第第2章章 线性自动控制系统的数学描述线性自动控制系统的数学描述 2.1 概述概述 自动控制理论研究的问题主要有两个：自动控制理论研究的问题主要有两个：（1）一个给定的自动控制系统它是如何运）一个给定的自动控制系统它是如何运动的，运动具有哪些性质和特性？动的，运动具有哪些性质和特性？-系统分析系统分析。 例如，给定一个自动控制系统，要例如，给定一个自动控制系统，要研究研究在扰动作用下，系统中的各个变量是如在扰动作用下，系统中的各个变量是如何变化的，或者在瞬间的扰动作用下，何变化的，或者在瞬间的扰动作用下，系统又是如何变化的，它们具有什么特系统又是如何变化的，它们具有什么特征。征。 2.1 概述概述（2）如何）如何设计设计一个控制系统或如何控制系统的一个控制系统或如何控制系统的运动使它具有预先要求的性质与特征？这类问运动使它具有预先要求的性质与特征？这类问题称为题称为系统综合系统综合。例如，如何选择系统中的参。例如，如何选择系统中的参数，使反馈控制系统在给定值单位阶跃函数扰数，使反馈控制系统在给定值单位阶跃函数扰动下希望的过渡过程？动下希望的过渡过程？系统分析的基础系统分析的基础, ,才能对系统进行综合。系统才能对系统进行综合。系统综合是生产过程自动控制系统能够具体实现的综合是生产过程自动控制系统能够具体实现的条件。条件。要解决上面问题，都离不开对表征系统运动的要解决上面问题，都离不开对表征系统运动的所有参数变量及它们之间关系的充分了解，并所有参数变量及它们之间关系的充分了解，并用数学形式进行描述。这就是常说的必须建立用数学形式进行描述。这就是常说的必须建立系统的系统的数学模型数学模型。建立数学模型是控制原理的。建立数学模型是控制原理的基础。基础。 2.1 概述概述一动态系统一动态系统 图图2-1 动态系统示意动态系统示意 是外界是外界对对系系统统的的扰动扰动，是，是输输入变量入变量，时间时间的函数；的函数； 是系是系统对统对外界的影响，是外界的影响，是动动态态系系统统的的输出变量输出变量，时间时间的函数。的函数。输输入是入是输输出出变变化的原因，化的原因，输输出是出是输输入入变变化的化的结结果。果。 一动态系统一动态系统 是是系系统统内部内部联联系系输输入和入和输输出的出的，也是也是时间时间的函数的函数。动动态态系系统统是是指指有有特特定定输输入入和和输输出出设设备备或或装置的一种模型。装置的一种模型。热热水水加加热热器器出出口口温温度度控控制制系系统统中中被被控控对对象象（加加热热器器）和和自自动动调调节节器器都都可可看看成成动动态态系系统统，而而整整个个反反馈馈控控制制系系统统也也可可看看成成一个动态系统。一个动态系统。 一动态系统一动态系统动动态态系系统统简简称称系系统统。在在动动态态过过程程中中系系统统的的输输入入、输出和状态都是时间的函数，都是变量。输出和状态都是时间的函数，都是变量。它它们们之之间间的的关关系系就就称称系系统统的的动动态态特特性性，动动态态特特性性的的数数学学描描述述（数数学学表表达达式式）就就称称动动态态系系统统的的数数学学模模型型，一一般般情情况况下下，动动态态特特性性与与动动态态模模型型是指的同一含义。是指的同一含义。单单变变量量系系统统或或单单输输入入单单输输出出系系统统（SI-SOSI-SO）。多变量系统多变量系统或或多输入多输出系统多输入多输出系统 （MI-MOMI-MO）。 数学模型u1y1my1y1x.nxu1ur二动态系统的数学模型二动态系统的数学模型 系统的动态特性可以用两类方法描述：系统的动态特性可以用两类方法描述： 1系统的输出输入描述系统的输出输入描述： 微分方程和传递函数。微分方程和传递函数。 不考虑系统内部不考虑系统内部的状态，只建立系统输出变量与输入变的状态，只建立系统输出变量与输入变量之间的数学关系。多种形式，彼此可量之间的数学关系。多种形式，彼此可以互相转换。适用于不同的系统分析与以互相转换。适用于不同的系统分析与综合方法时使用。综合方法时使用。 系统的输出输入描述只系统的输出输入描述只涉及系统端部涉及系统端部特性，特性，不反映系统内部的特性，所以从不反映系统内部的特性，所以从本质上说这样的描述并不能反映动态系本质上说这样的描述并不能反映动态系统的全貌。统的全貌。二动态系统的数学模型二动态系统的数学模型2系统的输入状态输出描述系统的输入状态输出描述： 状态空间描述状态空间描述 反映系统的端部特性而且还反映了系反映系统的端部特性而且还反映了系统内部状态的特性，是系统特性的完整统内部状态的特性，是系统特性的完整表达，是系统性的。现代控制理论的状表达，是系统性的。现代控制理论的状态空间分析方法对系统进行分析和综合。态空间分析方法对系统进行分析和综合。两种方法可以互相转换。两种方法可以互相转换。三建立系统动态数学模型的方法三建立系统动态数学模型的方法 是系统分析与系统综合的基础，模型的正确性是系统分析与系统综合的基础，模型的正确性影响控制系统设计、分析和综合结果的准确性影响控制系统设计、分析和综合结果的准确性与可靠性，影响到控制任务的完成。与可靠性，影响到控制任务的完成。 1分析建模法分析建模法(物理定理物理定理)它以描述宏观物理现象的力学、热力学、传热它以描述宏观物理现象的力学、热力学、传热学、流体力学及电工学等基本定律为基础，由学、流体力学及电工学等基本定律为基础，由系统的结构参数用理论分析的方法系统的结构参数用理论分析的方法建立系统中建立系统中各变量之间关系的数学表达式各变量之间关系的数学表达式即数学模型。将即数学模型。将系统按一定规则系统按一定规则分成多个分成多个彼此相关的子系统，彼此相关的子系统，再分别建立子系统变量之间关系，再分别建立子系统变量之间关系，最终确定整最终确定整个系统模型。个系统模型。该法只适用于过程机理清晰系统，该法只适用于过程机理清晰系统，为模型简化常作必要假定。得到模型还需实际为模型简化常作必要假定。得到模型还需实际验证。验证。 三建立系统动态数学模型的方法三建立系统动态数学模型的方法2试验建模法试验建模法 在系统的在系统的输入端加上某种测试信号输入端加上某种测试信号（系统激励信号）（系统激励信号）测量系统的输出信号测量系统的输出信号用数学方法求出动态数学模型。用数学方法求出动态数学模型。也可以利用系统运行时各变量的也可以利用系统运行时各变量的实际运行数据实际运行数据,用用统计的方法统计的方法建立系统的动态数学模型。建立系统的动态数学模型。 试验建模法已发展成一门完整的学科分支，就是试验建模法已发展成一门完整的学科分支，就是“系统辨识与参数估计系统辨识与参数估计”，它涉及到许多理论问题。，它涉及到许多理论问题。热工过程，相对较慢（时间数量级），常采用阶跃热工过程，相对较慢（时间数量级），常采用阶跃信号、正弦信号及伪随机二进制信号作为试验输入信号、正弦信号及伪随机二进制信号作为试验输入信号，然后再测量系统的输出信号，用一定的数学信号，然后再测量系统的输出信号，用一定的数学方法得到系统的动态数学模型。方法得到系统的动态数学模型。3综合法综合法 将上两种方法相结合形成新方法。将上两种方法相结合形成新方法。 2.2 单变量系统的数学描述单变量系统的数学描述 只有一个输入变量和一个输出变量的系统，只有一个输入变量和一个输出变量的系统，其输入和输出之间的数学关系就是单变量系其输入和输出之间的数学关系就是单变量系统的输出输入描述统的输出输入描述。一稳态模型和动态模型一稳态模型和动态模型1稳稳态态模模型型：系系统统在在稳稳定定状状态态(不不再再变变化化)下下，即即输输入入和和输输出出各各阶阶导导数数都都为为零零时时，输输出出和和输输入入的的关关系系称称系系统统的的稳稳态态模模型型或或静静态态模模型型，也也称称稳稳态态特特性性或或静静态态特特性性。变变量量与与时时间间无无关关。输出输入变量关系的代数方程描述：输出输入变量关系的代数方程描述：一稳态模型和动态模型一稳态模型和动态模型 例例1： 图图2-2(a)图图2-2(a) 直接安装在管路中的调节阀门，其直接安装在管路中的调节阀门，其输入为阀门的开度，输出为管路中的液体输入为阀门的开度，输出为管路中的液体流量，在稳定状态下，可以写出如下关系：流量，在稳定状态下，可以写出如下关系： 式中：式中：Q0Q0是是 时阀门的漏流量；时阀门的漏流量；k k为常数，为常数，其数值取决于阀门的结构、管路特性及介质其数值取决于阀门的结构、管路特性及介质性质等性质等. .非线性模型。非线性模型。一稳态模型和动态模型一稳态模型和动态模型例例2 图图2-2(b) 热电偶测量介质温度热电偶测量介质温度 ,输出信号为热电偶热电势，输出信号为热电偶热电势，输入信号为被测介质温度。在稳定状态下，关系为输入信号为被测介质温度。在稳定状态下，关系为(假定热电偶冷端为零度假定热电偶冷端为零度)：是线性模型是线性模型 2动态模型动态模型 系系统统在在动动态态过过程程中中输输出出与与输输入入的的关关系系的的数数学学描描述述就就是是系系统统的的动动态态模模型型（或或动动态态特特性性），动动态态过过程程中中输输入入和和输输出出的的各各阶阶导导数数都都随随时时间间变变化化。微微分分方方程程是是表表征征系系统统动动态态特性的最基本的数学方程。特性的最基本的数学方程。二线性系统的数学模型二线性系统的数学模型 稳态模型中，用稳态模型中，用线性代数方程线性代数方程-线性模型线性模型。用用非线性代数方程非线性代数方程-非线性模型。非线性模型。动动态态模模型型中中，如如果果用用线线性性微微分分方方程程描描述述的的就就是是线线性性系统系统。用。用非线性微分方程非线性微分方程描述的是描述的是非线性系统非线性系统。线线性性系系统统满满足足叠叠加加原原理理。如如果果有有多多个个输输入入影影响响一一个个输输出出，那那么么，多多个个输输入入信信号号同同时时作作用用的的输输出出响响应应，等于每个输入信号单独作用下输出信号的叠加。等于每个输入信号单独作用下输出信号的叠加。非线性系统：不满足叠加原理的系统。非线性系统：不满足叠加原理的系统。实实际际生生产产过过程程有有非非线线性性因因素素。对对系系统统中中的的非非线线性性因因素素，使使建建模模及及系系统统分分析析、综综合合都都有有一一定定难难度度- -线线性性化化处处理理。也也就就是是将将各各个个变变量量在在小小范范围围内内变变化化时时认认为为是是线线性性的的，将将非非线线性性微微分分方方程程变变成成线线性性微微分分方方程程，再再用线性系统理论进行分析研究。用线性系统理论进行分析研究。三系统输出输入动态特性的微分方程描述三系统输出输入动态特性的微分方程描述例例2-1RCRC电路（电路（a）所示，设输入信号为所示，设输入信号为u1u1，输出信号为输出信号为ucuc，写出它们之间的动态模型，写出它们之间的动态模型，这里输入这里输入u1u1和输出和输出ucuc都是时间都是时间t t的函数。的函数。解：解：(1) 根据电路的基本定律，可以画出图根据电路的基本定律，可以画出图 (b)的方框图。的方框图。(2) 列写运动方程式：列写运动方程式：例例2-1(2) 列写运动方程式：列写运动方程式：环节环节1：相当于电阻：相当于电阻R R，环节环节2 2：相当于电容：相当于电容C C，(3) (3) 消去中间变量消去中间变量i i，得到得到 : : 线性常系数一阶微分方程线性常系数一阶微分方程. . 例例2-1如果知道了系统的初始条件及在如果知道了系统的初始条件及在t0t0时的时的输入输入u1(t)u1(t) ，求解方程可得，求解方程可得ucuc。在稳定状态下，在稳定状态下， ，则有：，则有：ucuc=u1=u1。如果要求得到输出为电阻两端的电压或如果要求得到输出为电阻两端的电压或电流与输入的关系，只要上两式中消去电流与输入的关系，只要上两式中消去中间变量，它们分别为：中间变量，它们分别为： 例例2-2 例例2-2用热电偶测量介质温度。如图所示，输入用热电偶测量介质温度。如图所示，输入信号为介质的温度，输出为热电势，写出动态关系的信号为介质的温度，输出为热电势，写出动态关系的数学表达式。数学表达式。解：解：(1) (1) 根根据据物物理理过过程程画画出出图图 ( (b)b)的的框框图图，其其中中q为为介介质质向热电偶的传热量；向热电偶的传热量；(2) (2) 列写运动方程。列写运动方程。环节环节1 1：输入为介质温度与热电偶热端温度的差，输：输入为介质温度与热电偶热端温度的差，输出为介质向热电偶热端的传热量出为介质向热电偶热端的传热量，由传热学知识可得：由传热学知识可得： 例例2-2 传传热阻热阻力，假定常数；力，假定常数； q q热流量，单位时间传热量热流量，单位时间传热量 .环节环节2：输入输入-热流量热流量q，输出输出-热电偶热端温度热电偶热端温度 ，它们之间的关系为：它们之间的关系为： 热电偶热端热电偶热端热容热容量（每升高量（每升高 所需热量）所需热量） 例例2-2环节环节3：热电偶热端温度：热电偶热端温度 变化使热电势变化使热电势E变化，变化，关系为：关系为： 为热电偶特性常数，即热电偶热端温度每改为热电偶特性常数，即热电偶热端温度每改变变 所产生的热电势所产生的热电势 . (3) 消去中间变量，可以得到消去中间变量，可以得到: 一一阶阶线线性性常常系系数数微微分分方方程程，描描述述了了热热电电偶偶的的输输出出热电势与被测介质温度之间的动态关系。热电势与被测介质温度之间的动态关系。在稳态时，在稳态时， 有有,这就是热电偶的静态特性。这就是热电偶的静态特性。例例2-3 例例2-3蓄水箱物理系统，水箱截面积为蓄水箱物理系统，水箱截面积为A A，输入信号为进水量输入信号为进水量Q1Q1，输出信号为水输出信号为水箱水位箱水位H H，写出它们的动态方程式。写出它们的动态方程式。 解：解：(1) 根据物理过程画出框图。根据物理过程画出框图。(2) 列写运动方程：列写运动方程：环节环节1：输入为：输入为Q1- Q2Q1- Q2，输出为，输出为水位水位H。例例2-3环节环节2：输入为输入为H，输出为输出为Q2。 为管道流出侧的阻力系数为管道流出侧的阻力系数.(3) 消去中间变量消去中间变量 一阶一阶非线性微分方程非线性微分方程 .伯努利方程伯努利方程: : Q2=K(2gh)Q2=K(2gh)1/21/2例例2-3在较大范围变化内，在较大范围变化内，Q2Q2与与H H是非线性的是非线性的。线性化处理线性化处理 在（在（H0,Q0)点稳定，点稳定，例例2-3线性化处理后的以增量形式表示的动态方程，是线性化处理后的以增量形式表示的动态方程，是一个一个一阶线性一阶线性常微分方程常微分方程 。运动时变量的变化可看成是该稳态点增量，在写运动时变量的变化可看成是该稳态点增量，在写方程式或画框图时的变量名称，应理解为稳态点方程式或画框图时的变量名称，应理解为稳态点的增量。更进一步，如果将变量取成增量的相对的增量。更进一步，如果将变量取成增量的相对变化的无因次量，那么在系统中就不再存在量纲。变化的无因次量，那么在系统中就不再存在量纲。 伯努利方程伯努利方程: : Q2=K(2gh)Q2=K(2gh)1/21/2线性化处理线性化处理例例2-4液位控制系统液位控制系统直接作用式液位控制系统。流量直接作用式液位控制系统。流量Q3Q3只与水泵只与水泵转速有关，设输入为流出量转速有关，设输入为流出量Q3Q3 ，输出为水，输出为水位位H2H2，写出它们的动态方程式。写出它们的动态方程式。例例2-4解：解：(1) 根据物理过程画出框图，框图中的每根据物理过程画出框图，框图中的每个变量符号应理解成是相对于某个稳态个变量符号应理解成是相对于某个稳态点的增量，或增量的无因次量。点的增量，或增量的无因次量。(2) (2) 列写运动方程列写运动方程环节环节1 1：水箱：水箱1 1，输入为，输入为Q1-Q2Q1-Q2，输出为输出为H1H1。 例例2-4环节环节2：小扰动线性化后小扰动线性化后 环节3：环节4：环节环节5：阀门特性阀门特性 例例2-4(3) 可以得到输入为可以得到输入为Q3Q3，输出为输出为H2H2的动态的动态方程：方程： 分析物理过程机理，画出框图，写出环分析物理过程机理，画出框图，写出环节的动态方程，消去中间变量节的动态方程，消去中间变量-输出输出输入关系的动态方程。输入关系的动态方程。是线性常微分方程（非线性部分，小范是线性常微分方程（非线性部分，小范围内线性化处理），方程阶次与系数取围内线性化处理），方程阶次与系数取决于物理系统的结构等参数。微分方程决于物理系统的结构等参数。微分方程是系统输出输入描述的最基本的方法。是系统输出输入描述的最基本的方法。例例2.5 气动系统气动系统当q1=q2时, p保持不变.动态时,p1,p2变化, p跟随变化.压气机p1,q1p2,q2用户P,V理想气体状态方程: p v = RTv是气体比容, R是气体常数,T是气体热力学温度.充气是等温过程.考虑到p变, p2变, R是气阻.步骤:1.分析系统工作原理,确定输入输出关系. 根据物理规律,写出运动方程;2. 消去中间变量3. 得到微分方程.四系统动态特性的传递函数描述四系统动态特性的传递函数描述 系统越复杂，微分方程的阶次就越高，方程求系统越复杂，微分方程的阶次就越高，方程求解的计算工作量越大。解的计算工作量越大。利用利用 变换数学工具，简化微分方程的变换数学工具，简化微分方程的求解，同时可将微分方程变换成复变量求解，同时可将微分方程变换成复变量S S的代的代数方程，研究方便简化。数方程，研究方便简化。传递函数传递函数 描述系统的输出输入关系描述系统的输出输入关系. .定义：定义：在零值初始条件下系统输出和输入拉普拉在零值初始条件下系统输出和输入拉普拉斯变换的比斯变换的比，写成：，写成： 传递函数传递函数在在零值初始条件零值初始条件下，对方程两端进行拉普拉下，对方程两端进行拉普拉斯变换斯变换: : 传递函数的分母为关于s的n次多项式： 传递函数传递函数 特征多项式特征多项式, 根称为传递函数根称为传递函数极点极点 零点零点 传递函数分子多项式等于零的根称传传递函数分子多项式等于零的根称传递函数的递函数的零点零点.为传递函数的零点为传递函数的零点 为传递函数的极点为传递函数的极点 分子的阶次不高于分母阶次的分子的阶次不高于分母阶次的传递函数称为正则传递函数正则传递函数。传递函数传递函数传递函数说明传递函数说明：1 传递函数是一种数学模型，它表示联系系统输出变量与输入传递函数是一种数学模型，它表示联系系统输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法。变量的微分方程的一种运算方法。2 是系统本身属性，它与输入量大小、性质无关。是系统本身属性，它与输入量大小、性质无关。3 包含输入量与输出量之间的联系，但不提供任何有关物理包含输入量与输出量之间的联系，但不提供任何有关物理结构的信息。结构的信息。4 如果系统的传递函数已知，可以针对各种不同的输入量，研如果系统的传递函数已知，可以针对各种不同的输入量，研究系统的输出，以便掌握系统的性质。究系统的输出，以便掌握系统的性质。5 如果不知道系统传递函数，则可以通过引入已知输入量并研如果不知道系统传递函数，则可以通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数确定系统的传递函数。 传递函数传递函数导出传递函数的步骤：导出传递函数的步骤：物理方法：物理方法：1写出系统的微分方程；写出系统的微分方程；2假设全部初始条件为假设全部初始条件为0，对微分方程进行拉普拉，对微分方程进行拉普拉斯变换；斯变换；3求输出量求输出量Y(s)与输入量与输入量U(s)之比，得传递函数。之比，得传递函数。实验方法：实验方法：1给系统加已知输入信号，测出系统的输出。给系统加已知输入信号，测出系统的输出。2用数学方法求出系统的函数表达式。用数学方法求出系统的函数表达式。对函数表达式进行拉普拉斯变换，得到传递函数。对函数表达式进行拉普拉斯变换，得到传递函数。 五典型输入下输出响应五典型输入下输出响应脉冲响应和阶跃响应脉冲响应和阶跃响应 用传递函数描述系统输出输入动态关用传递函数描述系统输出输入动态关系系, ,则输入作用下则输入作用下 : :在相同输入下，响应因系统特性不同而不同。在相同输入下，响应因系统特性不同而不同。用典型输入信号，从输出响应了解系统的特用典型输入信号，从输出响应了解系统的特性。性。有单位脉冲函数、单位阶跃函数和单位斜坡有单位脉冲函数、单位阶跃函数和单位斜坡函数，其对应的输出为单位脉冲响应、单位函数，其对应的输出为单位脉冲响应、单位阶跃响应和单位斜坡响应。在热工过程中，阶跃响应和单位斜坡响应。在热工过程中，常用的典型输入信号为常用的典型输入信号为单位脉冲函数单位脉冲函数和和单位单位阶跃函数。阶跃函数。 1单位脉冲响应单位脉冲响应 且且 单位脉冲函数单位脉冲函数 输入下系统的输出输入下系统的输出. . 重要特性重要特性 1单位脉冲响应单位脉冲响应在在 输入下，输出输入下，输出 为为 :单位脉冲函数及其近似矩形脉冲单位脉冲函数及其近似矩形脉冲称为脉冲响应函数称为脉冲响应函数, , 系统的权函数系统的权函数. . 2单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃函数输入下系统的输出单位阶跃函数输入下系统的输出单位阶跃响应单位阶跃响应.输出响应为：输出响应为： 许许多多扰扰动动近近似似阶阶跃跃函函数数性性质质。例例：负负荷荷突突然然变变化化,阀阀门的突然开大或关小等。门的突然开大或关小等。用用阶阶跃跃响响应应来来表表示示一一个个环环节节动动态态性性质质能能较较直直观观地地显显示示出输出变量变化情况。出输出变量变化情况。阶阶跃跃函函数数包包含含信信号号成成分分(谱谱)十十分分丰丰富富, 任任意意输输入入函函数数可以近似成不同作用时刻不同幅度的阶跃函数的叠加可以近似成不同作用时刻不同幅度的阶跃函数的叠加。例例2-1的的传递函数传递函数 其单位脉冲响应为：其单位脉冲响应为： 两边取拉普拉斯变换，在零初值条件下：两边取拉普拉斯变换，在零初值条件下： 其单位阶跃响应为：其单位阶跃响应为： 例例2-1的的输入输出曲线输入输出曲线 输入输入 输出曲线输出曲线 动态关系描述法动态关系描述法系统的输出系统的输出-输入动态关系描述法输入动态关系描述法微分方程微分方程传递函数传递函数典型输入下的输出响应典型输入下的输出响应频率特性频率特性