电动力学复习山东大学物理学院 宗福建1第一章复习山东大学物理学院 宗福建2第1章 电磁场的普遍规律1.1电荷和电场1. 库仑定律库仑定律2、定义电场强度电场强度E,F=QE3、静电场的散度和旋度、静电场的散度和旋度山东大学物理学院 宗福建3第1章 电磁场的普遍规律 1.2 电流和磁场电流和磁场毕奥毕奥-萨伐尔（萨伐尔（Biot-Savart）定律）定律 磁场的散度和旋度磁场的散度和旋度山东大学物理学院 宗福建4第1章 电磁场的普遍规律 1.2 电流和磁场电流和磁场电荷守恒定律电荷守恒定律 电流连续性方程电流连续性方程微分形式微分形式山东大学物理学院 宗福建5第1章 电磁场的普遍规律真空中的静电、静磁场真空中的静电、静磁场电磁感应定律电磁感应定律山东大学物理学院 宗福建6第1章 电磁场的普遍规律位移电流假设位移电流假设山东大学物理学院 宗福建7第1章 电磁场的普遍规律 1.3真空中的真空中的Maxwell方程组方程组山东大学物理学院 宗福建8山东大学物理学院 宗福建9第1章 电磁场的普遍规律 1.4 介质中的介质中的Maxwell方程组方程组1 1、介质的极化、介质的极化宏观电偶极距分布用电极化强度电极化强度矢量P P描述，它等于物理小体积V 内的总电偶极距与V 之比，式中pi为第i个分子的电偶极距，求和符号表示对V内所有分子求和。山东大学物理学院 宗福建10第1章 电磁场的普遍规律1 1、介质的极化、介质的极化引入电位移矢量电位移矢量D D,定义为 则，山东大学物理学院 宗福建11第1章 电磁场的普遍规律1 1、介质的极化、介质的极化实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，D D和E E的关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质，极化强度P P和E E之间有简单的线性关系山东大学物理学院 宗福建12第1章 电磁场的普遍规律2 2、介质的磁化、介质的磁化介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁磁化化强强度度M M表示，它定义为物理小体积V内的总磁偶极距与V之比， 山东大学物理学院 宗福建13第1章 电磁场的普遍规律2 2、介质的磁化、介质的磁化引入磁场强度磁场强度H H，定义为则， 山东大学物理学院 宗福建14第1章 电磁场的普遍规律2 2、介质的磁化、介质的磁化实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M M和H之间有简单的线性关系 山东大学物理学院 宗福建15第1章 电磁场的普遍规律3、介质中的麦克斯韦方程组介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程介质方程为：为：山东大学物理学院 宗福建16第1章 电磁场的普遍规律积分形式：山东大学物理学院 宗福建17第1章 电磁场的普遍规律4 4、法向分量的跃变、法向分量的跃变山东大学物理学院 宗福建18第1章 电磁场的普遍规律5 5、切向分量的跃变、切向分量的跃变山东大学物理学院 宗福建19第1章 电磁场的普遍规律矢量形式第1章 电磁场的普遍规律 1.5 电磁场的能量和动量电磁场的能量和动量能量守恒能量守恒的积分形式是相应的微分形式为电磁场能量密度和能流密度表示式山东大学物理学院 宗福建20第1章 电磁场的普遍规律 1.5 电磁场的能量和动量电磁场的能量和动量动量守恒动量守恒的积分形式是相应的微分形式为电磁场动量密度和动量流密度表示式山东大学物理学院 宗福建21第1章 电磁场的普遍规律1、直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场散度和旋度的公式。2、直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场散度和旋度的公式。3、直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。山东大学物理学院 宗福建22第1章 电磁场的普遍规律4、直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。5、场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。6、场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。7、设想存在孤立磁荷(磁单极子)，试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度m m和磁流密度J Jm m的贡献。 山东大学物理学院 宗福建23第1章 电磁场的普遍规律山东大学物理学院 宗福建248、直接给出介质电极化强度P的定义，并推导公式 9、直接给出介质磁化强度M的定义，并推导公式 10、直接给出介质中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义，并给出反映介质性质的介质方程。11、根据介质中麦可斯韦方程组，推导出介质界面上E、D、B、H的边值关系。第1章 电磁场的普遍规律山东大学物理学院 宗福建2512、场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。13、场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。第2章 复习2.1静电场的标势静电场的标势真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：引入：则有：27山东大学物理学院 宗福建2.1静电场的标势为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松（泊松（Poisson）方程方程。给定边界条件就可以确定电势的解。 28山东大学物理学院 宗福建2.1静电场的标势可以验证，电势 是泊松（Poisson）方程 的一个特解。29山东大学物理学院 宗福建山东大学物理学院 宗福建30标势的边值关系标势的边值关系山东大学物理学院 宗福建31标势的边值关系两绝缘介质之间：两绝缘介质之间：即， 山东大学物理学院 宗福建32标势的边值关系两导电介质之间：两导电介质之间：即， 山东大学物理学院 宗福建33标势的边值关系金属表面：金属表面：即， 山东大学物理学院 宗福建34标势的边值关系一边是导电介质、一边是绝缘介质：一边是导电介质、一边是绝缘介质：即， 山东大学物理学院 宗福建352.2 2.2 唯一性定理唯一性定理1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域Vi，每一个区域的介电常数为i。设V内有给定的电荷分布（x）。电势在均匀区域Vi内满足泊松方程在两区域 Vi 和 Vj 的分界上满足边值关系 sv山东大学物理学院 宗福建362.2 2.2 唯一性定理唯一性定理唯一性定理：唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定（1）电势|s或（2）电势的法向导数/n|s，则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的或/n值。山东大学物理学院 宗福建372.2 2.2 唯一性定理唯一性定理2. 2. 有导体存在时的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势 i ，另一个是给定每个导体上的总电荷 Qi 。 山东大学物理学院 宗福建382.2 2.2 唯一性定理唯一性定理设在某区域V内有一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称为V ，因而V 的边界包括界面S以及每个导体的表面 Si 。设V 内有给定电荷分布 ，S上给定|s 或 /n|s值。对上述第一种类型的问题，每个导体上的电势i 亦给定，即给出了V 所有边界上的或 /n 值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V 内的电场唯一地被确定。 山东大学物理学院 宗福建392.2 2.2 唯一性定理唯一性定理对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷 Qi 以及V的边界S上的或 /n 值，则V内的电场唯一确定。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程 山东大学物理学院 宗福建402.2 2.2 唯一性定理唯一性定理在第i个导体上满足总电荷条件 （n为导体面的外法线）和等势面条件 |s= i=常量以及在V的边界S上具有给定的|s 或 /n|s 值。 2.3电像法电像法1、电像法的适用条件电像法的适用条件我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影响用导体内部某个或某几个假想电荷来代替。注意我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布（在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只有一个点电荷Q），因而并不影响泊松方程，问题的关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解可以简单地表示出来。2.3电像法思考题1：无限大导体上部有一个电偶极矩为P的电偶极子。求电势、电场分布。2.3电像法思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。2.3电像法思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。象电荷数象电荷数2.3电像法2.3电像法2.4分离变量法对一般情况，设泊松方程的解为：则，即：泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解2.4分离变量法拉氏方程在球坐标系中的通解为式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。Pnm（cos） 为缔和勒让德（Legendre）函数。 2.4分离变量法分离变量法若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位角，这情形下通解通解为 Pn（cos）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。 2.4分离变量法Pn（cos）为勒让德函数思考题思考题1、半径为R0的介质球置于均匀外电场E0中（真空），求空间电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。2、具有均匀外电场E0的均匀介质中有一个半径为R0的空洞，求空间电势和电场分布。3、半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电势和导体上的电荷面密度。4、在均匀外电场E0中置人带均匀自由电荷f的介质球(电容率0)，求空间各点的电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。山东大学物理学院 宗福建522.6电势的多极展开电势的多极展开设 f（x x）为 x x 的任一函数，在 x点附近 f（x x）的展开式为山东大学物理学院 宗福建532.6电势的多极展开电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建542.6 电势的多极展开电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建552.6 电势的多极展开电势的多极展开山东大学物理学院 宗福建562.6 2.6 电势的多极展开电势的多极展开 第三、四章复习山东大学物理学院 宗福建58根据矢量分析的定理（附录.17式）, 若则 B B 可表为另一矢量的旋度A A 称为磁场的矢势磁场的矢势。 第三章第三章 复习复习山东大学物理学院 宗福建59矢势微分方程矢势微分方程把 B =A代入得矢势A的微分方程山东大学物理学院 宗福建60矢势微分方程矢势微分方程由矢量分析公式（附录.25式）， 若取A满足规范条件A=0，得矢势A的微分方程,又称矢势矢势A的泊松方程的泊松方程。山东大学物理学院 宗福建61矢势微分方程矢势微分方程对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式特解式中x是源点，x是场点，r为由x到x的距离。山东大学物理学院 宗福建62矢势的边值关系在两介质分解面上磁场的边值关系为磁场边值关系可以化为矢势A A的边值关系。对于非铁磁介质，矢势的边值关系为 山东大学物理学院 宗福建63矢势的多级展开矢势的多级展开给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为山东大学物理学院 宗福建64矢势的多级展开矢势的多级展开如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得山东大学物理学院 宗福建65矢势的多级展开矢势的多级展开展开式的第一项为山东大学物理学院 宗福建66矢势的多级展开矢势的多级展开展开式的第二项为在一般情况下磁场不能用标势描述，而需在一般情况下磁场不能用标势描述，而需要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但解矢势解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们的边值问题比较复杂，因此，我们考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标势的可能性。势的可能性。 1 1、磁标势的引入磁标势的引入 在解决实际问题时，我不考虑整个空在解决实际问题时，我不考虑整个空间中的磁场，而只求某个区域的磁场。间中的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所有回路都没有链环着电流，则如果所有回路都没有链环着电流，则因而在这个区域内可以引入标势。因而在这个区域内可以引入标势。例如一个圈，如果我们挖去线圈所围着的一个壳形例如一个圈，如果我们挖去线圈所围着的一个壳形区域之后，则剩下的空间区域之后，则剩下的空间V中任一闭合回路都不链中任一闭合回路都不链环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场.在在J=0区域内，区域内， 所满足的微分方程所满足的微分方程静电场微分方程静电场微分方程用磁标势法时，用磁标势法时，H和电场中的和电场中的E相对应。相对应。 由此，可以由此，可以引入磁标势引入磁标势 m，使使磁标势的边值关系磁标势的边值关系临界温度：临界温度：图示是图示是汞样品的电阻随温汞样品的电阻随温度变化关系。我们度变化关系。我们可以看到当温度可以看到当温度4.2K以下时，电阻以下时，电阻突然下降为零。这突然下降为零。这种电阻率为零的性种电阻率为零的性质称为超导电性。质称为超导电性。开始出现超导电性开始出现超导电性的温度称为临界温的温度称为临界温度度Tc，不同材料有不同材料有不同的临界温度不同的临界温度Tc。（1）超导电性超导电性当物体处于超导当物体处于超导状态时，若加上状态时，若加上磁场，当磁场强磁场，当磁场强度增大到某一临度增大到某一临界值界值Hc时，超导时，超导性被破坏，超导性被破坏，超导体由超导态转变体由超导态转变为正常态。为正常态。Hc与与温度有关。温度有关。（2）临界磁场临界磁场当材料处于超导状态时，当材料处于超导状态时，随着进入超导体内部深随着进入超导体内部深度的增加磁场迅速衰减，度的增加磁场迅速衰减，磁场主要存在于导体表磁场主要存在于导体表面的薄层内。对宏观超面的薄层内。对宏观超导体，可把这个厚度看导体，可把这个厚度看成是零。近似认为超导成是零。近似认为超导体内部的磁感应强度体内部的磁感应强度B0。（3）迈斯纳效应迈斯纳效应（ Meissner ）超导体具有完全抗磁超导体具有完全抗磁性称之为性称之为理想迈斯纳理想迈斯纳态态不能理想化的状态称不能理想化的状态称为为一般迈斯纳态一般迈斯纳态。（3）迈斯纳效应（）迈斯纳效应（ Meissner ）1. 如果物理初始处于超如果物理初始处于超导状态，当外加磁场时，导状态，当外加磁场时，只要磁场不超过临界值只要磁场不超过临界值Hc，磁场磁场B不能进入超不能进入超导体内。导体内。2. 若把正常态物体放入若把正常态物体放入磁场内，当温度下降使磁场内，当温度下降使物体转变为超导体时，物体转变为超导体时，磁场磁场B被排出超导体外。被排出超导体外。超导体的抗磁性与超导体所经过的历史无关超导体的抗磁性与超导体所经过的历史无关超导体内的电流超过某个临界值，超导体内的电流超过某个临界值，超导体变成正常态。对应于：超过超导体变成正常态。对应于：超过这个临界值的电流产生超过临界值这个临界值的电流产生超过临界值的磁场。的磁场。（4）临界电流临界电流第一类超导体第一类超导体：元素超导体多属于此。存在一个临界磁场。：元素超导体多属于此。存在一个临界磁场。第二类超导体第二类超导体：合金和化合物多属于此。存在两个临界磁：合金和化合物多属于此。存在两个临界磁场。在小临界值以下，磁场完全被排出。在两临界值之间，场。在小临界值以下，磁场完全被排出。在两临界值之间，磁场以量子化磁通线的形式进入样品中，使之处于正常态磁场以量子化磁通线的形式进入样品中，使之处于正常态和超导态的混合态，每一条磁通线穿过的线长区域处于正和超导态的混合态，每一条磁通线穿过的线长区域处于正常态，其余区域处于超导态。每一条磁通线的磁通量为一常态，其余区域处于超导态。每一条磁通线的磁通量为一个磁通量子。磁通线整条产生与湮灭。随外磁场增大，穿个磁通量子。磁通线整条产生与湮灭。随外磁场增大，穿过样品内部的磁通线逐渐增多，正常相区域逐渐扩大。在过样品内部的磁通线逐渐增多，正常相区域逐渐扩大。在上临界值以上，无表面超导相的样品整个转变为正常态。上临界值以上，无表面超导相的样品整个转变为正常态。此类超导具有较高的临界温度、临界磁场、通过较大的超此类超导具有较高的临界温度、临界磁场、通过较大的超导电流，故应用价值相应较大。导电流，故应用价值相应较大。（5）第一类和第二类超导体）第一类和第二类超导体实验发现，第一类复连通超导体，如超实验发现，第一类复连通超导体，如超导环、空心超导圆柱体，单连通和复连导环、空心超导圆柱体，单连通和复连通的第二类超导体，磁通量只能是基本通的第二类超导体，磁通量只能是基本值值 0=h/2e=2.0710-15Wb的整数倍的整数倍。 0称为磁通量子，称为磁通量子，h为普朗克常数，为普朗克常数，e为电为电子电荷的值。子电荷的值。（6）磁通量子化磁通量子化第四章复习1. 电磁场波动方程电磁场波动方程(真空中真空中)令得 上一讲复习此即为波动方程。此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波、X射线和射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。上一讲复习2. 时谐电磁波时谐电磁波研究时谐情形下的麦氏方程组谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有D= E ,B= H , 消去共同因子eit后得上一讲复习2. 时谐电磁波时谐电磁波在0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于 （E ）=0，因而H=0，即得第四式。同样，由的二式可导出第三式。因此，在一定频率下，只有第一、第二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。上一讲复习2. 时谐电磁波时谐电磁波亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmholtz)Helmholtz)方程方程上一讲复习2. 时谐电磁波时谐电磁波亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmholtz)Helmholtz)方程方程类似地，亦可以把麦质方程组在一定频率下化为 上一讲复习3. 平面电磁波平面电磁波任意传播方向的平面电磁波在一般坐标系下平面电磁波的表示式是 式中k k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为 |k k| = （）1/2 。在特殊坐标系下，当 k k 的方向取为x轴时，有 k k x x = k x 上一讲复习3. 平面电磁波平面电磁波E E、B B和k k是三个各互相正交的矢量。E E和B B同相，振幅比为在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为 上一讲复习3. 平面电磁波平面电磁波概括平面波的特性平面波的特性如下：（1）电磁波为横波，E E和B B都与传播方向垂直，TEM波波；（2）E E和B B互相垂直，E EB B沿波矢k k方向；（3）E E和B B同相，振幅比为 。上一讲复习4. 电磁波的能量和能流电磁波的能量和能流w和S S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需要用到它们的时间平均值。上一讲复习5. 反射和折射定律反射和折射定律时谐情形下的麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上,并考录到在绝缘介质界面上，=0,=0。在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边值关系也不是完全独立的。因此，在讨论时谐电磁波时，介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：上一讲复习5. 反射和折射定律反射和折射定律两边同时进行频谱分析，得必然有：即，入射、反射和折射光的频率相等入射、反射和折射光的频率相等。上一讲复习5. 反射和折射定律反射和折射定律由于 x 和 y 是任意的，它们的系数应各自相等，取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky 和 ky“ 亦为零。因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。上一讲复习5. 反射和折射定律反射和折射定律这就是我们熟知的反射定律和折射定律反射定律和折射定律 对电磁波来说， = 1/()1/2，因此：n21为介质2相对与介质1的折射率。 上一讲复习6. 6. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（1）E E垂直入射面利用反射定律和折射定律得 上一讲复习6. 6. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（2）E E平行入射面利用反射定律和折射定律得上一讲复习6. 6. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式在 + = 90的特殊情况下，E E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直入射面偏振的完全偏振光，这时光学中的布布儒儒斯斯特特（BrewsterBrewster）定定律律，这情形下的入射角为布儒斯特角布儒斯特角。 上一讲复习6. 6. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E E垂直入射的情形，因为当2 1时 ，因此E /E为负数，即反射波电场于入射波电场反相，这现象称为反射过程中的半波损失反射过程中的半波损失。 上一讲复习7. 7. 全反射全反射可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E E垂直入射面情形， 上一讲复习7. 7. 全反射全反射可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E E平行入射面情形， 上一讲复习一导体内的自由电荷分布导体内的自由电荷分布 上式表示当导体某处有电荷密度出现时，就有电流从该处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。的变化率由电荷守恒定律确定:上一讲复习一导体内的自由电荷分布解此方程得由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间（值减小到0/e 的时间）为 上一讲复习一导体内的自由电荷分布 良良导导体体条条件件: : 只要电磁波的频率满足 1，因而k2的实部可以忽略 上一讲复习四、四、趋肤效应和穿透深度趋肤效应和穿透深度波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度穿透深度。由上式 上一讲复习五、导体表面上的反射五、导体表面上的反射反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得 由上式可见，电导率愈高，则反射系数愈接近于1。 上一讲复习1、只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导体。良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表面上。2、导体中电磁波的表示式为波矢量k k的实部描述波的传播的相位关系，虚部描述波幅的衰减。称为相位常数，称为衰减常数。 上一讲复习3、对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。4、对于微波或无线电波，反射系数接近于1，只有很小一部分电磁能量透入导体内部而被吸收掉，绝大部分能量被反射出去。因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把金属近似地看作理想导体，其反射系数接近于1。 4.4波导管、谐振腔二、二、理想导体边界条件理想导体边界条件理想导体界面边界条件可以形象地表述为，理想导体界面边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。我们可以应用这个规则来分析边值问题中的电磁波图像。 4.4波导管、谐振腔二、理想导体边界条件二、理想导体边界条件在边界面上，若取x，y 轴在切面上，z 轴沿法线方向，由于该处E Ex = E Ey = 0，因此方程 E E = 0 在靠近边界上为 Ez/z = 0 ，即 4.4波导管、谐振腔三、谐振腔三、谐振腔 对每一组（m，n，p）值，由两个独立的波模。谐振频率mnp称为谐振腔的本征频率谐振腔的本征频率。 4.4波导管、谐振腔三、谐振腔三、谐振腔 若m，n，p中有两个为零，则场强E E = 0。若L1 L2 L3，则最低频率的谐振波模为（1，1，0），其谐振腔频率为相应的电磁波波长为 4.4波导管、谐振腔五、矩形波导中的电磁波五、矩形波导中的电磁波 2 2、结果分析及物理意义、结果分析及物理意义横磁波横磁波 横电波横电波对一定的（m，n），如果选取适当的A1,A2,使Hz = 0，则该波模的A1/A2 = kx/ky 就完全确定，对Hz = 0的波模， Ez 0 。通常选波模为Hz = 0的波，称横磁波（TM）。 4.4波导管、谐振腔五、矩形波导中的电磁波五、矩形波导中的电磁波 2 2、结果分析及物理意义、结果分析及物理意义因此，在波导内传播的波模有如下特点；电场E E和磁场H H不能同时为横波。4.4波导管、谐振腔六、六、截止频率截止频率 若激发频率降低到k b，则TE10波有最低截止频率若管内为真空，此最低截止频率为c/2a，相应的截止波长为 第五、六章第五、六章 复习复习 山东大学物理学院 宗福建126第五章 电磁辐射5.1 讯变电磁场的矢势和标势讯变电磁场的矢势和标势返回山东大学物理学院 宗福建127第五章 电磁辐射 5.1 讯变电磁场的矢势和标势讯变电磁场的矢势和标势达郎贝尔方程达郎贝尔方程 推迟势解推迟势解返回上一页山东大学物理学院 宗福建128第五章 电磁辐射5.1 谐变势的多极展开及电偶极辐射场谐变势的多极展开及电偶极辐射场 1. 计算辐射场的一般公式计算辐射场的一般公式当交变电流分布给定时,计算辐射场的基础是推迟势公式若电流J是一定频率的交变电流,有则返回上一页山东大学物理学院 宗福建129第五章 电磁辐射5.1 谐变势的多极展开及电偶极辐射场谐变势的多极展开及电偶极辐射场 1. 计算辐射场的一般公式计算辐射场的一般公式因子eikr是推迟作用因子,它表示电磁波传至场点时有相位滞后kr。返回上一页山东大学物理学院 宗福建130第五章 电磁辐射2. 2. 矢势的展开式矢势的展开式 选坐标原点在电荷分布区域内，则|x|的数量级为l。以R表示由原点到场点x x的距（R =|x x|），r为由原点x x 到x x的距离。有, n n为沿R R方向的单位矢量。返回上一页山东大学物理学院 宗福建131第五章 电磁辐射2. 2. 矢势的展开式矢势的展开式 把A对小参数x/R 和x/展开在计算远场时，只保留1/R的最低次项，而对x/的展开则保留各级项。我们会看到，展开式中各项对应于各级电磁多极辐射。 返回上一页山东大学物理学院 宗福建132第五章 电磁辐射3.3.电偶极辐射电偶极辐射研究展开式的第一项返回山东大学物理学院 宗福建133第五章 电磁辐射1、对静电场，为什么能引入标势 ，并推导出的泊松方程。给出的解析解。2、给出静磁场矢势A的物理意义，由矢势A可以确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A，试证明对矢势A可加辅助条件：A的散度为0，并推导出矢势A满足的微分方程。给出A的解析解。3、根据麦可斯韦方程组，推导满足洛伦兹规范的达郎贝尔方程。给出A和的推迟势解。利用电荷守恒定律，验证A和的推迟势满足洛伦兹条件。4、推迟势的物理意义？返回山东大学物理学院 宗福建134第六章狭义相对论相对论的实验基础相对论的实验基础：在总结新的实验事实之后，爱因斯坦（Einstein）提出了两两条条相相对对论论的基本假设的基本假设：（1）相相对对性性原原理理所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光光速速不不变变原原理理真空中的光速相对于任何惯性系沿任意方向恒为c，并与光源运动无关。返回山东大学物理学院 宗福建135第六章狭义相对论洛伦兹变换洛伦兹变换：返回上一页山东大学物理学院 宗福建136第六章狭义相对论 6.2 相对论时空观相对论时空观 ：1 1、洛伦兹变换下、洛伦兹变换下间隔不变性间隔不变性S2=c2t2-x2-y2-z2=c2t2-r2事件P相对与事件O的时空关系可作如下的绝对分类：（1）类光间隔 s2=0，（2）类时间隔 s20，（a）绝对未来，即P在O的上半光锥内；（b）绝对过去，即P在O的下半光锥内；（3）类空间隔s20，P与O绝对异地。 返回山东大学物理学院 宗福建137第六章狭义相对论 6.2 相对论时空观相对论时空观 ：类时间隔，绝对未来类光间隔类空间隔类时间隔，绝对过去返回上一页山东大学物理学院 宗福建138第六章狭义相对论 6.2 相对论时空观相对论时空观 ：2. 2. 因果律和相互作用的最大传播速度因果律和相互作用的最大传播速度若事件P在O上半光锥内（包括锥面），则对任何惯性系P保持在O得上半光锥内，即P为O的绝对未来。这种间隔的特点是P与O可用光波或低于光速的作用相联系。因此，如果不存在超光速的相互作用，这样O与P的先后次序在各参考系中相同，因而因果关系是绝对的。返回上一页山东大学物理学院 宗福建139第六章狭义相对论 6.2 相对论时空观相对论时空观 ：3. 3. 同时相对性同时相对性具有类空间隔的两事件，由于不可能发生因果关系，其事件次序的先后或者同时，都没有绝对意义，因不同参考系而不同。在不同地点同时发生的两事件不可能有因果关系，因此同时概念必然是相对的。若两事件对同时，即t2 =t1，则一般而言，t2 t1，即对不同时。返回上一页山东大学物理学院 宗福建140第六章狭义相对论 6.2 相对论时空观相对论时空观 ：4. 4. 运动尺度的缩短运动尺度的缩短5. 5. 运动时钟的延缓运动时钟的延缓返回上一页山东大学物理学院 宗福建141第六章狭义相对论 6.2 相对论时空观相对论时空观 ：6. 6. 速度变换公式速度变换公式返回上一页山东大学物理学院 宗福建142第六章狭义相对论 6.3 相相对论理论四维的形式对论理论四维的形式沿沿x x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为返回山东大学物理学院 宗福建143第六章狭义相对论 6.3 相对论理论四维的形式相对论理论四维的形式逆变换矩阵为逆变换矩阵为返回上一页山东大学物理学院 宗福建144第六章狭义相对论 6.3 相对论理论四维的形式相对论理论四维的形式四维标量四维标量例如间隔为洛伦兹标量。固有时 也是洛伦兹标量。 返回上一页山东大学物理学院 宗福建145第六章狭义相对论 6.3 相对论理论四维的形式相对论理论四维的形式四维速度矢量四维速度矢量因为所以四维速度的分量是返回上一页山东大学物理学院 宗福建146第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 四维电流密度矢量四维电流密度矢量电荷守恒定律电荷守恒定律用四维形式表示为四维形式表示为返回山东大学物理学院 宗福建147第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 四维势矢量四维势矢量洛伦兹规范条件可以用四维形式表示为洛伦兹规范条件可以用四维形式表示为返回上一页山东大学物理学院 宗福建148第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 达郎贝尔方程返回上一页山东大学物理学院 宗福建149第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 四维形式的达郎贝尔方程可以表示为四维形式的达郎贝尔方程可以表示为返回上一页山东大学物理学院 宗福建150第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 引入一个反对称四维张量电磁场构成一个四维张量四维张量电磁场张量电磁场张量 返回上一页山东大学物理学院 宗福建151第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 用电磁场张量可以把麦克斯韦方程组写为明显的协变形式。方程组中的一对方程可以合写为可以合写为返回上一页山东大学物理学院 宗福建152第六章狭义相对论6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 另一对方程可以合写为可以合写为返回上一页山东大学物理学院 宗福建153第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 导出电磁场的变换关系电磁场的变换关系返回上一页山东大学物理学院 宗福建154第六章狭义相对论 6.4 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 导出电磁场的逆变换关系电磁场的逆变换关系返回上一页山东大学物理学院 宗福建155第六章狭义相对论 6.5 相对论力学方程利用四维速度矢量可以定义四维动量矢量四维动量矢量这四维矢量的空间分量和时间分量是 返回山东大学物理学院 宗福建156第六章狭义相对论四维矢量p 称为动量-能量四维矢量，或简称四维动量。由p p可构成不变量可构成不变量在物体静止系内，p p=0，W=m0c2因而不变量为 m0c2。因此 返回上一页山东大学物理学院 宗福建157第六章狭义相对论 物体的静止质量m0和静止能量W0的关系,称为质质能关系式能关系式。 静止能量的存在是相对论最重要的推论之一。它指出静止粒子内部仍然存在着运动。一定质量的粒子具有一定的内部运动能量。反过来，带有一定内部运动能量的粒子就表现出有一定的惯性质量。 返回上一页山东大学物理学院 宗福建158第六章狭义相对论引入则， 用这种表示方法时，动量形式上和非相对论的公式一样 ，但现在m不是一个不变量，而是一个随运动增大的量。m可以看作一种等效质量，称为“运动质量”，而不变量m0称为静止质量。返回上一页山东大学物理学院 宗福建159第六章狭义相对论 动量和能量构成四维矢量p。如果用固有时d量度动量-能量变化率，则 是一个四维矢量。因此，如果外界对物体的作用力可以用一个四四维维力力矢矢量量K K描述，则力学基本方程可写为协变性式 返回上一页山东大学物理学院 宗福建160第六章狭义相对论若定义力为 则相对论力学方程可以写为 ， 第一式表示力F F 等于动量变化率，第二式表示F F 所作的功率等于能量的变化率，两式形式上和非相对论力学方程一致。 返回上一页山东大学物理学院 宗福建161第六章狭义相对论1相对论的实验基础是什么？2爱因斯坦提出的两条相对论的基本假设是什么？3为什么说，惯性系的概念本身要求从一个惯性系到另一个惯性系的时空坐标变换必须是线性的？4.有两个惯性系和，选两坐标系的x轴和x轴都沿相对于的运动方向，惯性系相对于惯性系以速度v沿x轴正方向运动，在时刻t=t=0时，两惯性系的原点重合。设某事件在惯性系中的表示为（x,y,z,t），该事件在中的描述为（x,y,z,t），请直接给出及的坐标变换表达式。返回山东大学物理学院 宗福建162第六章狭义相对论5相对论的时空结构是如何划分的（类光间隔、类时间隔、类空间隔各有什么特点）？6试证明具有类空间隔的两个事件的先后次序随惯性系的选择不同而不同，其时间次序的先后或同时，都没有绝对意义。7试证明，按狭义相对论理论，运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程时间延缓了。物体运动速度愈大，所观察到的它的内部过程进行的愈缓慢。返回上一页山东大学物理学院 宗福建163第六章狭义相对论8试证明，按狭义相对论理论，当局限于匀速运动时，时间延缓效应是相对的。参考系上看固定于上的时钟变慢；同样，参考系上也看到固定于上的时钟变慢。9试证明，按狭义相对论理论，运动物体沿运动方向长度缩短了。10试证明，按狭义相对论理论，长度缩短效应是相对的，在上观察固定于上的物体长度缩短了；同样，在上观察固定于上的物体长度也是缩短了的。11由洛伦兹变换公式推导出相对论的速度变换公式。返回上一页山东大学物理学院 宗福建164第六章狭义相对论常见题型：返回上一页山东大学物理学院 宗福建165必须记住的几个方程1 真空中的真空中的Maxwell方程组方程组2 静电场标势的泊松（静电场标势的泊松（Poisson）方程）方程3 静磁场矢势的泊松方程静磁场矢势的泊松方程4 达郎贝尔方程达郎贝尔方程 推迟势推迟势5 洛伦兹变换：洛伦兹变换：返回山东大学物理学院 宗福建166必须记住的几个公式6. 6. 运动尺度的缩短运动尺度的缩短7. 7. 运动时钟的延缓运动时钟的延缓8 速度变换公式速度变换公式9 相对论力学的动量相对论力学的动量- -能量关系式能量关系式10 10 电磁场变换公式电磁场变换公式返回上一页山东大学物理学院 宗福建167必须记住的几个方程1 真空中的真空中的Maxwell方程组方程组返回山东大学物理学院 宗福建168必须记住的几个方程2 静电场标势的泊松（静电场标势的泊松（Poisson）方程）方程返回山东大学物理学院 宗福建169必须记住的几个方程3 静磁场矢势的泊松方程静磁场矢势的泊松方程返回山东大学物理学院 宗福建170必须记住的几个方程4 达郎贝尔方程达郎贝尔方程 推迟势推迟势返回山东大学物理学院 宗福建171必须记住的几个公式5 洛伦兹变换：洛伦兹变换：返回山东大学物理学院 宗福建172必须记住的几个公式6. 6. 运动尺度的缩短运动尺度的缩短7. 7. 运动时钟的延缓运动时钟的延缓返回山东大学物理学院 宗福建173必须记住的几个公式8 速度变换公式速度变换公式返回山东大学物理学院 宗福建174必须记住的几个公式9 相对论力学的动量相对论力学的动量- -能量关系式能量关系式返回山东大学物理学院 宗福建175必须记住的几个公式10 10 电磁场变换公式电磁场变换公式返回山东大学物理学院 宗福建176必须记住的几个公式10 10 电磁场变换公式电磁场变换公式返回山东大学物理学院 宗福建177谢谢！