第四章第四章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析 本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。验方法以及量纲分析法。解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法理论分析理论分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验数值模拟数值模拟 相似理论相似理论第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似 表征表征流动流动过程过程的物的物理量理量 描述几何形状的描述几何形状的如长度、面积、体积等如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的如质量力、表面力、动量等如质量力、表面力、动量等 按性按性质分质分几何几何相似相似运动运动相似相似动力动力相似相似流流动动相相似似一一 几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）定义：定义： 模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数 。（4-4-1 1） （4-4-2 2） （4-4-3 3） 图图4-1 4-1 几何相似几何相似 满足上述条件，流动才能几何相似。满足上述条件，流动才能几何相似。 二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比点流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。图图4-2 4-2 速度场相似速度场相似 P-51野马式战斗机运动粘度比例尺运动粘度比例尺: :体积流量比例尺体积流量比例尺: :加速度比例尺加速度比例尺: :（4-64-6） （4-74-7） （4-84-8） 长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺时间比例尺: :速度比例尺速度比例尺: :（4-54-5） 三三 动力相似（时间相似）动力相似（时间相似） 定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大时，作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。小互成比例，即它们的动力场相似。 力的比例尺力的比例尺: :图图4-3 4-3 动力场相似动力场相似 （4-9） （4-10） 由牛顿定律可知：由牛顿定律可知： 其中： 为流体的密度比例尺。 压强（应力）比例尺压强（应力）比例尺: :力矩（功，能）比例尺力矩（功，能）比例尺: :（4-11） （4-12） 动力粘度比例尺动力粘度比例尺: :功率比例尺功率比例尺: :（4-13） （4-14） 有了模型与原型的有了模型与原型的密度比例尺密度比例尺，长度比例尺长度比例尺和和速度比例速度比例尺尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。 第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 定义：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的定义：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则条件或准则 。由式由式 ( (4-10) 得得: : （4-15） （4-16） （4-17） 当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。；反之亦然。这就是牛顿相似准则。 或或: : 令令: : 牛顿数：作用力与牛顿数：作用力与惯性力的比值。惯性力的比值。 一、重力相似准则一、重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则）二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则）三、压力相似准则三、压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则）四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则( (柯西准则柯西准则) )五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则）六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则） 流流场场中中有有各各种种性性质质的的力力，但但不不论论是是哪哪种种力力，只只要要两两个个流流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。一、重力相似准则一、重力相似准则将重力比：将重力比：或或: : （4-18） （4-19） 代入式代入式(4-15)(4-15)得：得：（4-20） 当模型与原型的重力相似，则其当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数弗劳德数必定相等，即必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是重力相似准则重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则）。 重力场中重力场中 ，则：，则：（a） 称为称为弗劳德数弗劳德数，它是惯性力与重力的比值。，它是惯性力与重力的比值。 二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则将粘性力之比：将粘性力之比： 或或: : （4-4-2121） （4-4-2222） 代入式代入式(4-15)(4-15)得：得：（4-14-15 5） （b b） 当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，即当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，即 ；反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。；反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。 令令: : （4-23） 称为雷诺数，它是惯性力与粘性力的比值。称为雷诺数，它是惯性力与粘性力的比值。 模型与原型用同一种流体时，则有：模型与原型用同一种流体时，则有： 或或: : 三、压力相似准则三、压力相似准则或或: : （4-24） （4-25） 将压力比：将压力比： 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：（4-15） 令令: : （4-26） 当压强用压差代替，则有：当压强用压差代替，则有：当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，即当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，即 ；反之亦然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。；反之亦然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。 （4-27） （4-28） 欧拉数欧拉数 欧拉相似准则欧拉相似准则 称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。 四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则将弹性力之比：将弹性力之比：或或: : （4-30） （4-29） 代入式代入式(4-15)(4-15)得：得：（4-15） 当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即：即：反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。 令令: : （4-31） 称为称为柯西数柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。，它是惯性力与弹性力的比值。 四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则若流场中的流体为气体：若流场中的流体为气体：（4-32） 代入式代入式(4-15)(4-15)得：得：则弹性力之比：则弹性力之比： 或或: : （4-33） （4-15） 为声速为声速 称为称为马赫数马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。，它是惯性力与弹性力的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数马赫数必定相等，必定相等，即：即： 反之亦然。这就是反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）。（马赫准则）。 令令: （4-34） 五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则将表面张力之比：将表面张力之比：代入式代入式(4-15)(4-15)得：得：（4-15） （4-35） （4-36） 或或: : 当模型与原型的表面张力相似，则其当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数韦伯数必定相等，必定相等，即：即： 反之亦然。这就是反之亦然。这就是表面张力相似准则表面张力相似准则（韦伯准则）。（韦伯准则）。 （4-37） 令令: : 称为称为韦伯数韦伯数，它是惯性力与表面张力的比值。，它是惯性力与表面张力的比值。 韦伯数代表惯性力和表面张力效应之比，韦伯数愈小代表表面张力愈重要，譬如毛细管现象、肥皂泡、表面张力波等小尺度的问题。一般而言，大尺度的问题，韦伯数远大于1.0，表面张力的作用便可以忽略。 六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则或或: : （4-38） （4-39） 将惯性力之比：将惯性力之比：代入式代入式(4-15)(4-15)得：得：（4-15） 令令: : （4-40） 当模型与原型的非定常流动相似，则其当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数必必定相等，即定相等，即 反之亦然。这就是反之亦然。这就是非定常相似准则非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）。（斯特劳哈尔准则）。 称为称为斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。的比值。 如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。令方程中的有关力与惯性力相比。牛顿数牛顿数、弗劳德数弗劳德数、雷诺数雷诺数、欧拉数欧拉数、柯西数柯西数、马马赫数赫数、韦伯数韦伯数、斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数均称为均称为相似准则数相似准则数。 第三节第三节 流动相似条件流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。 相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件： 1 1、任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物、任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；理量，都应为相同的微分方程所描述；2 2、相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值、相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件；条件；3 3、由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满、由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。足的条件。 模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题 ： 1 1、根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，、根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；选择流动介质； 2 2、在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；、在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3 3、用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方、用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 例4.1 如图4-4所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时，因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管，需要通过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 。已知输油管内径 ，油的流量 ，运动粘度 。倘若选取的长度比例尺 ，为保证流动相似，模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得 ，油池的最小油深 应等于多少？图图4-4-4 4 油池模型油池模型 解：按长度比例尺得模型输出管内径：在重力场中：由弗劳德数相等可得模型内液体的流速和流量： 由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为：油池的最小油深为： 重力相似例4.2 密度密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为0.04409N/m，出口流束直径为7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴10m处破裂成雾滴。另一液体的表面张力表面张力为0.07348N/m。如果流动相似，另一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？解：要保证流动相似，它们的雷诺数和韦伯数必须相等，即： 或 故有 另一流束的出口直径，流速和破裂成雾滴的距离分别为：表面张力相似牛顿准则第四节第四节 近似模拟试验近似模拟试验 以相似原理为基础的模型实验方法，按照以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。方可用到原型设备中去。 要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不到）的。要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不到）的。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只有两个定性准则，比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只有两个定性准则，即即ReRe和和FrFr（ 非定性准则）非定性准则）但是要想同时满足：但是要想同时满足：，通常也是非常困难的。，通常也是非常困难的。 或或 或或 在重力场中做试验，在重力场中做试验， 即即则有：则有： ， 当选用相同的流动介质，即：当选用相同的流动介质，即：若取若取 ，则有：，则有： 这就使得二者发矛盾，故不能选用同种介质。这就使得二者发矛盾，故不能选用同种介质。令令 ，则有：，则有：如降低水的运动粘度，即对模型中的流动介质加温。若取60的水作模型中流动介质（ ），则有：可近似地满足要求。取取 ，则有：，则有：实际中，这个比例也是很难办到的如选用如选用2020的水气比拟，的水气比拟，则有：则有：这个比例与1:31.6也存在着差距，也根本达不到要求。不过，若没有其它办法时，此方法有时也可采用。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面取60的水作模型中流动介质，进而解决粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 此外，简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。 又如：在圆管流动中，当Re2320时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当Re4105管内流动状态为紊流状态，如图所示，其速度分布基本不随Re变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的Re与原型的Re相等否，只要与原型所处同一模化区即可。 自模化的概念实质是自身模拟的概念，如：在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。尼古拉兹曲线 例4.3 如图4-5所示为弧形闸门放水时的情形。已知水深h=6m。模型闸门是按长度比例尺 制作的，实验时的开度与模型的相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模型实验中测得收缩截面的平均流速 ，流量 ，水作用在闸门上的力 ，绕闸门轴的力矩 。 试求在原型上收缩截面的平均流速、流量以及作用在闸门上的力和力矩。 图图4-5 4-5 弧型闸门弧型闸门 解：按长度比例尺，模型闸门前的水深：于是，原型上的待求量可按有关比例尺计算如下：收缩截面的平均流速： 在重力作用下水从闸门下出流，要是流动相似，弗劳德数必须相等，由此可得：作用在闸门上的力： 流量： 力矩： 。图图4-6 4-6 内装蝶阀的管道内装蝶阀的管道 已知20 时，空气的密度 ，粘度 声速原型中的流速和雷诺数分别为：模型中的流速和雷诺数分别为：粘性有压管流已知条件： 通常均已进入自模化区，模型中气流的马赫数为：可以不考虑气体压缩性的影响。由于：故由式（4-28），式（4-9），式（4-11）可得：压强降：压强降：作用力：作用力：力矩：力矩：第五节第五节 量纲分析法量纲分析法 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则二、瑞利法二、瑞利法三、三、 定理定理 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则 1 1、讨论理论力学时，基本单位（量纲）有三个：、讨论理论力学时，基本单位（量纲）有三个： 质量质量(M)(M)、时间、时间(T)(T)、长度、长度(L)(L)； 物理量单位的种类叫量纲，由基本单位和导出单位组成单物理量单位的种类叫量纲，由基本单位和导出单位组成单位系统。位系统。 3 3、运动学问题有两个基本单位（量纲）：、运动学问题有两个基本单位（量纲）： 时间时间(T)(T)、长度、长度(L)(L)。 2 2、讨论流体力学和热力学时，基本单位（量纲）有四个：、讨论流体力学和热力学时，基本单位（量纲）有四个： 质量质量(M)(M)、时间、时间(T)(T)、长度、长度(L)(L)、温度、温度( )( )； 流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有：流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有： 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是物理方程量纲一致性原则。既然物理方程必定是齐次性的，这便是物理方程量纲一致性原则。既然物理方程中各项的量纲相同，那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程中各项的量纲相同，那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可将该方程化为零量纲方程。方程，便可将该方程化为零量纲方程。 量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数，并借助实验找出这些相似准则数手，找出流动过程的相似准则数，并借助实验找出这些相似准则数之间的函数关系。根据相似原理，用量纲分析法，结合实验研究，之间的函数关系。根据相似原理，用量纲分析法，结合实验研究，不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律，而且不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律，而且找出的还是同一类相似流动的普遍规律。因此，量纲分析法是探索找出的还是同一类相似流动的普遍规律。因此，量纲分析法是探索流动规律的重要方法。常用的量纲分析法有瑞利法和流动规律的重要方法。常用的量纲分析法有瑞利法和 定理。定理。 二、瑞利法二、瑞利法用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 的方法，称为瑞利法。即： （4-414-41）为无量纲系数，由实验确定； 为待定指数，根据量纲一致性原则求出。例例4.5 4.5 如图所示，已知三角堰流的流量：如图所示，已知三角堰流的流量：试用瑞利法导出三角堰流量的表达式。试用瑞利法导出三角堰流量的表达式。三角堰堰角三角堰堰角流体密度流体密度重力加速度重力加速度被决定的物理量被决定的物理量堰顶水头堰顶水头定性物理量定性物理量图4-7 三角堰 解解 按照瑞利法可以写出体积流量：按照瑞利法可以写出体积流量：选取选取为量纲无关量，则有：为量纲无关量，则有：即：即：解得：解得：即：即：当取当取时，时，当重力加速度当重力加速度不变时，三角堰流量与堰顶水头不变时，三角堰流量与堰顶水头的关系为：的关系为：其中其中C C只能用实验方法或其他方法确定。只能用实验方法或其他方法确定。（a a）（4-424-42）（4-434-43）例例4.6 4.6 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时管道长度管道长度管道内径管道内径绝对粗糙度绝对粗糙度流体的平均流速流体的平均流速密度密度动力粘度动力粘度与下列物理量有关有关：与下列物理量有关有关：试用瑞利法导出压强降的表达式。试用瑞利法导出压强降的表达式。沿管道的压强降沿管道的压强降解解 按照瑞利法可以写出压强降：按照瑞利法可以写出压强降：如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有：如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有：根据物理方程量纲一致性原则有：根据物理方程量纲一致性原则有：T T： M M： L L： （b b）六个指数有三个代数方程，只有三个指数是独立的、待定的。六个指数有三个代数方程，只有三个指数是独立的、待定的。和和为待定指数，联立求解，可得：为待定指数，联立求解，可得：代入代入式（式（b b），可得），可得： （c c）例如取例如取由于沿管道的压强降是随管长线性增加的，故由于沿管道的压强降是随管长线性增加的，故上式上式右侧第一个零量纲量为管道的长径比右侧第一个零量纲量为管道的长径比第二个零量纲量为相对粗糙度第二个零量纲量为相对粗糙度第三个零量纲量为相似准则数第三个零量纲量为相似准则数1/Re1/Re令令：，称为沿程损失系数，由实验确定，称为沿程损失系数，由实验确定。（4-444-44） 于是可将式（于是可将式（c c）写成）写成：（d d）（c c）则式（则式（d d）变成）变成：令令：则得单位重量流体的沿程损失为则得单位重量流体的沿程损失为：可以看出，对于变量较少的简单流动，用瑞利法可以方便的直接求可以看出，对于变量较少的简单流动，用瑞利法可以方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动，比如说有出结果；对于变量较多的复杂流动，比如说有n n个变量，由于按照个变量，由于按照基本量纲只能列出三个代数方程，待定系数便有基本量纲只能列出三个代数方程，待定系数便有n-3n-3个，这样便出个，这样便出现了待定系数选取的问题。现了待定系数选取的问题。 （4-454-45）上式为上式为计算沿程损失的达西计算沿程损失的达西- -魏斯巴赫（魏斯巴赫（Darcy-WeisbachDarcy-Weisbach）公式。）公式。三、三、 定理定理若一个物理过程涉及若一个物理过程涉及n n个物理量和个物理量和m m个基本量纲，则这个物理过程可以个基本量纲，则这个物理过程可以用由用由n n个物理量组成的个物理量组成的n-mn-m个零量纲量的函数关系来描述。个零量纲量的函数关系来描述。在这在这n n个物理量中有个物理量中有m m个基本量纲，个基本量纲，n-mn-m个零量纲量可用个零量纲量可用则该物理方程式可以转化为无量纲量的函数关系式则该物理方程式可以转化为无量纲量的函数关系式：（4-464-46）若物理过程的方程式为：若物理过程的方程式为：来表示来表示：则其它物理量均可用三个基本量的某种幂次与无量纲量的乘积则其它物理量均可用三个基本量的某种幂次与无量纲量的乘积来表示，即来表示，即：（4-474-47）（4-464-46）基本量纲是基本量纲是L L，T T，M M三个，可以从三个，可以从n n个物理量中选取三个既包含上述基本个物理量中选取三个既包含上述基本量纲，又互为独立的量，作为基本量。量纲，又互为独立的量，作为基本量。无量纲无量纲量量：基本量基本量：例例4.7 4.7 利用利用定理求解粘性不可压缩流体定常流动的相似律。定理求解粘性不可压缩流体定常流动的相似律。选取选取为基本量，由为基本量，由定理可得：定理可得：解解 在不考虑热交换的前提下，可知：在不考虑热交换的前提下，可知： 当取当取时时，可有：可有： 当取当取时，可有：时，可有：于是，粘性不可压缩流体在定常流动时：于是，粘性不可压缩流体在定常流动时：故此流动在几何相似的前提下，其相似律有：故此流动在几何相似的前提下，其相似律有：解解 根据与压强降有关的物理量可以写出物理方程式根据与压强降有关的物理量可以写出物理方程式式中有式中有7 7个物理量，选取个物理量，选取为基本量为基本量例例4.8 4.8 试用试用 定理导出不可压缩粘性流体在粗糙管内的定常流动压定理导出不可压缩粘性流体在粗糙管内的定常流动压强降的表达式。强降的表达式。可以用它们组成可以用它们组成4 4个零量纲量，即个零量纲量，即：用基本量纲表示用基本量纲表示中的各物理量，得中的各物理量，得：根据物理方程量纲一致性原则有：根据物理方程量纲一致性原则有：对对T T 对对M M 对对L L 解得解得：故有故有: : 用基本量纲表示用基本量纲表示中的各物理量，得中的各物理量，得: :根据物理方程量纲一致性原则有：根据物理方程量纲一致性原则有：故有故有：用基本量纲表示用基本量纲表示和和中的各物理量，得相同的量纲中的各物理量，得相同的量纲: :根据物理方程量纲一致性原则有：根据物理方程量纲一致性原则有：故有故有: :将所有将所有值代入（值代入（4-464-46），可得），可得: :例例4.9 4.9 机翼在空气中运动时，翼型的阻力机翼在空气中运动时，翼型的阻力FDFD与翼型的翼弦与翼型的翼弦b b，翼展，翼展L L，和体积模量和体积模量K K有关。试用有关。试用定理导出翼型阻力的表达式。定理导出翼型阻力的表达式。选取选取为基本量，可以组成的无量纲量为为基本量，可以组成的无量纲量为：（ 解解 根据与翼型阻力有关的物理量可以写出物理方程式根据与翼型阻力有关的物理量可以写出物理方程式：，翼型与空气的相对速度，翼型与空气的相对速度，空气的密度，空气的密度，动力粘度，动力粘度冲角冲角用基本量纲表示用基本量纲表示（ 已经是零量纲量）已经是零量纲量）中的各物理量，得中的各物理量，得: : 根据量纲一致性原则得根据量纲一致性原则得：故有故有： 由于由于仍是无量纲量，所以将所有仍是无量纲量，所以将所有代入式（代入式（4-464-46），得：），得：或或 为阻力系数，由实验确定。为阻力系数，由实验确定。对于圆柱体的绕流问题，不存在对于圆柱体的绕流问题，不存在的影响，的影响，则有：则有：A A为物体的特性面积，一般取迎风截面积；为物体的特性面积，一般取迎风截面积；对于机翼，取弦长与翼展的乘积；对于圆柱体，取直径和柱长的乘积。对于机翼，取弦长与翼展的乘积；对于圆柱体，取直径和柱长的乘积。对于翼型来说，当对于翼型来说，当MaMa0.30.3时，可以不考虑压缩性的影响，时，可以不考虑压缩性的影响，本章总结：本章总结：1 1、流动的力学相似、流动的力学相似2 2、动力相似准则、动力相似准则3 3、流动的相似条件、流动的相似条件4 4、近似模拟试验、近似模拟试验5 5、量纲分析法、量纲分析法