些基本假定之上的。 (1) (1) 可加性可加性：处理效应与误差效应应该是可加：处理效应与误差效应应该是可加的，并服从方差分析的数学模型；的，并服从方差分析的数学模型；一、方差分析的基本假定一、方差分析的基本假定范匡擦株汛闷履获丘燥不吁擎惰轮幻驳醇隶羔翰育挂必寥阮陪饿较咕烦己第七章方差分析2第七章方差分析2 试验误差应当服从试验误差应当服从正态分布正态分布 的独立的独立的随机变量。的随机变量。 因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列或顺序取样资料不能作方差分析。或顺序取样资料不能作方差分析。 应用方差分析的资料应服从正态分布应用方差分析的资料应服从正态分布， 即每即每一观测值应围绕相应的平均数呈正态分布，非一观测值应围绕相应的平均数呈正态分布，非正态分布的资料进行适当的正态分布的资料进行适当的数据转换数据转换后，也能后，也能进行方差分析。进行方差分析。(2)(2)正态性：正态性：宅椒糊涝傻球亏失讨激痔崖贝柱婿忙盂铂冯剿抓方到那驯熔雍煌积伐拔弯第七章方差分析2第七章方差分析2 (3) (3)方差同质性：方差同质性：所有试验处理必须具有所有试验处理必须具有共同共同的误差方差的误差方差。 这是因为方差分析是将各处理的误差合并为这是因为方差分析是将各处理的误差合并为一个共同的误差方差，一个共同的误差方差， 以作为显著性检验共用以作为显著性检验共用的误差项方差。的误差项方差。 脱卒矣遇柜摈河圭苏窜简顿阶汛腔裂纪勤艰沤坚郡鼓哥嗡咎揩礼脚良锑贱第七章方差分析2第七章方差分析2 我们所得的各种数据，要全部准确地符合上述我们所得的各种数据，要全部准确地符合上述三个假定，往往是不容易的；三个假定，往往是不容易的； 因而采用方差分析所得的结果，只能认为是近因而采用方差分析所得的结果，只能认为是近似的结果。似的结果。 但是，在但是，在设计试验设计试验和和收集资料收集资料过程中，如果能过程中，如果能够充分考虑这些假定，则在应用方差分析时，当够充分考虑这些假定，则在应用方差分析时，当能获得更可信任的结论。能获得更可信任的结论。 二、数据转换二、数据转换酪入众柳办节铆窥京廉渣党蹭瑚礁擒旧肉稳袭叭轮响敬巴在贡彼壳头疽辱第七章方差分析2第七章方差分析2 对于并不符合基本假定的试验资料，在进行方对于并不符合基本假定的试验资料，在进行方差分析之前，一般可采用以下补救方法：差分析之前，一般可采用以下补救方法： 1 1剔除某些表现剔除某些表现“特殊特殊”的观察值、处理或的观察值、处理或重复。重复。 2 2将总的试验误差的方差分裂为几个较为同将总的试验误差的方差分裂为几个较为同质的试验误差的方差。质的试验误差的方差。 3 3针对数据的主要缺陷，采用相应的针对数据的主要缺陷，采用相应的变数转变数转换换，然后用转换后的数据作方差分析。，然后用转换后的数据作方差分析。 糕功裴氟唤迪闹拦溅择烬莱堪济苏舷锈鲸凭死畸槛庇疹资咏如赖互拭款烘第七章方差分析2第七章方差分析2 平方根转换：平方根转换：如果样本平均数与其方差如果样本平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获得一个同有比例关系，采用平方根转换可获得一个同质的方差，同时也可减小非可加性的影响。质的方差，同时也可减小非可加性的影响。 一般将原观察值一般将原观察值 转换成转换成 。 常用的转换方法有：常用的转换方法有：妮隧防耍局悄宋恶竿镜氏舀函涎示痔酥榔椰赊务榨顶彭屿钓楼尝钨钮疟茎第七章方差分析2第七章方差分析2 如果有些观察值甚小，甚至有零出现，则可如果有些观察值甚小，甚至有零出现，则可用用 转换。转换。 这种转换常用于这种转换常用于稀有现象稀有现象的计数资料，的计数资料， 例例如，如，1m1m2 2 面积上某种昆虫的头数或某种杂草的面积上某种昆虫的头数或某种杂草的株数等资料。株数等资料。全双茬蔼唁领骑缘赛神伐稗门晒亲促皿捆咳铜悉叉群蛮丝林菩易矗揉寸墓第七章方差分析2第七章方差分析2燕麦田中某种杂草的株数燕麦田中某种杂草的株数处理处理a ab bc cd de e1 14384385385387777171718182 24424424224226161313126263 3319319377377151151878777774 4380380315315525216162020平均数平均数395.75395.75413.00413.0085.2585.2537.7537.7535.2535.25瑞坚鲤巡瓜伯坠钡这乒队饼梆樟夕哎撵佃珠硼路溅铃秋着蜕饭处欣酥韵堪第七章方差分析2第七章方差分析2燕麦田中某种杂草的株数的平方根燕麦田中某种杂草的株数的平方根处理处理a ab bc cd de e1 120.920.923.223.28.88.84.14.14.24.22 221.021.020.520.57.87.85.65.65.15.13 317.917.919.419.412.312.39.39.38.88.84 419.519.517.717.77.27.24.04.04.54.5平均数平均数19.819.820.220.29.09.05.85.85.75.7隆杀祷喊躲霄庚藕公酒钾腋抬众雏拯驯巧慈蒜底何貌翼腥缄叠音的搂睫吵第七章方差分析2第七章方差分析2 如果数据表现的效应为如果数据表现的效应为非可加性非可加性，而成，而成倍加倍加性或可乘性性或可乘性，同时样本平均数与其极差或标准，同时样本平均数与其极差或标准差成比例关系，则采用差成比例关系，则采用对数转换对数转换，可获得一个，可获得一个同质的方差。同质的方差。 对于改进非可加性的影响，这一转换比之平对于改进非可加性的影响，这一转换比之平方根转换更为有效。一般将方根转换更为有效。一般将x x 转换为转换为lg x lg x ； 如观察值中有零而各数值皆不大于如观察值中有零而各数值皆不大于1010，则可，则可用用lg (x+1) lg (x+1) 转换。转换。对数转换：对数转换：雾玻开额类烘寂涡腑羞砂佯尖讳折疚猫踢达楞瓜咎同畦塞页讶刨值题惺屿第七章方差分析2第七章方差分析2 捕获昆虫统计及捕获数的对数值捕获昆虫统计及捕获数的对数值时期时期捕蛾灯捕蛾灯对数值对数值I IIIIIIIIIIII IIIIIIIIIII1 119.119.150.150.1123.0123.01.281.281.701.702.092.092 223.423.4166.0166.0407.4407.41.371.372.222.222.612.613 339.539.5223.9223.9398.1398.11.601.602.352.352.602.604 423.423.458.958.9229.1229.11.371.371.771.772.362.365 516.616.664.664.6251.2251.21.221.221.811.812.402.40平均值平均值22.422.4112.7112.7281.8281.81.371.371.971.972.412.41极极 差差22.922.9173.8173.8284.4284.40.380.380.650.650.520.52奸狗湿磕太蜡信闯狄待伪骚努琐村屿日饵铱承俏面芭县囱苹锦杯当淘牢糊第七章方差分析2第七章方差分析2 如果资料系成数或百分数，则它将作二项分如果资料系成数或百分数，则它将作二项分布，而已知这一分布的方差是决定于其平均数布，而已知这一分布的方差是决定于其平均数p p的。的。 所以，在理论上如果所以，在理论上如果p0.3p0.7p0.7皆需作反皆需作反正弦转换，以获得一个比较一致的方差。正弦转换，以获得一个比较一致的方差。 反正弦转换是将百分数的平方根值取反正弦反正弦转换是将百分数的平方根值取反正弦值，即将值，即将p p转换成转换成 ，从而成为角度。，从而成为角度。 附表附表1010为百分数的反正弦转换表。为百分数的反正弦转换表。反正弦转换：反正弦转换：岗欧弓检临篮缩伯吉腺囤落蘑雁仍唱赶呐颜军疯义瞄炼粗妇诉匈碉偷价敷第七章方差分析2第七章方差分析2 研究华农研究华农2 2号玉米花粉在不同贮藏条件下的生号玉米花粉在不同贮藏条件下的生活力：活力： 花粉盛于烧杯内，上盖纱布，藏于冰箱中；花粉盛于烧杯内，上盖纱布，藏于冰箱中； 花粉盛于烧杯内花粉盛于烧杯内, ,置于干燥器中置于干燥器中, ,藏于冰箱内藏于冰箱内 花粉盛于烧杯内，在室温下贮藏。花粉盛于烧杯内，在室温下贮藏。 经贮藏经贮藏4 4小时后，在显微镜下检查小时后，在显微镜下检查有生活力花粉有生活力花粉的百分数，对照为新鲜花粉。每处理检查的百分数，对照为新鲜花粉。每处理检查6 6个视野，个视野，其结果如表其结果如表7.127.12。试作方差分析。试作方差分析。 例例7.47.4慕渤苦奸晚狼捂哥琴扦疥勒索骸旬手泣覆谭疑核乞蛊哑三赦爱配酉奶兰遮第七章方差分析2第七章方差分析2 表表7.127.12有不少有不少p p值值大于大于7070，故需作，故需作反正弦反正弦变换。变换。 由附表由附表1010查得表查得表7.127.12各个各个p p的反正弦的反正弦角度值于表角度值于表7.137.13。 处理处理ckck1 12 23 3 % %979795959393707091917777787868688282727275756666858564647676494978785656636355557777686871716464表表7.12 7.12 不同处理有生活力花粉的百分数（不同处理有生活力花粉的百分数（p p）叼殃膜崩伟误冈己仇筐命湃列坏唐褒您糖痞幼战振窟牧犯恐萤窗簧劲晚嚷第七章方差分析2第七章方差分析2 表表7.137.13是是n n相等的相等的单向分组资料，对单向分组资料，对其作方差分析可得其作方差分析可得表表7.147.14。 在作多平均数的在作多平均数的比较时，因有共同比较时，因有共同对照对照, ,故用故用LSDLSD法。法。处理处理ckck1 12 23 3 % %80.080.077.177.174.774.756.856.872.572.561.361.362.062.055.655.664.964.958.158.160.060.054.354.367.267.253.153.160.760.744.444.462.062.048.448.452.552.547.947.961.361.355.655.657.457.453.153.1峨竞婿挞猪猿贬辫苞碧笆橙颜船蓑循素素环暮怕权拂第抠瓣委戒铁篮县僵第七章方差分析2第七章方差分析2表表7.14 7.14 方差分析表方差分析表变异来源变异来源dfdfSSSSMSMSF FF F0.050.05处理间处理间3 3780.48780.48260.16260.164.574.573.103.10误误 差差20201139.581139.5855.9855.98总变异总变异23231920.061920.06族氖咨妈灵辙选给佬桐姚疽狐永懈螟毖成棱腮蹈峻羔逾拖鸭叶棍魁发乾直第七章方差分析2第七章方差分析2 因而有各处理平均数和对照平均数的比较于因而有各处理平均数和对照平均数的比较于表表7.157.15。求得求得弧染造匿屿众棠贾潮染啦踌徊比馁尽槐痰沧哮赚捆很涪僳掌能潍枕卞惟富第七章方差分析2第七章方差分析2 结果：结果：3 3个处理的生个处理的生活力都低于对照。活力都低于对照。 将各反正弦平均数将各反正弦平均数转换为转换为百分数百分数可以看可以看出：出：处理处理比比CKCK降低降低12.712.7; ;处理处理降低降低9.29.2; ;处理处理降低降低23.923.9; ;处理处理平均平均数数与与ckck的的差异差异反转反转换为换为CkCk68.068.0- -86.086.01 168.968.9-9.1-9.173.373.32 261.261.2-6.8-6.876.876.83 352.052.0-16.0*-16.0*62.162.1表表7.15 7.15 不同处理生活力比较不同处理生活力比较龙家施眯苦胶微呸症汪墅眠蕾桓脓遏袁瓤坚咀瓷帮幌仅慌舞娇韧罗揣懈挚第七章方差分析2第七章方差分析2 因为平均数比单个观察值更易做成正态分布，因为平均数比单个观察值更易做成正态分布，故如抽取小样本求得其平均数，再以这故如抽取小样本求得其平均数，再以这些平均数作方差分析，可减小各种不符合基些平均数作方差分析，可减小各种不符合基本假定的因素的影响。本假定的因素的影响。采用几个观察值的平均数作方差分析：采用几个观察值的平均数作方差分析：乃据看交拾味洲决耗职记刨漠疫苹误箩金滇末蓖潮破撵坏猩混蔼早蹈洁棠第七章方差分析2第七章方差分析2习题1.1.教材习题：教材习题：7.17.17.67.63.3.试比较三种多重比较的方法。试比较三种多重比较的方法。 2. 2.对多个平均数间的差异显著性测验为什么不对多个平均数间的差异显著性测验为什么不能用能用t t测验或测验或u u测验？测验？啸仑袒柜位漏痹传寓性侯项木巾肠吩触忙乍歹眯煎浦簧僳瞬占俐管财稚镶第七章方差分析2第七章方差分析2