第2章 测量与误差分析 第2章 测量与误差分析 2.1 测量的基本概念测量的基本概念 2.2 测量误差的分析测量误差的分析 2.3 测量数据的处理测量数据的处理 第2章 测量与误差分析 2.1 测量的基本概念测量的基本概念 2.1.1 2.1.1 测量的定义测量的定义测量就是借助于专用的技术和工具， 通过实验的方法， 把被测量与同性质的标准量进行比较， 求取二者的比值， 从而得到被测量数值大小的过程。 其数学表达式为 x=AxAe(2-1) 式中，x为被测量；Ae为测量的单位；Ax为被测量的数值。 第2章 测量与误差分析 2.1.2 2.1.2 测量单位测量单位 数值为1的某量， 称为该量的测量单位或计量单位。 由于测量单位是人为定义的， 它带有任意性， 地区性和习惯性。 因此， 单位的统一既是必要的又是艰巨的。 统一的单位将给人们的生活、 生产和科学技术的发展带来极大的方便。 我国早在秦朝就有了“统一度量衡”的创举。 1984年2月27日国务院发布了关于在我国统一实行法定计量单位的命令， 并同时颁布了中华人民共和国法定计量单位， 它以国际单位为基础并保留了一些暂时并用单位。 第2章 测量与误差分析 国际(SI)单位制是1960年第十一届国际计量大会通过的， 它包括SI单位、 SI词头和SI单位的十倍率倍数单位。 其中SI单位包括基本单位、辅助单位和导出单位。 基本单位有七个：长度、 质量、 时间、 电流、 热力学温度、 物质的量和光强度， 它们都经过严格的定义， 是SI单位制的基础。 辅助单位有两个：平面角和立体角， 是指尚未规定属于基本单位还是导出单位， 可以用来构成导出单位。 导出单位是由基本单位根据选定的、 联系相应量的代数式组合起来的单位。 此外， 还有具有专门名称的单位(如牛顿) 和用专门名称导出的单位。 单位的符号用拉丁字母表示， 一般用小写体， 但具有专门名称的单位符号用大写体，符号后面都不加标点。 第2章 测量与误差分析 2.1.3 2.1.3 测量方法的分类测量方法的分类1. 1. 按测量过程的特点分类按测量过程的特点分类1) 直接测量法 直接测量是针对被测量选用专用仪表进行测量，直接获取被测量数值的过程。 如用温度表测温度、电位差计测电动势等。按照所用仪表和比较过程特点可分为偏差法、零位法和微差法。 (1) 偏差法：用事先分度(标定)好的测量仪表进行测量， 根据被测量引起显示器的偏移值直接读取被测量的值。 它是工程上应用最广泛的测量方法。 第2章 测量与误差分析 (2) 零位法：将被测量x与某一已知标准量完全抵消， 使作用到测量仪表上的效应等于零，如天平、电位差计等。 由此可知xs，测量精度主要取决于标准量的精度，与测量仪表的精度无关。因而测量精度很高，在计量工作中应用很广。 (3) 微差法： 将零位法和偏差法结合起来， 把被测量的大部分抵消， 选用灵敏度较高的仪表测量剩余部分的数值， 被测量便等于标准量和仪表偏差值之和。 如天平上的游标、 电位差计上的毫伏表等。 与偏差法相比， 它可以得到较高的精度； 与零位法相比， 它可以省去微进程的标准量。 第2章 测量与误差分析 2) 间接测量法间接测量法 用直接测量法测得与被测量有确切函数关系的一些物理量， 然后通过计算求得被测量值的过程称为间接测量。 例如测量电压U和电流I而求功率PUI的过程。 第2章 测量与误差分析 2. 2. 按测量仪表特点分类按测量仪表特点分类按测量仪表特点进行分类， 可分为接触测量法和非接触测量法。 1) 接触测量法 传感器直接与被测对象接触， 承受被测参数的作用，感受其变化从而获得信号， 并测量其信号大小的方法，称为接触测量法。 例如用体温计测量体温等。 第2章 测量与误差分析 2) 非接触测量法 传感器不与被测对象直接接触， 而是间接承受被测参数的作用，感受其变化从而获得信号， 并测量其信号大小的方法，称为非接触测量法。例如用辐射式温度计测量温度，用光电转速表测量转速等。非接触测量法不干扰被测对象，既可对局部点检测， 又可对整体扫描。 特别是对于运动对象、 腐蚀性介质及危险场合的参数检测，它更方便、安全和准确。 第2章 测量与误差分析 3. 3. 按测量对象特点分类按测量对象特点分类按测量对象特点进行分类， 可分为静态测量法和动态测量法。 1) 静态测量法静态测量是指被测对象处于稳定情况下的测量。 此时被测参数不随时间而变化， 故又称稳态测量。 第2章 测量与误差分析 2) 动态测量法动态测量是指在被测对象处于不稳定的情况下进行的测量。 此时被测参数随时间而变化。因此，这种测量必须瞬时完成， 才能得到动态参数的测量结果。 运动是绝对的。被测参数多是随时间变化的， 因此过程检测实际上是动态测量。但如果被测参数随时间变化很缓慢， 而测量所需时间相对又很短时，可近似为稳态测量。这种近似也是产生测量误差的原因之一。 第2章 测量与误差分析 2.2 测量误差的分析测量误差的分析 2.2.1 2.2.1 误差的分类误差的分类1. 1. 按误差的表示方法分类按误差的表示方法分类1) 绝对误差 某被测量的指示值Ax与其真值A0之间的差值，称为绝对误差，即 AxA0 (2-2) 第2章 测量与误差分析 当AxA0时， 为正误差；反之为负误差。 在计量工作和实验室测量中常用修正值C表示真值A0与示值Ax之差，它等于绝对误差的相反数(C=)， 则 A0AxC (2-3) 一般，绝对误差和修正值的量纲必须与示值的量纲相同。 绝对误差可表示测量值偏离实际值的程度， 但不能表示测量的准确程度。 第2章 测量与误差分析 2) 相对误差 相对误差即为百分比误差。 (1) 实际误差：它等于绝对误差与约定真值的百分比。用A表示： (2-4) (2) 示值(标称)相对误差：它等于绝对误差与示值的百分比。 用x表示： (2-5) 第2章 测量与误差分析 (3) 满度(引用)相对误差：它等于绝对误差与仪表满量程值AF.S的百分比。用n表示： (2-6) 式中，AF.S为仪表刻度上限值Amax和下限值Amin之差。当为最大值max时，称为最大引用误差。 第2章 测量与误差分析 3) 准确度传感器的误差是以准确度表示的。 准确度常用最大引用误差来定义，即 (2-7) 式中，max为传感器在量程范围内和允许环境条件下所产生的最大测量误差；S表示准确度等级， 即表示传感器的最大相对误差为S%。因此，传感器在测量时的相对误差计算公式为 (2-8) 第2章 测量与误差分析 准确度等级应由国家统一制定标准， 我国电工仪表的准确度等级分别为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0； 然而我国传感器尚无国家标准， 一般执行行业标准，如原航空部制定的压力传感器准确度等级分别为0.05、0.1、0.2、0.3、 0.5、1.0、1.5、2.0等。 例如， 某0.1级压力传感器的量程为100 MPa，测量50MPa压力时，传感器引起的相对误差为 第2章 测量与误差分析 2. 2. 按误差的性质分类按误差的性质分类1) 系统误差 在相同测量条件下多次测量同一物理量， 其误差大小和符号保持恒定或按某一确定规律变化， 此类误差称为系统误差。 系统误差表征测量的准确度。 2) 随机误差 在相同测量条件下多次测量同一物理量，其误差没有固定的大小和符号，呈无规律的随机性，此类误差称为随机误差。 通常用精密度表征随机误差的大小。 通常将准确度和精密度合称为精确度， 简称精度。 第2章 测量与误差分析 3) 粗大误差 明显偏离约定真值的误差称为粗大误差。 它主要是由于测量人员的失误所致， 如测错、读错或记错等。含有粗大误差的数值称为坏值，应予以剔除。在测量中，若误差大于极限误差C，即为粗大误差。 第2章 测量与误差分析 3. 3. 按被测量与时间的关系分类按被测量与时间的关系分类1) 静态误差 被测量不随时间变化时测得的误差称为静态误差。 2) 动态误差 被测量在随时间变化过程中测得的误差称为动态误差。 动态误差是由于检测系统对输入信号响应滞后， 或对输入信号中不同频率成分产生不同的衰减和延迟所造成的。 动态误差值等于动态测量和静态测量所得误差的差值。 第2章 测量与误差分析 2.2.2 2.2.2 随机误差的处理随机误差的处理1. 1. 随机误差的特性随机误差的特性实践中常见的随机误差分布是正态分布， 如图2-1所示， 它有以下几点特性：(1) 对称性：指绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。 (2) 单峰性： 指只有一个峰值。 峰值就是概率密度的极大值， 峰值在随机误差的纵轴上。 该特性说明绝对值小的误差出现的概率大， 而绝对值大的误差出现的概率小。 第2章 测量与误差分析 图2-1 正态分布曲线第2章 测量与误差分析 (3) 互抵性：指对一系列等精度的n次测量，当n时， 各次测量的随机误差i的代数和等于零。这是曲线对称、正负误差可以抵消的必然结果。 (4) 有界性：指绝对值很大的误差出现的概率趋近于零， 即误差的绝对值实际上不会超过某个限值。 根据正态分布的概率积分可得， 当一组测得值的标准误差取的C倍时，其置信概率对应值见表2-1。 C称为置信系数(C称为置信限，C称为置信区间)；P称为置信概率或置信度。 第2章 测量与误差分析 表表2-1 置信系数与置信度的关系置信系数与置信度的关系 第2章 测量与误差分析 由表2-1可以看出，对一组既无系差又无粗差的等精度测量， 当置信区间取2或3时， 误差值落在该区间外的可能仅有5%或0.3%。 因此，人们常把2或3值称为极限误差，又称随机不确定度，记为=2或3，它随置信概率取值的不同而不同。 第2章 测量与误差分析 2. 2. 标准误差标准误差的计算方法的计算方法国内外广泛采用标准误差(均方根误差)来评定测量列随机误差的大小。标准误差的计算方法一般有标准法、绝对差法和极差法几种。其中标准法精度高，应用广泛。下面介绍应用标准法(贝塞尔公式)的计算过程。 设n次等精度测量所测得的值为x1, x2, ，xn。 (1) 计算测得值的算术平均值： (2-9) 第2章 测量与误差分析 (2) 计算各测得值xi的剩余误差(残差)vi： (2-10) (3) 计算标准误差： (2-11) (4) 算术平均值的标准误差x：设有m组测量数据，每组有n次等精度测量，m组的算术平均值分别为x1, x2 ,， xm， 其标准误差分别为1,2,，m，且有12m，经证明可得算术平均值的标准误差x为 (2-12) 第2章 测量与误差分析 2.2.3 2.2.3 系统误差的处理系统误差的处理1. 1. 系统误差的分类及产生原因系统误差的分类及产生原因系统误差的产生原因主要有： 检测时所用传感器、 仪表本身性能有限；检测系统安装、布置、调整不当；测量者视觉等原因；测量环境条件(如温度、压力等)变化；测量方法不完善；测量依据的理论不完善等。按照系统误差(简称系差)的性质可分为已定系差和未定系差两大类。 1) 已定系差 已定系差是指在测量过程中误差大小和符号都不变的系差。 第2章 测量与误差分析 2) 未定系差 未定系差是指在测量过程中大小和符号变化不定， 或按一定规律变化的系差。 按其变化规律不同又可分为如下几类： (1) 线性变化(或累进变化)系差： 指在测量过程中随着时间或测量次数的增加， 按一定比例不断增大或不断减小的误差。 (2) 周期性变化的系差：指数值和符号按周期性规律变化的系差。 (3) 复杂规律变化的系差：指不是简单地按线性或周期性变化， 而是按较复杂的规律变化的系差。 第2章 测量与误差分析 2. 2. 系统误差的发现系统误差的发现1) 恒定系差的检验 恒定系差不影响剩余误差的计算， 即不影响测量结果的精密度， 在处理随机误差时不可能发现。因此，一般采用改变测量条件的多次测量结果进行比较以确定其存在与否。 第2章 测量与误差分析 2) 未定系差的发现 (1) 剩余误差观察法： 观察一系列等精度测量剩余误差的数值和符号，若数值有规律地递增或递减，并在开始和末尾的符号相反，则判定有线性系差；若符号有规律地正负交替变化多次， 则判定有周期性系差。 第2章 测量与误差分析 (2) 马利科夫判据： 用于检查线性系差，比较一系列等精度测量剩余误差前后两半部分剩余误差的和，两和的差M近似为零，则不含线性误差；若M与vimax相当或更大，则存在线性误差。 (n为偶数时) (n为奇数时) (2-13) (2-14) 第2章 测量与误差分析 (3) 阿贝-赫梅特判据： 用于判断周期性系差，设 (2-15) 当计算结果A满足下式时，可判定有周期性系差， 即 (2-16) 第2章 测量与误差分析 3. 3. 消除或减弱系统误差的测量方法消除或减弱系统误差的测量方法1) 已定系差的消除方法 (1) 替代法：在测量未知量后，记下读数，再测可调的已知量，使仪表指示与上次相同，此时未知量就等于已知量。 (2) 相消法及交校法： 适当安排测量方法， 对同一量做两次测量， 使恒定系差在两次测量中方向相反， 取两次读数的算术平均值。 第2章 测量与误差分析 2) 未定系差的消除方法 (1) 对称观测法：又称等距观测法，用其可消除线性系差。 (2) 补偿法：对于因某个条件变化或仪器的某个环节的非线性引起的变化系差， 可采用补偿法消除。 (3) 周期性变化系差的消除：只要读取相隔半周期的两次测量值， 取其算术平均值便可消除。 第2章 测量与误差分析 2.3 测量数据的处理测量数据的处理 2.3.1 2.3.1 有效数字的处理有效数字的处理1. 1. 有效数字与测量误差有效数字与测量误差1) 测量数据有效数字的规定在测量中既然不可避免地存在误差， 因此数据只能是一个近似数。 当我们用这个数表示一个量时， 通常规定误差不得超过末位单位数字的一半， 即0.5误差原则。 这种误差不大于末位单位数字一半的数， 从它左边第一个非零数字起， 直到右面最后一个数字为止， 都叫做有效数字。 有效数字位数越多， 精密度越高。 第2章 测量与误差分析 2) 已知有效数字求误差例如，0.1080 V表示有四位有效数字， 其测量误差不超过0.000 05 V， 即实际电压可能是0.107 950.108 05 V之间的任一值。 可见，如果知道一个量的有效数字，便可确定它的误差大小。 第2章 测量与误差分析 3) 已知误差求有效数字如果知道一个量的误差大小，即可确定该量的有效数字。 例如，fx10 000Hz，已知f=0.5，先求出f=10 000(0.5%)=50Hz，根据0.5误差原则可确定有效数字在百位上。 因此该频率数据应写成1.00104Hz或10.0kHz， 而不能写成10kHz或10 000Hz等。舍去部分与数字大小有关，用10的幂表示。 第2章 测量与误差分析 2. 2. 数字的舍入规则数字的舍入规则 当需要n位有效数字时，对超过n位的数字要根据舍入规则进行处理。目前广泛采用的是“小于5舍，大于5入，等于5取偶数”的规则。设保留n位有效数字，则观察第n+1位的数字：小于5舍去；大于5进1；等于5，若第n位为偶数或零时舍去， 为奇数时进1。 第2章 测量与误差分析 3. 3. 参加中间运算的有效数字的处理参加中间运算的有效数字的处理(1) 加法运算： 运算结果的有效数字位数，应与参与运算各数中小数点后面有效位数最少的相同。 (2) 乘除运算：运算结果的有效数字位数， 应与参与运算各数中有效位数最少的相同。 (3) 乘方及开方运算：运算结果的有效数字比原数据多保留1位。 (4) 对数运算：取对数前后有效数字位数应相同。 在运算前可将各数先行删减， 原则上可按结果有效位数多保留12位安全数字。 第2章 测量与误差分析 2.3.2 2.3.2 误差的传递误差的传递1. 1. 一般公式一般公式设各直接测量参数为x1，x2，xm，间接测量值为y，二者间的函数关系式为 y=f(x1，x2，xm) 若各直接测量参数的误差为x1，x2，xm，间接测量值的误差为y，则结果的相对误差为 (2-18) (2-17) 第2章 测量与误差分析 2. 几种常见函数的误差传递公式几种常见函数的误差传递公式(1) 加减运算：设y=x1x2x3，则 (2-19) (2) 乘除运算：设 则 (2-20) 第2章 测量与误差分析 (3) 乘方运算：设y=x2，则 y=2x (2-21) (4) 开方运算：设，则 (2-22) 第2章 测量与误差分析 2.3.3 误差的合成误差的合成 1. 随机误差的合成随机误差的合成设有来自几方面的、彼此独立的随机误差因素，它们的标准误差为1，2，m，则按方和根法，可得其合成后的标准误差为 (2-23) 如果各独立的随机误差的随机不确定度或极限误差为1，2，m，则也可按方和根法合成之， 合成后总的随机不确定度为 (2-24) 第2章 测量与误差分析 2. 系统误差的合成系统误差的合成1) 恒定系差的合成 当被测量受到p个独立的恒定系差因素的影响，且它们的大小和符号都已知时，则各个已知恒定系差可按代数和法合成。 当误差项数较多时，一般按方和根法合成较好，即 (2-25) 式中，1，2，p为来自各个方面的独立的恒定系差； 为合成后总的恒定系差。 第2章 测量与误差分析 2) 未定系差的合成 在一定的测量条件下，存在的未定系统误差i必定落在所估计的误差区间(- li，li)内， 则称这个li为未定系统的误差限或系统不确定度， 可表示为 (2-26) 式中，i为未定系统误差的标准误差；Ki为对应系统误差概率分布的置信系数。 第2章 测量与误差分析 设有n个未定系差分量i (i1n)，相应有n个系统不确定度li(i=1n)， 可采用绝对值法或方和根法合成。 绝对值法简便， 但估计值偏大。方和根法与上述方法相同，即 (2-27) 如果各未定系统误差具有不同的概率分布， 则各未定系差分量的置信系数不同， 那么可采用广义方和根法。 由于准确计算非常困难， 只要各误差分量的分布差别不大， 一般就按正态分布处理。当给定的置信概率为0.95时， 都可按式(2-27)处理。 第2章 测量与误差分析 3. 3. 总不确定度总不确定度一般取随机误差的随机不确定度和系统误差的系统不确定度l进行合成， 可得被测量的总不确定度， 用符号g表示。 合成方法也有绝对值法、方和根法和广义方和根法三种。其中， 方和根法表示为 (2-28) 第2章 测量与误差分析 4.4.测量结果的表示测量结果的表示至此， 测量结果可表示为 (2-29) 式中，修正值C等于已定系差0的相反数。若仅存在随机误差，则 (2-30) 式中，C为置信系数。