3.3.中值定理及导数的中值定理及导数的应用应用(二二)【曲【曲线的的渐进线】一、一、渐近近线的定的定义 若曲若曲线上的一点沿着曲上的一点沿着曲线趋于无于无穷远时，该点与某条直点与某条直线的距离的距离趋于于零，零，则称此直称此直线为曲曲线的的渐近近线。二、二、渐近近线的分的分类中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用(一一)、水平、水平渐近近线如下如下图：中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用若曲若曲线的定的定义域是无限区域是无限区间间，且有，且有定定义或或则直直线为曲曲线的的渐近近水平水平渐进线线，称，称为中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用例例4求曲求曲线 的水平的水平渐近近线。解：解：是曲是曲线的一条水平的一条水平渐近近线。如下如下图：中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用练习题求曲求曲线 的水平的水平渐近近线是曲是曲线的一条水平的一条水平渐近近线中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用(二二)、铅垂垂渐近近线如下如下图：中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用定定义若曲若曲线有有或或则直直线为曲曲线的一条的一条渐或垂直或垂直渐进称称为铅垂垂渐进线.近近线，线.中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用例例5求曲求曲线 的的铅垂垂渐近近线。解：解：是曲是曲线的一条的一条铅垂垂渐进线。中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用练习题求曲求曲线 的的铅直直渐近近线是曲是曲线的一条的一条铅直直渐近近线中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用(三三)、斜、斜渐近近线如下如下图：中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用若若成立，成立，定定义斜斜渐近近线.为曲曲线则直直线的一条的一条其中其中中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用为曲曲线一般情况下一般情况下,的一条的一条渐近近线.则有有即即或或中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用或或或或或或中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用例例6求曲求曲线 的的渐近近线。解：解：是曲是曲线的一条的一条铅垂垂渐进线中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用是曲是曲线的斜的斜渐近近线.中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用练习题求曲求曲线 的的渐近近线是曲是曲线的一条的一条铅直直渐近近线是曲是曲线的一条斜的一条斜渐近近线中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用解：解：是曲是曲线的一条的一条铅垂垂渐进线中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用是曲是曲线的斜的斜渐近近线.中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用中值定理及应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用【经济函数的函数的弹性分析】性分析】弹性概念是性概念是经济学中的一个重要概念学中的一个重要概念,用来定量地描述一个用来定量地描述一个经济变量量对另一个另一个经济变量量变化的灵敏程度化的灵敏程度.如：如：设有有A和和B两种两种产品品,其其单价分价分别是是10元元和和100元元.同同样提价提价1元元,虽然改然改变量相同量相同,但提价的百分数大不相同但提价的百分数大不相同.因此有必要因此有必要导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用研究函数的相研究函数的相对改改变量以及相量以及相对变化率化率,这在在经济学中称学中称为弹性性.一、改一、改变量量给定定变量量 它在某它在某处的改的改变量量称称为绝对改改变量，量，称称为相相对改改变量量.二、函数二、函数弹性性定定义对于函数于函数 ，若函数，若函数的相的相对导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用改改变量量 与自与自变量的相量的相对改改变量量的比的比值 ，当，当 时的极的极限限 存在，存在，则称称该极限极限为函数函数 在点在点 处的的弹性，性，记作作导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用即即说明：明：函数函数 在点在点 处的的弹性，性，就是函数就是函数在点在点 处的相的相对变化率化率.它反映随它反映随 的的变化函数化函数 变化化幅度幅度 的大小，也就是的大小，也就是 对 变化反化反应的的 导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用灵敏度灵敏度 ，即在点，即在点 处，当，当 改改变 时，函数近似改，函数近似改变用用弹性函数来分析性函数来分析经济量的量的变化化成成为弹性分析性分析.三、需求三、需求弹性性定定义某个商品的市某个商品的市场需求量需求量为价格价格为需求函数需求函数 可可导, 则称称 导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用为该商品的需求价格商品的需求价格弹性性,简称需求称需求弹性性推推导：导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用经济意意义：当某种商品的价格下降当某种商品的价格下降(上升上升) 时，其需求量将增加其需求量将增加(减少减少) 说明明1、需求函数是、需求函数是单调减少函数，减少函数，故需求故需求弹性一般取性一般取负值.2、一般地、一般地:若若则需求需求递减的百分率减的百分率小于价格小于价格递增的百分率增的百分率,从而提价从而提价导致致导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用收入增加收入增加.若若则情况相反情况相反, 适当降价会使适当降价会使从而增加收入从而增加收入.需求量需求量较大幅度上升大幅度上升,这种情况的需求称种情况的需求称为缺乏缺乏弹性性.这种情况的需求称种情况的需求称为富有富有弹性性.若若则降价不会引起任何降价不会引起任何变化化,即需求的减少即需求的减少,恰好抵消了恰好抵消了涨价所得到价所得到的收入的收入.只有只有 时, 需求曲需求曲线才有才有弹性的性的.导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用例例4设某某产品的需求函数品的需求函数为求：价格求：价格为100时的需求的需求弹性并解性并解释其其经济含含义解：解：导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用它的它的经济意意义是当价格是当价格为100时，若价格提高若价格提高 时，则需求减需求减少少练习设某某产品的需求函数品的需求函数为求求:(1)需求价格需求价格弹性性;(2)价格价格为10时的需求的需求弹性性,再提高再提高1%时,求求该商品的需求的商品的需求的变化情况化情况.导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用解：解：价格价格为10时,再提高再提高1%时,商品的需商品的需求求量将减少量将减少13.9%.导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用【微分学在【微分学在经济中的中的应用】用】一般步一般步骤： 1、分析、分析问题，列出函数关系式。，列出函数关系式。对一元函数来一元函数来说，独立的，独立的变量量只有一个，其它只有一个，其它变量均可用它表量均可用它表示出来。示出来。 2、对函数关系式求一函数关系式求一阶导数，并令数，并令导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用其其为零，求出零，求出驻点点. 3、若所求的、若所求的驻点唯一，且二点唯一，且二阶导数数值小于零小于零(或大于零或大于零)，则函数在函数在该驻点取得最点取得最值.例例5一种玩具制造商得知生一种玩具制造商得知生产 件某种件某种洋娃娃的成本是洋娃娃的成本是(单位：元位：元)，这种玩具以种玩具以14元的元的单价价全全部售出部售出,求生求生产多少多少时,获利最多利最多?导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用解：解：设产量量为 ,则利利润函数函数为：则令令得得故故产量量为550时取得最大取得最大值,导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用设某厂在一个某厂在一个计算期内算期内产品的品的产量量练习与其成本与其成本 的关系的关系为(元元)根据市根据市场调查得知得知,每每单位位该种种产品的品的价格价格为6元元,且全部售出且全部售出,求生求生产多少多少时,获利最大利最大?导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用某商家某商家销售某种商品的价格售某种商品的价格满足足例例6(万元万元/吨吨)，为销售量售量(单位：吨位：吨)，商品的成本函数是，商品的成本函数是求求:(1)、若每若每销售一吨，政府要征售一吨，政府要征税税 (万元万元) t(万元万元)、求、求该商家商家获得最大利得最大利润时的的销售量售量.(2)、 为何何值时，政府税收政府税收总额最最大大 解：解：导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1)、设 为总税税额 则商品商品销售售总收入收入为：利利润函数函数为：导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用令令得得又又时,利利润最大最大.(2)、将、将 代入代入 ,得得 导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用令令得得又又政府税收政府税收总额最大最大导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用练习(单位：元位：元)的函数是的函数是1、假、假设某种某种产品的需求量是品的需求量是单价价商品的商品的总成本成本C是需求量是需求量 的函数的函数每每单位商品需要位商品需要纳税税2元，元，试求使求使销售利售利润最大的商品最大的商品单价和最大利价和最大利润额导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用2、某制造商每年出售的冰箱、某制造商每年出售的冰箱稳定在定在50000台，分批生台，分批生产(批量相同批量相同),每次每次的的生生产成本成本为10000元，加上没制造一台元，加上没制造一台冰箱，需多付的冰箱，需多付的100元元.此外，在每一年此外，在每一年中，每台冰箱的存放中，每台冰箱的存放费是是2.5元，若需求元，若需求整年不整年不变，问制造商制造商应分几批生分几批生产，才，才能使它的能使它的总成本最低成本最低.(存放存放费按平均按平均库存量存量计算算)导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用提示：提示：1、利、利润销售利售利润导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用2、 总成本成本=生生产成本成本+存放存放费用用生生产成本与生成本与生产批次成正比，批次成正比， 而批次与而批次与批量成反比，批量成反比，一年共生一年共生产 批批.生生产成本成本=(元元)存放存放费用用=导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用导数在经济中的应用令令得得批次批次=(批批)故故应分分2.5批生批生产，才能使，才能使总成本最低成本最低