二次函数 教者：江勇 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的设正方形的棱长为棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个值的每一个值,y都有都有一个对应值一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关系可以表它们的具体关系可以表示为示为 问题问题: :y=6x2 问题问题2 某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是20件件,计划今后两年增加产量计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产如果每年都比上一年的产量增加量增加x倍倍,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y将随计划将随计划所定的所定的x的值而确定的值而确定,y与与x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？问题问题: : 这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即两即两年后的产量为年后的产量为20(1+x)20(1+x)2即即 式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x之间之间的关系的关系,对于对于x的每一个值的每一个值, y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的的函数函数.函数函数有什么共同点有什么共同点? 观察观察 y是是x的函数吗？的函数吗？y是是x的一次函数？反比例函数？的一次函数？反比例函数？y=6x2 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式函数都是用自变量的二次式表示的表示的,定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做x的的二次函数。二次函数。（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x的的（3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。注意注意：（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是 。整式整式a0.2任意实数任意实数二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式：当当b0时，时， yax2c当当c0时，时， yax2bx当当b0，c0时，时， yax2例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别分别指出二次项系数指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项常数项. (1) y=3(x-1)+1 (2) y=x+ (3) s=3-2t (4) y=(x+3)-x (5)y= -x (6) v=10 r1x_x1_解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2) y=x+1x_不是二次函数不是二次函数.(3) s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:-203(4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:1000不是二次函数不是二次函数.(5)y= -xx1_(6) v=10 r是二次函数是二次函数. 例例2、y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m= 时是正比时是正比例函数。例函数。（）当（）当m27=-1且且m+30即即m= 时是反比例函时是反比例函数。数。（）当（）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。时是二次函数。例例3、圆的半径是、圆的半径是1cm，假设半径增加，假设半径增加xcm时，圆的面积增加时，圆的面积增加ycm。（1）写出）写出y与与x之间的函数关系表达式；之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm，2cm时，时，圆的面积增加多少？圆的面积增加多少？1 .下列函数中，（下列函数中，（x是自变量），是二次函数的是自变量），是二次函数的为为( )A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1C.y=x2 D.y=2+ x2+12.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是( )A.m,n是常数是常数,且且m0 B.m,n是常数是常数,且且n0C.m,n是常数是常数,且且mn D.m,n为任何实数为任何实数CC1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.2. n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m与球队与球队数数 n 之间的关系式之间的关系式.S=4r2 即即想一想想一想 一农民用一农民用一农民用一农民用40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为XmXm，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为YmYm2 2，求求求求y y与与与与x x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当当当当x=12mx=12m时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。 x xmm y m y m2 2 x xmm （40-2x 40-2x ）mm解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得： Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40x(0x20)当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园的面积为：Y=-2x2+40x-2122+4012 192（m2） 一次函数一次函数y=ax+b (a 0),其中包括正比例函数其中包括正比例函数y=kx(k0), 反比例函数反比例函数y= (k0) 二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0).现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有: 可以发现可以发现,这些函数的名称都反映了函数表这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系达式与自变量的关系.