等比数列的前n项和（第一课时）等比数列的前n项和（第一课时）长沙市六中长沙市六中 钟辅君钟辅君 等比数列的前n项和等比数列的前n项和一、教材分析一、教材分析二、目标分析二、目标分析三、过程分析三、过程分析四、教法分析四、教法分析五、评价分析五、评价分析一、教材分析 一、教材分析 1从在教材中的地位与作用来看从在教材中的地位与作用来看 等等比比数数列列的的前前n n项项和和是是数数列列这这一一章章中中的的一一个个重重要要内内容容，它它不不仅仅在在现现实实生生活活中中有有着着广广泛泛的的实实际际应应用用，如如储储蓄蓄、分分期期付付款款的的有有关关计计算算等等等等，而而且且公公式式推推导导过过程程中中所所渗渗透透的的类类比比、化化归归、分分类类讨讨论论、整整体体变变换换和和方方程程等等思思想想方方法法，都都是是学学生生今今后后学学习习和和工工作作中中必必备备的的数数学素养学素养一、教材分析 一、教材分析 2从学生的认知角度来看从学生的认知角度来看 学学生生很很容容易易把把本本节节内内容容与与等等差差数数列列前前n n项项和和从从公公式式的的形形成成、特特点点等等方方面面进进行行类类比比，这这是是认认知知的的有有利利因因素素认认知知的的不不利利因因素素有有：本本节节公公式式的的推推导导与与等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式的的推推导导有有着着本本质质的的不不同同，这这对对学学生生的的思思维维定定势势是是一一个个突突破破，另另外外，对对于于q q=1=1这这一一特特殊殊情情况况，学学生生往往往往容容易易忽忽视视，尤尤其其是在后面使用的过程中容易出错是在后面使用的过程中容易出错一、教材分析 一、教材分析 3学情分析学情分析 教教学学对对象象是是刚刚进进入入高高中中的的学学生生，虽虽然然具具有有一一定定的的分分析析问问题题和和解解决决问问题题的的能能力力，逻逻辑辑思思维维能能力力也也初初步步形形成成，但但由由于于年年龄龄的的原原因因，思思维维尽尽管管活活跃跃、敏敏捷捷，却却缺缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨一、教材分析 一、教材分析 4重点、难点分析重点、难点分析 本节课的本节课的重点是公式的推导、公式的特点和公式的重点是公式的推导、公式的特点和公式的 运用；难点是公式的推导方法及公式应用中运用；难点是公式的推导方法及公式应用中q q与与1 1的关系的关系 这样确定重点，既能夯实这样确定重点，既能夯实“双基双基”，又凸现了掌握，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用而公式推导用到知识的三个层次：识记、理解和运用而公式推导用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点 二、目标分析 二、目标分析 1知识与技能目标知识与技能目标 理解并掌握等比数列前理解并掌握等比数列前n n项和公式的推导过程、项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题关的问题 分析：这一目标体现了基础知识的落实、基分析：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求符合课程标准的要求二、目标分析 二、目标分析 2过程与方法目标过程与方法目标 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力向思维的能力 分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展上得到发展 二、目标分析 二、目标分析 3情感、态度与价值观情感、态度与价值观 通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点辩证唯物主义观点三、过程分析 三、过程分析 创设情境，创设情境，提出问题提出问题师生互动，师生互动，探究问题探究问题类比联想，类比联想，解决问题解决问题讨论交流，讨论交流，延伸拓展延伸拓展变式训练，变式训练，深化认识深化认识例题讲解，例题讲解，形成技能形成技能总结归纳，总结归纳，加深理解加深理解课后作业，课后作业，分层练习分层练习故事结束，故事结束，首尾呼应首尾呼应1 1创设情境，提出问题创设情境，提出问题 引入：印度国际象棋发明者的故事引入：印度国际象棋发明者的故事（西（西 萨）萨）设计意图：设计意图： 设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点设问：同学们，你们知道西萨要的设问：同学们，你们知道西萨要的 是多少小麦吗？是多少小麦吗？引导学生写出麦粒总数为引导学生写出麦粒总数为 在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.设计意图：设计意图：2 2师生互动，探究问题师生互动，探究问题探讨探讨: : 发明者要求的麦粒总数是：发明者要求的麦粒总数是：S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+263 63 上式有何特点？上式有何特点？ 如果如果式两边同乘以式两边同乘以2 2得得 2 2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+26363+2+264 64 比较比较、两式，有什么关系？两式，有什么关系？ 留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机设计意图：设计意图： S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+23 3+2+263 63 2 2S6464= 2+2= 2+22 2+2+23 3+2+26363+2+264 64 错位相减法错位相减法反思：反思： 纵观全过程，纵观全过程，式两边为什么要乘以式两边为什么要乘以2 2 ？ 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到 学学生生经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，会惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心设计意图：设计意图：3 3类比联想，解决问题类比联想，解决问题问题：问题： 在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成功和愉快设计意图：设计意图： 探讨探讨1 1：探讨探讨2 2： 结合等比数列的通项公式 , 如何把 用 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 对不对？ =1时 =？ (这里引导学生对 进行分 类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下 基础） 设计意图：设计意图： 通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力这一环节非常重要，尽管用时比较少，仅仅几句话，然而却有画龙点睛的作用4 4讨论交流，延伸拓展讨论交流，延伸拓展思路思路1 1：思路思路2 2：设计意图：设计意图： 以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围以上两种方法都可以化归到 , 这其实就是关于 的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用. .5 5变式训练，深化认识变式训练，深化认识 设计意图：设计意图： 采用变式教学题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式变式运用公式研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，培养学生的参与意识和竞争意识6 6例题讲解，形成技能例题讲解，形成技能 解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想 设计意图：设计意图：7 7总结归纳，加深理解总结归纳，加深理解 提出问题，引导学生回顾公式及其推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结 以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力设计意图：设计意图： 8 8故事结束，首尾呼应故事结束，首尾呼应 把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服认知疲劳，促进积极思维设计意图：设计意图： 9 9课后作业，分层练习课后作业，分层练习 出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间必做： P129练习1、2、3、4选作：设计意图：设计意图： （2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 这个问题的答案是多少？四、教法分析 四、教法分析 对对公公式式的的教教学学，要要使使学学生生掌掌握握与与理理解解公公式式的的来来龙龙去去脉脉，掌掌握握公公式式的的推推导导方方法法，理理解解公公式式的的成成立立条条件件，充充分分体体现现公公式式之之间间的的联联系系在在教教学学中中，我我采采用用“问问题题探探究究”的的教教学学模模式式，把把整整个个课课堂堂分分为为呈呈现现问问题题、探探索索规规律、总结规律、应用规律四个阶段律、总结规律、应用规律四个阶段 利利用用多多媒媒体体辅辅助助教教学学，直直观观地地反反映映了了教教学学内内容容，使使学学生生思思维维活活动动得得以以充充分分展展开开，从从而而优优化化了了教教学学过过程程，大大大提高了课堂教学效率大提高了课堂教学效率五、评价分析 五、评价分析 本本节节课课通通过过三三种种推推导导方方法法的的研研究究，使使学学生生从从不不同同的的思思维维角角度度掌掌握握了了等等比比数数列列前前n n项项和和公公式式错错位位相相减减：变变加加为为减减，等等价价转转化化；递递推推思思想想：纵纵横横联联系系，揭揭示示本本质质；等等比比定定理理：回回归归定定义义，自自然然朴朴实实学学生生从从中中深深刻刻地地领领会会到到推推导导过过程程中中所所蕴蕴含含的的数数学学思思想想，培培养养了了学学生生思思维维的的深深刻刻性性、敏敏锐锐性性、广广阔阔性性、批批判判性性同同时时通通过过精精讲讲一一题题，发发散散一一串串的的变变式式教教学学，使使学学生生既既巩巩固固了了知知识识，又又形形成成了了技技能能在在此此基基础础上上，通通过过民民主主和和谐谐的的课课堂堂氛氛围围，培培养养了了学学生生自自主主学学习习、合合作作交交流流的的学学习习习习惯惯，也培养了学生也培养了学生勇于探索、不断创新勇于探索、不断创新的思维品质的思维品质敬请指导敬请指导敬请指导敬请指导