排列组合的策略从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.2.组合的定义组合的定义: :从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.3.排列数公式排列数公式: :4.4.组合数公式组合数公式: :1.1.排列的定义排列的定义: :排列与组合的区别与联系排列与组合的区别与联系: :与顺序有关的为排列问题与顺序有关的为排列问题, , 与顺序无关的为组合问题与顺序无关的为组合问题. .排列组合的策略一一. .特殊元素和特殊位置优先法特殊元素和特殊位置优先法例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。题最常用也是最基本的方法。排列组合的策略 7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题练习题排列组合的策略二.相邻元素捆绑法例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：解：要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题. .排列组合的策略练习题练习题5个男生个男生3个女生排成一排个女生排成一排,3个女生个女生要排在一起要排在一起,有多少种不同的排法有多少种不同的排法? 共有 =4320种不同的排法.排列组合的策略三三. .不相邻问题插空法不相邻问题插空法例例3 3. .一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈, ,2 2个个相相声声, ,3 3个个 独独唱唱, ,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场, ,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端进行排队再把不相邻元素插入中间和两端排列组合的策略某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（ ）30练习题练习题排列组合的策略四四. .定序问题倍缩空位插入法定序问题倍缩空位插入法例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少种不同的排法少种不同的排法解:（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 1思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?（插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7排列组合的策略练习题期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? ( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理入模型处理排列组合的策略五五. .重排问题求幂法重排问题求幂法例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法， 依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法 一般地一般地n不同的元素没有限制地安排在不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种 n nm m排列组合的策略 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）练习题练习题排列组合的策略六六. .排列组合混合问题先选后排排列组合混合问题先选后排例例6.6.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.排列组合的策略练习题练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种192192排列组合的策略七.元素相同问题隔板法例例7.（1）有有1010个运动员个运动员名额名额，分给，分给7 7个班，个班，每班至少一个每班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用 块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的 个空隙中，所有分法个空隙中，所有分法数为数为m-1n-1排列组合的策略例例7.（2）有有1010个运动员名额，分给个运动员名额，分给7 7个班，个班，有些班级可以把名额让给其它班有些班级可以把名额让给其它班, ,有多少种有多少种分配方案？分配方案？ 排列组合的策略例例7.（2）有有1010个运动员名额，分给个运动员名额，分给7 7个班，个班，有些班级可以把名额让给其它班有些班级可以把名额让给其它班, ,有多少种有多少种分配方案？分配方案？ 将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, ,每份可以没有元素每份可以没有元素, ,可以用可以用 块隔板，插入块隔板，插入n n个元素和个元素和m-1m-1块板共块板共n+m-1n+m-1个位置中，所有分个位置中，所有分法数为法数为m-1排列组合的策略练习题练习题 （1 1）1010个相同的球装在个相同的球装在5 5个盒中个盒中, ,每盒每盒至少一个，有多少种装法？至少一个，有多少种装法？ （2 2）1010个相同的球装在个相同的球装在5 5个盒中个盒中, , 盒盒可空，有多少种装法？可空，有多少种装法？排列组合的策略八八. .平均分组问题除法平均分组问题除法例8. 6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。排列组合的策略1. 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 练习题练习题排列组合的策略九. 合理分类与分步策略例例9.9.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 够唱歌够唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人唱人唱 歌歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_ _ 种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+ + +排列组合的策略本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：* *以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准* *以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准* *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。排列组合的策略 从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 3434 练习题练习题排列组合的策略十十. .构造模型法构造模型法 例例1 10.0.马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决排列组合的策略练习题练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120排列组合的策略十一十一. .实际操作穷举法实际操作穷举法例例11.11.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒345排列组合的策略十一十一. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例1 11.1.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法, 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 排列组合的策略对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种213457272排列组合的策略我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?练习题排列组合的策略1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 3434 练习题2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. .2727排列组合的策略练习练习. . 有有1212名划船运动员名划船运动员, ,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷, , 4 4人只会划右舷人只会划右舷, , 其它其它5 5人既会划左舷人既会划左舷, , 又会划又会划右舷右舷, , 现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加划船比赛在左右舷参加划船比赛, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ?排列组合的策略练习练习. . 将将5 5名名实习实习教教师师分配到高一年分配到高一年级级的个班的个班实习实习，每班至少名，最多名，每班至少名，最多名，则则不同的分不同的分配方案有配方案有 （A A）种（）种（B B）种）种 （C C）种（）种（D D）种）种种方法，再将种方法，再将3 3组组分到分到3 3个班，共有个班，共有种不同的分配方案，种不同的分配方案，选选B.B.解析：将解析：将5名实习教师分配到高一年级的名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少个班实习，每班至少1名，最多名，最多2名，则将名，则将5名教师分成三组，一组名教师分成三组，一组1人，另两组都是人，另两组都是2人，有人，有排列组合的策略练习练习按下列要求把按下列要求把12个人分成个人分成3个小组，各个小组，各 有多少种不同的分法？有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为各组人数分别为2,4,6个；个；(2)平均分成平均分成3个小组；个小组；(3)平均分成平均分成3个小组进入个小组进入3个不同车间个不同车间排列组合的策略