在解析几何中在解析几何中,二元一次方程二元一次方程组的解的意的解的意义是什么是什么?直角坐直角坐标系系x O y内相内相应的两条直的两条直线交点的坐交点的坐标. 线性性变换的表达式方式与二元的表达式方式与二元一次方程一次方程组有很多有很多类似的地方似的地方,能否能否从从线性性变换的角度来解的角度来解释二元一次二元一次方程方程组的解的意的解的意义呢呢?二元一次方程组的矩阵方式二元一次方程组的矩阵方式逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组学学习重重难点点 用用变换的的观念念认识解解二元一次方程二元一次方程组的意的意义,会会用系数矩用系数矩阵的逆矩的逆矩阵解系解系数矩数矩阵可逆的二元一次方可逆的二元一次方程程组.向量方式向量方式:二元一次方程组二元一次方程组:由矩由矩阵与向量乘法的定与向量乘法的定义得得:原方程原方程组变成成:关于关于变量量x,y的二元一次方程的二元一次方程组为:那么它可以写成矩那么它可以写成矩阵的方式的方式:矩矩阵A= 称称为二元一次方程二元一次方程组的系数矩的系数矩阵. 式称式称为二元一次方程二元一次方程组的矩的矩阵方式方式.探求探求1 1 二元一次方程二元一次方程组的系数的系数矩矩阵对应着一个着一个线性性变换,试从从线性性变换的角度提示解二的角度提示解二元一次方程元一次方程组的意的意义.二元一次方程二元一次方程组的系数矩的系数矩阵对应的的线性性变换为旋旋转变换:解二元一次方程解二元一次方程组就是找到向量就是找到向量使得它在该旋转变换下变为向量使得它在该旋转变换下变为向量举一反三举一反三对于普通的二元一次方程组对于普通的二元一次方程组以以线性性变换的角度看的角度看,可表述可表述为:线性变换线性变换平面上一个确定的向量平面上一个确定的向量知知:要找到一个向量要找到一个向量使得它在使得它在的作用下的作用下变为知向量知向量 在在实践操作中践操作中,假假设线性性变换的意的意义不明不明显或不或不为我我们所知所知,那么就很那么就很难找到向量找到向量 , 使得使得引入定引入定义 二元一次方程二元一次方程组的解写成向量的解写成向量 的方式的方式,称称这种方式的解种方式的解为二元一次方程二元一次方程组的解向量的解向量.探求探求2 2 假假设二元一次方程二元一次方程组的系数矩的系数矩阵可逆可逆,能用逆矩能用逆矩阵来解方程来解方程组么么?二元一次方程二元一次方程组的系数矩的系数矩阵可逆可逆从从线性性变换的角度的角度, 解方程解方程组就是找出向量就是找出向量使得它在旋转变换使得它在旋转变换作用下的结果为给定的向量作用下的结果为给定的向量即即: 向量向量 按逆按逆时针绕原点旋原点旋转30 后得到向量后得到向量 ;向量向量 可以看成把向量可以看成把向量 按按顺时针绕原点旋原点旋转30后得到后得到. 即即:二元一次方程二元一次方程组一定有解一定有解,且解且解为:二元一次方程二元一次方程组的恣意一个解向的恣意一个解向量都量都满足足:由几何上易看出由几何上易看出:二元一次方程二元一次方程组的解是独一的的解是独一的. 假设关于变量假设关于变量x,y的二元一次方程组线的二元一次方程组线性性方程组方程组: 的系数矩阵的系数矩阵A=可逆，那么方程组有独一解可逆，那么方程组有独一解1证明：明：当当A= 可逆可逆,由二元一次方由二元一次方程组程组 的矩阵方式的矩阵方式:A = 得：得：A1A=A1E2 = A1原方程原方程组有解：有解：1下下证独一性：独一性：设设 , 是原方程组的恣意两个解是原方程组的恣意两个解,由由上面的证明过程可得上面的证明过程可得:A1A1 = ,即二元一次方程即二元一次方程组的的解是独一的解是独一的.关于变量关于变量x,y的二元一次方程组的二元一次方程组其中其中a,b,c,d是不全为零的常数是不全为零的常数,有非零解的有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式充要条件是系数矩阵的行列式 =0.留意：留意： 常数项都为零的线性方程组为齐次线常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组性方程组, 是其中一个解是其中一个解,称为零解称为零解.假设向量假设向量 , 不全为零不全为零 是该方是该方程程组的解向量组的解向量,那么称之为一个非零解那么称之为一个非零解.课堂堂练习1.关于关于变量量x,y的二元一次方程的二元一次方程组其中其中,为常数常数,求当求当和和满足什么条件足什么条件时,原方程原方程组有非零解有非零解?解：由推论可得解：由推论可得: 当系数行列式当系数行列式 =0时时,原方程原方程 组由非零解组由非零解. 即即: 当当2=0时,方程方程组有非零解有非零解.=2.2.用逆矩阵解二元一次方程组用逆矩阵解二元一次方程组解：二元一次方程组的系数矩阵解：二元一次方程组的系数矩阵A=那么那么该方程方程组的矩的矩阵方式：方式：系数矩系数矩阵A= 可逆可逆方程方程组有独一解有独一解原方程原方程组的解是的解是教材教材习题答案答案1.1 2 2.1233.原方程原方程组变形形为:它有非零解的充要条件是它有非零解的充要条件是:即即: