第第8 8节函数与方程节函数与方程结合二次函数的图象结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及判断一元二次方程根的存在性及根的个数根的个数. 考纲展示考纲展示 知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)函数零点的概念函数零点的概念对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),把使把使 的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点. .(2)(2)函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有有 . .(3)(3)零点存在性定理零点存在性定理如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)满足满足:在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线; , ,则函数则函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上存在零点上存在零点, ,即存在即存在c(a,b),c(a,b),使得使得f(c)=0,f(c)=0,这个这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根的根. .f(x)=0f(x)=0零点零点f(a)f(a)f(b)0 f(b)0)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+bx+c(a0)+c(a0)00=0=000图象图象与与x x轴的轴的交点交点 . .(x(x1 1,0),0)无交点无交点零点个数零点个数2 21 10 0(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0)【重要结论重要结论】1.1.若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)f(x)在定义域上是单调函数在定义域上是单调函数, ,则则f(x)f(x)至多有一个零点至多有一个零点, ,函数函数的零点不是一个的零点不是一个“点点”, ,而是方程而是方程f(x)=0f(x)=0的实根的实根. .2.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分不必要条件函数零点存在性定理是零点存在的一个充分不必要条件. .对点自测对点自测B B1 1.(.(教材改编题教材改编题) )函数函数f(x)=ef(x)=ex x+3x+3x的零点个数是的零点个数是( ( ) )(A)0 (A)0 (B)1 (B)1 (C)2 (D)3(C)2 (D)3A A2.2.下列函数中下列函数中, ,既是偶函数又存在零点的是既是偶函数又存在零点的是( ( ) )(A)y=cos x(A)y=cos x (B)y=sin x (B)y=sin x(C)y=ln x (C)y=ln x (D)y=x (D)y=x2 2+1+1解析解析: :由函数是偶函数由函数是偶函数, ,排除选项排除选项B,C;B,C;又选项又选项D D中函数没有零点中函数没有零点, ,排除排除D;y=cos xD;y=cos x为偶函数且有零点为偶函数且有零点. .C C3.3.函数函数f(x)=ln x+2x-6f(x)=ln x+2x-6的零点所在的大致区间是的零点所在的大致区间是( ( ) )(A)(0,1)(A)(0,1)(B)(1,2)(B)(1,2)(C)(2,3)(C)(2,3)(D)(3,4)(D)(3,4)解析解析: :因为因为f(1)=-40,f(2)=ln 2-20,f(1)=-40,f(2)=ln 2-20,f(3)=ln 30,又又f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,且图象连续不间断且图象连续不间断, ,所以所以f(x)f(x)的零点所在大致区间是的零点所在大致区间是(2,3).(2,3).答案答案: :3 3答案答案: :(0,1)(0,1)解析解析: :在同一坐标系中在同一坐标系中, ,作作y=f(x)y=f(x)的图象与直线的图象与直线y=k,y=k,如图所示如图所示, ,则当则当0k10k1时时, ,关关于于x x的方程的方程f(x)=kf(x)=k有两个不同的实根有两个不同的实根. .考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一确定函数零点所在区间考点一确定函数零点所在区间(A)(0,1)(A)(0,1)(B)(1,2)(B)(1,2)(C)(2,4)(C)(2,4)(D)(4,+)(D)(4,+)答案答案: :(1)C(1)C 答案答案: :(2)(1,2)(2)(1,2)(1)(1)确定函数确定函数f(x)f(x)的零点所在区间的常用方法的零点所在区间的常用方法: :利用函数零点的存在性定理利用函数零点的存在性定理: :首先看函数首先看函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是否上的图象是否连续连续, ,再看是否有再看是否有f(a)f(a) f(b)0.f(b)0.若有若有, ,则函数则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内必有零点内必有零点. .数形结合法数形结合法: :通过画函数图象通过画函数图象, ,观察图象与观察图象与x x轴在给定区间上是否有交点来轴在给定区间上是否有交点来判断判断. .(2)(2)函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点, ,不满足条不满足条件时件时, ,一定要综合函数性质进行分析判断一定要综合函数性质进行分析判断. .反思归纳反思归纳考点二确定函数零点个数考点二确定函数零点个数(A)3(A)3 (B)2(B)2 (C)1(C)1 (D)0(D)0(2)(2)函数函数f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x- +6x- 的零点有的零点有( () )(A)3(A)3个个(B)2(B)2个个(C)1(C)1个个(D)0(D)0个个反思归纳反思归纳函数零点个数的判断方法函数零点个数的判断方法: :(1)(1)直接求零点直接求零点, ,令令f(x)=0,f(x)=0,有几个解就有几个零点有几个解就有几个零点; ;(2)(2)零点存在性定理零点存在性定理, ,要求函数在区间要求函数在区间a,ba,b上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线, ,且且f(a)f(a) f(b)0,f(b)0),y=|x-2|(x0),y2 2=ln x(x0)=ln x(x0)的图象的图象, ,如图所示如图所示. .由图可知函数由图可知函数f(x)f(x)在定义域内的零点个数为在定义域内的零点个数为2.2.故选故选C.C.考点三函数零点的应用考点三函数零点的应用(A)(-,-1)(A)(-,-1)(B)(-,0)(B)(-,0)(C)(-1,0) (C)(-1,0) (D)-1,0)(D)-1,0)解析解析: :(2)(2)令令h(x)=-x-a,h(x)=-x-a,则则g(x)=f(x)-h(x).g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出在同一坐标系中画出y=f(x),y=f(x),y=h(x)y=h(x)图象的示意图图象的示意图, ,如图所示如图所示. .若若g(x)g(x)存在存在2 2个零点个零点, ,则则y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与y=h(x)y=h(x)的图象有的图象有2 2个交点个交点, ,平移平移y=h(x)y=h(x)的图象的图象, ,可知当直线可知当直线y=-x-ay=-x-a过点过点(0,1)(0,1)时时, ,有有2 2个交点个交点, ,此时此时1=-0-a,a=-1.1=-0-a,a=-1.当当y=-x-ay=-x-a在在y=-x+1y=-x+1上方上方, ,即即a-1a-1a-1时时, ,有有2 2个交点个交点, ,符符合题意合题意. .综上综上,a,a的取值范围为的取值范围为-1,+).-1,+).故选故选C.C.反思归纳反思归纳(1)(1)已知函数的零点求参数已知函数的零点求参数, ,主要方法有主要方法有:直接求解方程的根直接求解方程的根, ,构建方程构建方程( (不不等式等式) )求参数求参数;数形结合数形结合;分离参数法分离参数法, ,转化成求函数的值域转化成求函数的值域( (或最值或最值).).(2)(2)解决函数的零点问题解决函数的零点问题, ,要重视转化思想与数形结合思想的应用要重视转化思想与数形结合思想的应用, ,把数学计把数学计算与几何直观紧密结合起来算与几何直观紧密结合起来. .答案答案: :(1,4)(1,4)(1,3(4,+)(1,3(4,+)备选例题备选例题【例题例题】 (2018 (2018湖南永州第三次模拟湖南永州第三次模拟) )已知函数已知函数f(x)=a+logf(x)=a+log2 2(x(x2 2+a)(a0)+a)(a0)的的最小值为最小值为8,8,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )(A)(5,6)(A)(5,6)(B)(7,8)(B)(7,8)(C)(8,9)(C)(8,9)(D)(9,10)(D)(9,10)解析解析: :由于由于f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,在在(-,0)(-,0)上是减函数上是减函数, ,所以所以f(x)f(x)minmin=f(0)=a+log=f(0)=a+log2 2 a=8, a=8,令令g(a)=a+logg(a)=a+log2 2 a-8,a0, a-8,a0,则则g(5)=logg(5)=log2 2 5-30,g(6)=log 5-30, 6-20,又又g(a)g(a)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,所以实数所以实数a a所在的区间为所在的区间为(5,6).(5,6).故选故选A.A.点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升