导导 数数知知识识要要点点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值导数1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f (x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量y f (x0x) f (x0)；比值yf (x0x) f (x0)称为函数y f (x)在点x0到x0x之间的平均变化率； 如果极xx限limf (x0x) f (x0)y存在，则称函数y f (x)在点x0处可导，并把这个 limx0xx0x极 限 叫 做y f (x)在x0处 的 导 数 ， 记 作f(x0)或y|xx0， 即f(x0)=limf (x0x) f (x0)y. limx0xx0x注：x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.已知函数y f (x)定义域为A，y f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f (x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：函数y f (x)在点x0处连续是y f (x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f (x)在点x0处可导，那么y f (x)点x0处连续.事实上，令x x0x，则x x0相当于x 0.1于是lim f (x) lim f (x0x) lim f (x x0) f (x0) f (x0)xx0x0x0 limx0f (x0x) f (x0)f (x0x) f (x0)x f (x0) lim lim lim f (x0) f(x0)0 f (x0) f (x0).x0x0x0xx如果y f (x)点x0处连续，那么y f (x)在点x0处可导，是不成立的.例：f (x) | x |在点x0 0处连续，但在点x0 0处不可导，因为0 时，yyy不存在.1；当x0 时， 1，故limx0xxxy| x|，当xxx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f (x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f (x)在点(x0, f (x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x)在点 P(x0, f (x)处的切线的斜率是f(x0)，切线方程为y y0 f(x)(x x0).4、几种常见的函数导数：C 0（C为常数）(xn) nxn1（nR）(sin x) cos x(cos x) sin x(ln x)11(logax)logaexx(ex) ex(ax) axln a5. 求导数的四则运算法则：(u v) uv y f1(x) f2(x). fn(x) y f1(x) f2(x). fn(x)(uv) vuvu (cv) cvcv cv（c为常数）vu vu u (v 0)v2v注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f (x) 2sin x，g(x) cos x，则f (x), g(x)在x 0处均不可导，但它们和f (x) g(x) sin xcos x在x 0处均可导.22x2x6. 复合函数的求导法则：fx(x) f(u)(x)或yx yuux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y f (x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则y f (x)为增函数；如果f(x)0，则y f (x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f (x)在区间I内恒有f(x)=0，则y f (x)为常数.注：f (x) 0是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(,)上并不是都有f (x) 0，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样f (x) 0是 f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.8. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f (x)f (x0)，则f (x0)是函数f (x)的极大值，极小值同理）当函数f (x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f (x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号， 而不是f(x)=0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然， 极值是一个局部概念， 极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点x0是可导函数f (x)的极值点，则f(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数， 其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导， 则导数值为零.例如：函数y f (x) x3，x 0使f(x)=0，但x 0不是极值点.例如：函数y f (x) | x |，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.3导数练习导数练习一、选择题1设函数f (x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f (x)在x 2处取得极小值,则函数y xf (x)的图象可能是2设 a0,b0,e 是自然对数的底数A若 ea+2a=eb+3b,则 abB若 ea+2a=eb+3b,则 abD若 ea-2a=eb-3b,则 a0,b0.A若2a 2a 2b 3b,则abC若2a 2a 2b 3b,则abB若2a 2a 2b 3b,则abD若2a 2a 2b 3b,则a0.11a217已知函数f (x) x3x axa(a 0)32(I)求函数f (x)的单调区间; (II)若函数f (x)在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(III)当a 1时,设函数f (x)在区间t,t 3上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t) M(t)m(t),求函数g(t)在区间3,1上的最小值.18设函数fn(x) xnbx c(n N,b,cR) 1(1)设n 2,b 1,c 1,证明:fn(x)在区间,1内存在唯一的零点;2(2)设 n 为偶数,f (1) 1,f (1) 1,求 b+3c 的最小值和最大值;67