工程力学工程力学 第九章第九章弯曲内力弯曲内力中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）弯曲内力弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例受弯杆件的简化受弯杆件的简化剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图载荷集度剪力和弯矩间关系载荷集度剪力和弯矩间关系平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力2力学主要概念力学主要概念外力：外力：面积力，体积力，集中力，力偶（进而求出支反力）面积力，体积力，集中力，力偶（进而求出支反力）内力：内力：轴力轴力FN（N）、剪力、剪力FQ（Q）、弯矩、弯矩M(画在受拉一侧画在受拉一侧)应力应力内力集度：正应力，剪应力内力集度：正应力，剪应力应变：应变：正应变正应变 剪应变剪应变位移（变形）：位移（变形）：u、v联系外力和支座反力是联系外力和支座反力是平衡方程平衡方程联系外力和内力也是联系外力和内力也是平衡方程平衡方程内力内力应力，物理综合应力，物理综合联系应力和应变是联系应力和应变是物理方程物理方程联系应变和位移是联系应变和位移是几何方程几何方程主要方程主要方程平衡方程平衡方程物理方程物理方程几何方程几何方程3一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时, ,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁：以梁：以弯曲变形为主的弯曲变形为主的构件通常称为梁。构件通常称为梁。弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例43. 3. 工程实例工程实例弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例5弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例6弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例74. 4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。平面内。 对称弯曲（如下图）对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。平面弯曲的特例。纵向对称面纵向对称面MP1P2q弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例8非对称弯曲非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例9二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。3. 支座简化支座简化弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例10固定铰支座固定铰支座 2个约束，个约束，1个自由度。个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。珠轴承等。弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例11固定端固定端 3个约束，个约束，0个自由度。个自由度。如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁简支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力悬臂梁悬臂梁弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例12外伸梁外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。支反力。弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例13 例例11贮液罐如图示，罐长贮液罐如图示，罐长L=5m，内径内径 D=1m，壁厚壁厚t =10mm，钢的密度为：，钢的密度为： 7.8g/cm，液体的密度为：液体的密度为：1g/cm , ,液面高液面高0.8m，外伸端长外伸端长 1m，试求贮试求贮液罐的计算简图。液罐的计算简图。解：解：q 均布力均布力弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例14q 均布力均布力弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例15一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例已知：如图，已知：如图，P，a，l。求：距求：距A端端x处截面上内力。处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：解：求外力求外力梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩16ABPYAXARBmmx求内力求内力截面法截面法AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。用面垂直于截面的内力偶矩。CC梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩172. 2. 剪力：剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.3.内力的正负规定内力的正负规定: :剪力剪力Q: : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩18 例例2：求图：求图（a）所所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。xy解：解：截面法求内力。截面法求内力。 1 1-1 1截面处截取的分离体截面处截取的分离体 如图（如图（b b）示。示。图（a）qqLab1122qLQ1AM1图（b）x1梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩192-22-2截面处截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c c）xy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩201. 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。间的函数关系式。2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：)(xQQ= =剪力方程)(xMM= =弯矩方程)(xQQ= =剪力图的图线表示)(xMM= =弯矩图的图线表示梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩21 例例3 3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：解：求支反力求支反力写出内力方程写出内力方程PYOL根据方程画内力图根据方程画内力图M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxPPLMO梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩22解：解：写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图LqM(x)xQ(x)Q(x)xM(x)x qL梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩23解：解：求支反力求支反力内力方程内力方程q0RA根据方程画内力图根据方程画内力图RBLxQ(x)xM(x)梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩24一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用25q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用26外外力力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0q0QQ0x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=PxQC自左向右突变无变化斜直线xM增函数xM降函数xMxMxMxM曲线坟状盆状自左向右折角折向与P反向M1 M2自左向右突变与m反弯曲内力习题课弯曲内力习题课46例例1 绘制下列图示梁的弯矩图。绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)弯曲内力习题课弯曲内力习题课47(3)PaaPL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/2弯曲内力习题课弯曲内力习题课48(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30kNm20kNm弯曲内力习题课弯曲内力习题课49第九章第九章弯曲内力弯曲内力作作 业业刘鸿文材料力学第四版刘鸿文材料力学第四版 习题：习题：P.128 4-6，4-7c，4-9，4-13d50第四章弯曲内力第四章弯曲内力梁梁静定梁：由静力学方程可求出支反力静定梁：由静力学方程可求出支反力超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。部支反力。梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩梁的内力有剪力和弯矩梁的内力有剪力和弯矩,任一截面上的剪力和弯矩都可以任一截面上的剪力和弯矩都可以表示为截面位置表示为截面位置x的函数，称为剪力方程和弯矩方程的函数，称为剪力方程和弯矩方程剪力剪力:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负弯矩：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图：剪力方程的几何表示剪力图：剪力方程的几何表示弯矩图：弯矩方程的几何表示弯矩图：弯矩方程的几何表示载荷集度剪力弯矩之间的微分关系和积分关系载荷集度剪力弯矩之间的微分关系和积分关系平面刚架：平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。接而组成的结构。平面刚架特点：刚架各杆的内力有弯矩、剪力和轴力平面刚架特点：刚架各杆的内力有弯矩、剪力和轴力平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。习题习题4.6a图示组合梁图示组合梁BE段受到均布载荷作用段受到均布载荷作用,求支座求支座A、B、D的反力和的反力和DC中点的弯矩中点的弯矩 解：本题结构为静定组合梁解：本题结构为静定组合梁,以以CE段为研究对象段为研究对象CE梁通过铰接点梁通过铰接点C对对AD的作用力的作用力 以以AC段为研究对象段为研究对象 DC中点的弯矩中点的弯矩下沿受拉下沿受拉 习题习题4.6求支座反力和求支座反力和AD中点的弯矩中点的弯矩解：本题结构为静定组合梁解：本题结构为静定组合梁,以以BC段为研究对象段为研究对象 则则AB梁在梁在B点给点给BC向上的作用力是向上的作用力是25kN,或者说则或者说则BC梁在梁在B点点给给AB向下的作用力是向下的作用力是25kN 以以AB段为研究对象段为研究对象AD中点的弯矩中点的弯矩习题习题4.7c求支座反力和求支座反力和EC中点的弯矩中点的弯矩 解：此题为平面刚架解：此题为平面刚架EC中点的弯矩中点的弯矩下沿受拉下沿受拉习题习题4.13d载荷和几何尺寸如图所示，载荷和几何尺寸如图所示，求支座反力和指定求支座反力和指定AB中点的弯矩。中点的弯矩。解解:本题结构为静定组合梁本题结构为静定组合梁,以以BD段为研究对象段为研究对象 AB梁在梁在B点对点对BD梁的作用力梁的作用力 BD梁在梁在B点对点对AB梁的作用力梁的作用力 以以AB段为研究对象段为研究对象上沿受拉上沿受拉 AB中点的弯矩中点的弯矩 下沿受拉下沿受拉