3-4 已知已知解：解： 自由下落自由下落h：冲击：冲击：3-7 A3-7 A、B B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递时，两船各自向对方平稳地传递50kg50kg的重物，结果是的重物，结果是A A船停船停了下了下来，而来，而B B船以船以3.4 3.4 的速度继续向前驶去。的速度继续向前驶去。A A、B B两船原有质量两船原有质量分别为分别为 和和 ，求在传递重物前两船的速度。，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力。）（忽略水对船的阻力。） 解：设解：设A、B两船原有的速度分别以两船原有的速度分别以 、 表示，传递重表示，传递重物后船的速度分别以物后船的速度分别以 、 表示，被搬运重物的质量以表示，被搬运重物的质量以 表示。分别对上述系统表示。分别对上述系统I、II应用动量守恒定律，则有应用动量守恒定律，则有:由题意知由题意知 , 代入数据后，可解得：代入数据后，可解得：也可以选择不同的系统，例如把也可以选择不同的系统，例如把A、B两船两船(包括传递的包括传递的物体在内物体在内)视为系统，同样能满足动量守恒，也可列出视为系统，同样能满足动量守恒，也可列出相对应的方程求解。相对应的方程求解。3-28 已知已知弹丸弹丸摆锤摆锤 ，摆线长为，摆线长为 l 求，摆锤完成一个圆周运动，弹丸速率求，摆锤完成一个圆周运动，弹丸速率 v 的的最小值最小值。物理过程：物理过程：1、冲击：弹丸冲击：弹丸+摆锤系统摆锤系统水平方向动量守恒水平方向动量守恒机械能守恒机械能守恒2、摆动：摆锤摆动：摆锤+地球地球3、最高点：最高点： 向心力向心力=重力重力（拉力（拉力=0）解：解：水平方向动量守恒水平方向动量守恒摆动：摆动：摆锤摆锤+地球地球最高点：最高点：则有：则有：机械能守恒：设最低点机械能守恒：设最低点 最高点处最高点处冲击：冲击：弹丸弹丸+摆锤系统，设冲击后摆锤的速率摆锤系统，设冲击后摆锤的速率（1）（2）（3）分析：分析：由于空气的阻力矩与角速度成正由于空气的阻力矩与角速度成正比，由转动定律可知转动是变角加速度比，由转动定律可知转动是变角加速度转动，须从角加速度和角速度的定义出转动，须从角加速度和角速度的定义出发，通过积分的方法求解发，通过积分的方法求解。4-3 如图示，一通风机的转动部分以初角速度如图示，一通风机的转动部分以初角速度 0 0绕其轴转动，绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C C为一常量。若转动部为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为分对其轴的转动惯量为J J，问，问（1）经过多小时间后其转动角速）经过多小时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？）在此时间内共转过多少转？解解 （1）通风机叶片所受的阻力矩）通风机叶片所受的阻力矩为为M=C, ,由转动定律得由转动定律得对上式分离变量，根据初始条件积分有对上式分离变量，根据初始条件积分有由于由于C和和J均为常量，得均为常量，得当角速度由当角速度由0 00 0/2/2时，转动所需的时间为时，转动所需的时间为在在时间时间t t内所转过的圈数为内所转过的圈数为（2）根据角速度定义和初始条件积分得（其中）根据角速度定义和初始条件积分得（其中 ）分析：分析：对平动的物体和转动的组合轮分别对平动的物体和转动的组合轮分别列出动力学方程，结合角加速度和线加速列出动力学方程，结合角加速度和线加速度之间的关系即可解得。度之间的关系即可解得。解解 取分别对两物体及组合轮作受力分析如下图取分别对两物体及组合轮作受力分析如下图4-11 质量为质量为m1和和m2的两物体的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为轮两端。设两轮的半径分别为R和和r，两轮的转动惯量分别为，两轮的转动惯量分别为J1和和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和强绳的张力。也略去不计。试求两物体的加速度和强绳的张力。m2m1BABAFT2FT1FNPP1P2FT2FT1a1a2根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有BAFT2FT1FNPP1P2FT2FT1a1a2由角加速度和线加速度之间的关系，有由角加速度和线加速度之间的关系，有解上述方程组，可得解上述方程组，可得4-17 在在光滑的水平面上有一木杆光滑的水平面上有一木杆,其质量其质量m1=1.0kg,长长l=40cm,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动可绕通过其中点并与之垂直的轴转动.一质量为一质量为m2=10g的子弹的子弹,以以v=2.0102ms-1的速度射入杆端的速度射入杆端,其方其方向与杆及轴正交向与杆及轴正交.若子弹陷入杆中若子弹陷入杆中,试求所得到的角速试求所得到的角速度度.子弹与杆相互作用的瞬间子弹与杆相互作用的瞬间,可将子弹视为绕轴可将子弹视为绕轴的转动的转动,这样这样,子弹射入杆前的角速度可表示子弹射入杆前的角速度可表示为为,子弹陷入杆后子弹陷入杆后,它们将一起以角速度它们将一起以角速度转转动动,若将子弹和杆视为系统若将子弹和杆视为系统,因系统不受外力因系统不受外力矩作用矩作用,故系统的角动量守恒故系统的角动量守恒.由角动量守恒由角动量守恒定律可解得杆的角速度定律可解得杆的角速度.根据角动量守恒定理根据角动量守恒定理:式中式中 为子弹绕轴的转为子弹绕轴的转动惯量动惯量, 为子弹在陷入杆前的为子弹在陷入杆前的角动量角动量, 为子弹在此刻绕为子弹在此刻绕轴的角速度轴的角速度, 为杆绕为杆绕轴的转动惯量轴的转动惯量.可得杆的角速度为可得杆的角速度为:4-23 一质量为一质量为1.12kg,长为长为1.0m的均匀细棒的均匀细棒,支点在棒支点在棒的上端点的上端点,开始时棒自由悬挂开始时棒自由悬挂,以以100N的力打击它的下的力打击它的下端点端点,打击它的下端点打击它的下端点,打击时间为打击时间为0.02s.(1)若打击前若打击前棒是静止的棒是静止的,求打击时其角动量的变化求打击时其角动量的变化;(2)棒的最大棒的最大偏转角偏转角.(1)由刚体的角动量定理由刚体的角动量定理得得.(1)(2)取棒和地球为一系统取棒和地球为一系统,并并选选O处为重力势能零点处为重力势能零点.在转在转动过程中动过程中,系统的机械能守恒系统的机械能守恒,即即:.(2)由由(1)、(2)可得棒的偏转角度可得棒的偏转角度为为4-27如图如图4-27所示所示,一质量为一质量为m的小球由一绳索系着的小球由一绳索系着,以角速度以角速度0在无在无摩擦的水平面上摩擦的水平面上,作半径为作半径为r0的圆周的圆周运动运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力,使小使小球作半径为球作半径为r0/2的的圆周运动圆周运动.试求试求(1)小球新的角速度小球新的角速度;(2)拉力作的功拉力作的功沿轴向的拉力对小球不产生力矩沿轴向的拉力对小球不产生力矩,因此因此,小球小球在水平面上转动的过程中不受外力矩作用在水平面上转动的过程中不受外力矩作用,其角速度应保持不变其角速度应保持不变.但是但是,外力改变了小球外力改变了小球圆周运动的半径圆周运动的半径,也改变了小球的转动惯量也改变了小球的转动惯量,从而改变了小球的角速度从而改变了小球的角速度.至于拉力所作的至于拉力所作的功功,可根据动能定理由小球动能的变化得到可根据动能定理由小球动能的变化得到.(1)根据分析根据分析,小球在转动的过小球在转动的过程中程中,角动量保持守恒角动量保持守恒,故有故有:(2)随着小球转动角速度的增加随着小球转动角速度的增加,其转动动能也增加其转动动能也增加,这正这正是拉力作功的结果是拉力作功的结果,由转动的动能定理可得拉力的功为由转动的动能定理可得拉力的功为:式式中中 和和 分别分别 是小球在半是小球在半径为径为 r0和和r0/2时对轴的转动惯量时对轴的转动惯量,即即 和和 则则:4-28质量为质量为0.50kg,长为长为0.40m的均匀细棒的均匀细棒,可绕垂直于可绕垂直于棒的一端的水平轴转动棒的一端的水平轴转动,如将此棒放在水平位置如将此棒放在水平位置,然后然后任其落下任其落下,求求:(1)当棒转过当棒转过600时的角加速度和角速度时的角加速度和角速度;(2)下落到竖直位置时的动能下落到竖直位置时的动能;(3)下落到竖直位置时下落到竖直位置时的角速度。的角速度。转动定律转动定律 是一瞬时关系式是一瞬时关系式,为求棒在为求棒在不同位置的角加速度不同位置的角加速度,只需确定棒所在位置的只需确定棒所在位置的力矩就可求得力矩就可求得.由于重力矩由于重力矩 是变力矩是变力矩,角加速度也是变化的角加速度也是变化的,因此因此,在求角在求角速度时速度时,就必须根据角加速度用积分的方法来就必须根据角加速度用积分的方法来计算计算(也可根据转动中的动能定理也可根据转动中的动能定理,通过计算变通过计算变力矩的功来求力矩的功来求).至于棒下落到竖直位置时的动至于棒下落到竖直位置时的动能和角速度能和角速度,可采用系统的机械能守恒定律来可采用系统的机械能守恒定律来解解.(1)棒绕端点的转动惯量棒绕端点的转动惯量 ,由转动定律由转动定律 可得棒在可得棒在 位置时的角速度为位置时的角速度为:当当 时时,棒转动的角速度为棒转动的角速度为:由于由于 , 根据初始条件对式根据初始条件对式(1)积分积分,有有.Ao则角速度为则角速度为:(2)根据机械能守恒根据机械能守恒,棒下落至竖直位置时的动能为棒下落至竖直位置时的动能为:(3)由于该动能也就是转动动能由于该动能也就是转动动能,即即 ,所示所示,棒落至竖直位置时的角速度为棒落至竖直位置时的角速度为: