5.6.4几何证明举例八年级上册回顾与思考回顾与思考1.1.什么叫角的平分线？什么叫角的平分线？2.2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？性质？3.3.这个性质你是怎样得到的？这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？已知：已知：AOB求作：求作：AOB的平分线的平分线作法作法：（：（1）以）以O为圆心，适当长为半径为圆心，适当长为半径作弧，交作弧，交OA于于M,交交OB于于N;（2）分别以）分别以M、N为圆心，大于为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点的内部交于点C.(3)作射线作射线OC.射线射线OC即为所求。即为所求。你能说明其中的道理吗？你能说明其中的道理吗？AMOBNC角平分线的性质定理角平分线的性质定理定理定理 1 在角的平分在角的平分线上的点到上的点到这个角的两个角的两边的距的距离相等。离相等。定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD = PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，必推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任须写完全，不能少了任何一个何一个。AOBDPE交流与发现交流与发现 你能说出角平分线的性质定理的你能说出角平分线的性质定理的逆命题逆命题吗？它是真命题吗？应如何吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性证明它的真实性? ? 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上分线上. .已知：如图，已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分，垂足分别是别是D，E， PD=PE。求证：点求证：点P在在AOB的平分线上。的平分线上。证明证明: 在在RtODP和和RtOEP中中,ODP=OEP=90OP=OP, PD=PERtOPD RtOPE (HL) 到一个角的两到一个角的两边的距离相等的点，的距离相等的点， 在在这个角的平分个角的平分线上。上。定理定理 2定理定理 2的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平在这个角的平分线上分线上）用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线典型例题典型例题我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？论？例例: :已知已知：如图，：如图，AMAM，BNBN，CPCP是是ABCABC的三条角平分线。的三条角平分线。 求证求证：AMAM，BNBN，CPCP交于一点交于一点。要证明三角形的三条角平分线交要证明三角形的三条角平分线交与一点，只要证明与一点，只要证明两条角平分线两条角平分线的交点也在第三条角评分线上的交点也在第三条角评分线上就就可以了。可以了。 证明：证明：设设AM、BN交于点交于点O。过点过点O作作OF 、OD、OE分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、FAM是是BAC的角平分线，点的角平分线，点O在在AM上上（已知）（已知）OF=OE（在角平分线上的点到角的两边在角平分线上的点到角的两边的距离相等）的距离相等）同理同理 OF=OD. OD=DE(等量代换）等量代换）CP是是ACB的角平分线的角平分线O在在CP上（角的内部到角的两边距离相上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上等的点在这个角的平分线上DEFABCPMN结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。这个交点叫三角形的内心这个交点叫三角形的内心O小试身手小试身手如图如图24-7924-79，ABCABC中，中，ABABACAC，M M是是BCBC的中点，的中点，MDABMDAB，MEACMEAC， D D、E E是垂足。是垂足。 求证：求证：MDMDMEME。再试身手再试身手如图1-34，已知：ABC中，BAC = 90, ADBC于D，AE平DAC，EFBC交AC于F，连接BF. 求证：BF是ABC的平分线. 课堂小结课堂小结1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。作用：作用：证明两条线段相等证明两条线段相等2.2.角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。作用作用: :证明两个角相等或线是角平分线证明两个角相等或线是角平分线3.3.符号语言：符号语言： 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：点点P P在的平分线在的平分线BDBD上且上且 PMPM BA,PNBA,PN BCBC PM=PN PM=PN 角平分线的判定定理：角平分线的判定定理： PMBA,PNBCPMBA,PNBC，且，且PM=PN PM=PN 点点P P在在 ABCABC的平分线上的平分线上 （或（或BPBP是是 ABCABC的平分线的平分线) )祝同学们学习进步！祝同学们学习进步！