xODyyxyOabxD在直角坐标系下二重积分的计算的公式有在直角坐标系下二重积分的计算的公式有dc19.3 二重积分的换元法二重积分的换元法在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算.那么这两个二重积分有何关系呢？把 xy 平面内区域 D上的二重积分, 变成 uv 平面内区域(x, y)的特点, 用一个适当的变换我们也可根据积分区域D的形状和被积函数2定理定理2 若(x, y)在 xy 平面的闭区域D上连续, 且变换(1) 与 在 uv 平面的闭区域 上具有一阶连续(2)它将xy平面上的区域D 一对一地变为uv平面上的区域 ；则在此变换下, 二重积分为偏导数；满足：3注注2 换元法计算二重积分的关键是根据被积函数(x, y)的特点和区域 D的形状, 构造变换式.注注3 的实质就是变换前后D与 的伸缩率(或比例系数). 4解 区域 D 的图形如右图解得变换式令 u = y x, v = y + xxyODx+ y=25则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域如右图：uvOu= vv=2u=v6二重积分直接化为二次积分较麻烦.现采用换元法. 令作出区域 D 的图形如右图xyODx+y=cx+y=dy=axy=bxdcd则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域7Ocdabuv则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域8解 作出区域 D 的图形如右图现采用换元法. 令xyODx+y =1xy =1x+y = 1x+y =1Ouv1111D1则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域910