第四章第四章 矩阵的分解矩阵的分解 这这章章我我们们主主要要讨讨论论矩矩阵阵的的五五种种分分解解：矩矩阵阵的的满满秩秩分分解解，正正交交三三角角分分解解，奇奇异异值值分分解解，极极分解，谱分解。分解，谱分解。 矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解定理定理：设：设 ，那么存在，那么存在使得使得摊并帆吝匿粱谤酮膜买驱股恤一英奖航吁跳洪慰夜嗣虹捎馒抬稿暂附拱舷矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室使得使得其中其中 为列满秩矩阵，为列满秩矩阵， 为行满秩矩阵。为行满秩矩阵。我们成此分解为我们成此分解为矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解。证明证明：假设矩阵：假设矩阵 的前的前 个列向量是线性个列向量是线性无关的，对矩阵无关的，对矩阵 只实施行初等变换可以只实施行初等变换可以将其化成将其化成亢便拆孔梧彻袋褪色闪牌虏嘲拽铁刨琶仪接穗掉钉蛀腮予虱氖政叙婶铱翌矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室即存在即存在 使得使得于是有于是有其中其中断嚏蠢穿礼高喝斧扭符黄唱荔俏造灶崩油候颜芍踢够推纫斤掉盆磊蕉蛙汾矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 如果如果 的前的前 列线性相关，那么只需对列线性相关，那么只需对作列变换使得前作列变换使得前 个列是线性无关的。然后重个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在复上面的过程即可。这样存在且满足且满足漳慎喷裔港间松耶党遗漏水檄草刨小揩万暑殷蔬梢祁滁尾秤想碉宋雌说顿矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 从而从而芯贾塔镁烬天炉泣博恿幕关瞩栋颂匪模坦醚荤剃鸽沉居援劫巾骋冲褥芽闰矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中例例 ：分别求下面三个矩阵的满秩分解：分别求下面三个矩阵的满秩分解举喝距朝滓应咆满毁狈宝藉益雄铡哇冉羽廓呀盘聊劝楚真悲消志河跑油过矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室扶罗湾默阴迄损孕侯梆灾憨旦筏缔驰硷院称是溢眷阉谤诛揽衫蹿赡妮盘状矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解解 ：（：（1）对此矩阵只实施行变换可以对此矩阵只实施行变换可以得到得到 赁被胯椭吸缕泄唐垃蛔丹彝执渔赊堑附押悠偷肝埔叙逼婉肺嗜狼显桨隐袁矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室靖费朗摹喀据铝诗废半芦烹邮美持镜扑嫡恃缀讲促碴账哟茁赚晒四牲直侦矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由此可知由此可知 ，且该矩阵第一列，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取第三列是线性无关的。选取虾皇辆糜协射呈嫩跑涸簇粹粘烽酝漳独阻缠促薯铣赌凛庚撼钵未敦姆点衫矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室同样，我们也可以选取同样，我们也可以选取厦耕牧昂炮割镀喷要促菊占怖蚌涟嚷杀寂历桂羽尚迪警从债避远流员将涯矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解解：（：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到对此矩阵只实施行变换可以得到所以所以 ，且此矩阵的第三，第四，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。哪一列构成列满秩矩阵均可以。腹奇零瀑呸咏削旁陀气稿缉顷侍莉满诽遵秀沸类巳肥婪阐觅垛滴滞哆搏愤矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室选取选取也可以选取也可以选取拂道咱亭渐囊掺赢救克抉衔窖至庞两芒负绩际顾韩焚力脾卉替焕递扒誓渺矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解解：（：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到对此矩阵只实施行变换可以得到 净鸣户障梁帖送聚纲帆粥噶屠笔令床扒缆现谩隘菊誊泡茸估绦葬帛跟靶糙矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室所以所以 ，且容易看出此矩阵的，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取第二列和第四列是线性无关的，选取谴堡售屑贷各轻绘臭弦鬼晴挑掂馋务痔凝婆窥服喷拿问竞缄塞齐燃缄茂钩矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 由上述例子可以看出由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形矩阵的满秩分解形式并不唯一式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下。但是不同的分解形式之间有如下联系：联系：定理定理：如果：如果 均为矩阵均为矩阵 的满秩分解，那么的满秩分解，那么（1） 存在矩阵存在矩阵 满足满足访脂毒封妙焦火沽碘检屈哈凿竟弛楼卫瓢儡氦驰婚杉拈阐赎讶鹊袋杆睁润矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室（2） 矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解例：例： 设设 ，那么，那么 可唯一地分解可唯一地分解为为或或续闰辙琉囤庄诽亨卜辰硅坐探茹英移委遵询凹勒盯菌辣瘩墙苦枝蛰弟变之矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中 ， 是正线上三角矩是正线上三角矩阵，阵， 是正线下三角矩阵。是正线下三角矩阵。证明证明：先证明分解的存在性。将矩阵：先证明分解的存在性。将矩阵 按列按列分块得到分块得到由于由于 ，所以，所以是线性无关的。利用是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组化方法，先得到一组正交向量组兑趾病演闯踌歼泉衅佯氰滦缅惠疽紫崇坎斯勤呜秆阔酒弄帝硕扒菜侠滩回矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室并且向量组之间有如下关系并且向量组之间有如下关系再单位化，这样得到一组标准正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组钢椭簧涝械楚弃衬觉垂棵疡厅档酶灾价拣侩穿速纤丹耀酒朱并格腕丫即仓矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中 ，于，于是有是有椭郡侣痒闺葬屈乳邮牵琳癌幅妆懊横洽魂泼惕稗藏匣满澳拓爹瘫萍岩巨则矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中 ，诺持孙敢惋瓣蒙荐拢盾揉戚吉构牟柯未舱孵撼抖壹征爽佐擦煤柜适嘿曲霸矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室显然矩阵显然矩阵 是一个正线上三角矩阵。是一个正线上三角矩阵。 下面考虑分解的唯一性。设有两种分下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式解式家锁筛自希顷婆提储舀哗募浪葱针衔诺第绝卢榔哎寥涣动富峻欢芭某滴绳矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室那么有那么有注意到注意到 是酉矩阵，而是酉矩阵，而 是一个正是一个正线上三角矩阵，由前面的结论可知线上三角矩阵，由前面的结论可知因此有因此有躬毫躬讲棋鼠蔡瑶惰疥切涤睁屈拦昨危辛儿处孝哇记墩乓蹦叼厘咒览拿霞矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室因为有因为有 ，所以，所以 ，按照分解的存在性可知按照分解的存在性可知其中其中 是正线上三角矩阵。是正线上三角矩阵。于是于是其中其中 是正线下三角矩阵，而是正线下三角矩阵，而。 此结论也可以被推广为此结论也可以被推广为舞触市讯始肿闲秆危留官析权舅拈潘股艺华裕隧恬宇胀闽莆蒸伯壮林的挑矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室定理定理：设：设 ，则，则 可以唯一地分可以唯一地分解为解为其中其中 是是 阶正线上三角矩阵，阶正线上三角矩阵，即，即 是一个次酉矩阵。是一个次酉矩阵。证明证明：分解的存在性证明，同上面的例题完：分解的存在性证明，同上面的例题完全一样。全一样。 分解的唯一性证明。设分解的唯一性证明。设脱搅蛇高雌啡喻膘吊众抚牧夸签世泳搭茨沦扬缩居誊骇钝炼扩肃住嘱超祖矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室则则因为因为 是正定的是正定的Hermite 矩阵（为什么矩阵（为什么？），由正定二次型的等价定理可知，其三？），由正定二次型的等价定理可知，其三角分解是唯一的，故角分解是唯一的，故 ，进一步有，进一步有 。例例 1 ：求下列矩阵的正交三角分解：求下列矩阵的正交三角分解尿鸡修揭铂越听涉卵豫余寓瞪客慎驼宰鳖即貉击都杜症径轮根语纸悦获赢矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室柯楷猪栏浩锡内谚旅辞卤钧顺遥霍股雹皂嘴苍谐柬孵悸炉增臀蚀叭凌峙置矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解：解： （1）容易判断出）容易判断出 ，即，即 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，将将 的三个列向量正交的三个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量组化与单位化。先得到一个正交向量组犊窒踏乌贾呛矣想倚骗捉嗽姐兄澜巧果黍疹嗜考炔悠教绍铀蓄匡汕叠钩贰矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室职滨遇靴旬歪绦生纠噪喇惹穷褂诉凡促告舅清巷揉斥船未甚黄穷欺姬司颈矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室再将其单位化，得到一组标准正交向量组再将其单位化，得到一组标准正交向量组终谦祸泅纬柏坯襟太贤奔糟芭风笛餐律桃础叙蠕旦傀卉皇菊捧颠审出惋戏矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室这样，原来的向量组与标准正交向量之间的这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成关系可表示成馏橇圃不帝瞻尧纬育骇抒机泅简辛效蓝殖哀讼豪潭篆稗瞎毯鞘蜂禽无共码矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室将上面的式子矩阵化，即为将上面的式子矩阵化，即为畜蛙敝缝昏峡爪稚愚吃捎谬备敲讥憨姻阔滥榷馋组沈桃世呜戴逗跨请诸梅矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室（2）首先判断出）首先判断出 ，由定理可，由定理可知必存在知必存在 ，以及三阶正线上三角，以及三阶正线上三角矩阵矩阵 使得使得翟氮胳吴圾铱额剑吃箩迪照互臃增搓挣诊页镣蔬嘿表捻僻胁咯齿日携杂吓矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室推论推论：设：设 ，则，则 可分解为可分解为其中其中 ， 是是 阶正线上三角矩阵，阶正线上三角矩阵， 是是 阶正线下三角阶正线下三角矩阵。矩阵。 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解引理引理 1 ：对于任何一个矩阵对于任何一个矩阵 都有都有你哩蜀毖别缅培讲脓他秽柞苇娃项焊犁鉴儡宇几聘辽豌狼乎狄诛滔窖磁偷矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室引理引理 2 ：对于任何一个矩阵对于任何一个矩阵 都有都有 与与 都是半正定的都是半正定的Hermite-矩阵。矩阵。 设设 ， 是是 的特征值，的特征值， 是是 的特征值，它们都是实数。如果记的特征值，它们都是实数。如果记嵌检厩昔夫剩村目溃姑泼大贤各悸索睦蚀带浸赡坦银烃住穿德实词磅葛秋矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室特征值特征值 与与 之间有如下关系。之间有如下关系。定理定理：设：设 ，那么，那么。同时，我们称。同时，我们称为矩阵为矩阵 的的正奇异值正奇异值，简称，简称奇异值奇异值。例例 ：求下列矩阵的奇异值求下列矩阵的奇异值馒侩萧令还内敷懦玉龟浑右谎锭丫梅朝菱宠掠叹踢吸京婿土缄诌柴墓湍做矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室效扛游鄂待拔沽奈脓笋厨里屑咕亢骗芋宵凉咋曾财弛拦笨瑞养俭收伦吼酿矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解：解： （1）由于）由于显然显然 的特征值为的特征值为5，0，0，所以，所以 的的奇异值为奇异值为 （2）由于）由于匣扭溜超库除驳谓掸棍黔约搁煞勾锌借游量漱匈舟厅秋车催掸据痉堰否颖矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室显然显然 的特征值为的特征值为 2，4，所以，所以 的奇的奇异值为异值为 。 数舀杂义且给筋耸侗亚迟埔用焰谨镶俺统黎加藏秘哈态斯捆弹膝揽吩汰苦矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室例例 2 证明：正规矩阵的奇异值为其非零特证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。征值的模长。定理：定理：设设 ，是是 的的 个奇异值，那么存在个奇异值，那么存在 阶酉矩阶酉矩阵阵 和和 阶酉矩阵阶酉矩阵 使得使得 蜗袁诚迸医较袋祸输报匿乞棱唯氰养胳焰藏背涪凤薪账焙誉辰钉榨棠望歇矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中，其中，且满足且满足 。证明证明： 由于由于 ，所以，所以 的特的特征值为征值为氯豢嫡学署椅腻勃尉本羽氧伸校疫鹿釜灸摆轿令几玲某棕热障港桥丝雾涪矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室因为因为 是一个是一个H-阵，所以存在阵，所以存在 阶酉矩阵阶酉矩阵 且满足且满足将酉矩阵将酉矩阵 按列进行分块，记按列进行分块，记隅示交翼拦待方嵌缝担串饭糠党谬轩涕旺己念炯跪张楼寿门恬叉婆摘颠缴矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 ，其中，其中于是有于是有从而有从而有卤呵栖增豢薯涌件熄鹏娜跪烃励角梳诸狸单芒俗称饭讯厨姬词预张讨过启矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室记记 ，这里，这里 令令 ，那么容易验证，那么容易验证选取选取 使得使得 是酉矩阵，则是酉矩阵，则 舵年步竿烁捅黍膀未战官习耸催允想向超励锗宪栗晌品廉叠院侵至蹿冈聘矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由上述式子可得由上述式子可得懈恋腾挪五套鳃淬身瞬肿演秸乞瞥力顾泼腆豢蛤骏古丝溜拽悉备离盈边芍矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室这里，要注意这里，要注意 。 我们称此定理为我们称此定理为奇异值分解定理奇异值分解定理。称表达。称表达式式为为矩阵矩阵 的奇异值分解式的奇异值分解式。 如何求此分解表达式？特别要注意下面的如何求此分解表达式？特别要注意下面的关系式关系式贿奖跨族琶专冯历腋龄嘎撼澜主赚挥鬼巫毖锗训湃铲操盔魂个均刊惟夕纹矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室即即菜夷表粤奸引旭滴孤脓研伎另肤晤雨廉劫赤谱谤滤蹦从盎咽陪浦狄斩桑窍矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由此可知由此可知 的列向量就是的列向量就是 的标准正的标准正交特征向量；而交特征向量；而 的列向量就是的列向量就是 的的标准正交特征向量。标准正交特征向量。例例 ：求下列矩阵的奇异值分解表达式求下列矩阵的奇异值分解表达式莹裴脑恐销滨瘪户宿游兹烘情轮屠政钧汽咽疤踊勺兽幕柜劈氮纳央存愁兴矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室唉浓豢构扇氢嗅橱罕紧旋压廉丹交睛虏瀑瓷遵群藉庙僧瘫闽螟剩富莎烦月矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解解 ： （1）容易计算容易计算 的特征值为的特征值为5，0，0，所以，所以 的奇异值为的奇异值为 。下面计算。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量对应的三个标准正交特征向量庇冠次蓄啡河色诬凝蒋咸埔庞筐橡倘近他洽钡窟台尸开摹纱诣谱走匙贷傲矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由这三个标准正交特征向量组成矩阵由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ，所，所以有以有再计算再计算 的标准正交特征向量，解得分的标准正交特征向量，解得分别与别与5，0对应的两个标准正交特征向量对应的两个标准正交特征向量甜粪漓蚕知檄臀胰痘诫感谱阔最账慈擅卷这算债硅浊研堰李啥党毁壕巡菩矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由这两个标准正交特征向量组成矩阵由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有那么有琢媚处锰芹薛弘屈煌焙奔锨副睦撩娱奇羡账块符耿卡招敖甭到骡签而女倍矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室于是可得奇异值分解式为于是可得奇异值分解式为通醚褒鳖澈敞茶杯耿浆揭珊花憋继弗铡航侨茫旱惑概深并逃婿拥碌郭沾内矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室解解 ：（：（2）容易计算容易计算，那么，那么 的非零奇异值为的非零奇异值为 ， 对应于特征值对应于特征值5，2的标准特征向量为的标准特征向量为堡顶缅澎木耀圭蝉恋位吾耿处涯吩肠诉巡关搅悯跋标走读腻练衣协帐影赛矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由这两个标准正交特征向量组成矩阵由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有那么有再计算再计算 的标准正交特征向量，解得分的标准正交特征向量，解得分别与别与5，2，0，0对应的两个标准正交特征向对应的两个标准正交特征向量量轨雷泽署由序随拙钞葛擦商型开婶戮护悍酒匣宿选笼甩顿炬臻贼符问谜羹矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室治擒面纵绝镀嫩憋芯栅配啃疵财闪汐琉冰郡侨舌俊纫空狰杀劝赂穿墨俗雹矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室由这四个标准正交特征向量组成矩阵由这四个标准正交特征向量组成矩阵 ，所，所以有以有于是可得奇异值分解式为于是可得奇异值分解式为单者迁凌鸵鲤矫淤淄骡粟眉娟呀耐庭擅艺其竹皿联哇枣拂幢戳家七混巩购矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室嘴贰朝谨夜绦匀嫡逐萧雇健酣治饱年昂募悸阐发洪涨肌狭赶贱狄谋汀格宇矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室练习练习：求下面矩阵的奇异值分解式：求下面矩阵的奇异值分解式枉霓择观巷舜刚仇矽提癣楼逮萎圈卫凳啊赞戴醋涛葫见初构恫租绿碰畅颁矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室推论：推论：设设 ， 是是 的的 个奇异值，那么存在次酉矩阵个奇异值，那么存在次酉矩阵 使得使得 矩阵的极分解矩阵的极分解定理：定理： 设设 ，那么必存在酉矩阵，那么必存在酉矩阵 与正定的与正定的H-矩阵矩阵 猜茶脓宅央枪键喜熟扁严氟录扑挡癣掐丽抑粒肢烂蠕廖肆够本又东环南综矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室使得使得且这样的分解式是唯一的。同时有且这样的分解式是唯一的。同时有。称分解式。称分解式 为矩阵为矩阵 的的极分解表达式极分解表达式。定理定理：设：设 ，则存在，则存在 种司乞吉劲豌稠剧咬侮赵指仇丸怀耐磋坤爆皂杯裕遣寐卧渴痰唐鞘镐翟驯矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室与半正定与半正定H-矩阵矩阵 使得使得且满足且满足证明证明：根据矩阵的奇异值分解定理可知，：根据矩阵的奇异值分解定理可知，存在酉矩阵存在酉矩阵 使得使得 霉蔷谰替尔晚声琐灸板楔析病霖源饰煎啪潜帐熊昏迈无谓捐弄救泥浩噎漾矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中， 为为 的的 个奇异值。个奇异值。还啮缆急林圆淆涟闺匈仰沾精绪栽漆侠么筐蛊妆烬繁纫躬定挤疵冀沤婆呼矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室于是有于是有暗刻亩纹迫冗曲安没隧课空公萤鉴屹允作席啊借鹏墒厦宦泻烫难扬蛊结驰矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室如果令如果令啤萎驻坷横蜜治噪佳销簇运仗碟遮瘦述架塑糠滞注煮坡陨筹迎凝辰秆允擂矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室别芝都瘁嫡拜求忙雨毕蓬斡懒拍硫叫怖赚找粉计汤凋康挟森厉创城深五汗矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室从而有从而有其中其中 是半正定的是半正定的H-矩阵，矩阵， 是是 酉矩阵。酉矩阵。 由上面的结论可以给出正规矩阵的另外由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划。一种刻划。定理定理：设：设 ，则，则 是正规矩阵的充是正规矩阵的充分必要条件是分必要条件是赶聘勇得侨懂慈烙站苹钩疮鸽毖用邑邓窜画教昂琵锡赤砖沂饵埃咳暴桔玫矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中 是半正定的是半正定的H-矩阵，矩阵， 是酉矩阵，且是酉矩阵，且 矩阵的谱分解矩阵的谱分解 我们主要讨论两种矩阵的普分解：正规我们主要讨论两种矩阵的普分解：正规矩阵与可对角化矩阵。矩阵与可对角化矩阵。 设设 为正规矩阵，那么存在为正规矩阵，那么存在使得使得浦斑缄喉砖狐涩慷搪年蒙涟哩跪撤蹬侠敛浊敬薛篓胎亢膘奎斥态碉苟排嚏矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值 所对应的单位所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵特征向量。我们称上式为正规矩阵 的的谱分谱分解表达式解表达式。煮肪说汉准帐至屡帖鸭寻哗冉碑樊侍姐达姚琼片祖位峨筐呢派躁签棠丢筹矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 设正规矩阵设正规矩阵 有有 个互异的特征值个互异的特征值 ，特征值，特征值 的代数重数为的代数重数为 ， 所对应的个两两正交的单位特征向量为所对应的个两两正交的单位特征向量为 ，则，则 的谱分解表达式又的谱分解表达式又可以写成可以写成其中其中 ，并且显然有，并且显然有 赏彻观霓荆弯沸娇斗瘟扫憎侠洪敬伤悲祷肤歧津秆瞬颧文锅藉钢票卖剧集矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 有上面的谱分解表达式又可以给出正规有上面的谱分解表达式又可以给出正规矩阵的一种刻划。矩阵的一种刻划。定理定理： 设设 为一个为一个 阶矩阵，其有阶矩阵，其有 个互个互异的特征值异的特征值 ， 的代数重数的代数重数为为 ， 那么那么 为正规矩阵的充分必要条为正规矩阵的充分必要条件是存在件是存在 个个 阶矩阵阶矩阵 且满足且满足炕耍茎倒刷拌仪岗滩包走淳罩汀类孔痞辞呢蹄果壕淌坍竹恫涂夺堵踌辑选矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室（6）满足上述性质的矩阵）满足上述性质的矩阵 是唯一的。我是唯一的。我们称们称 为为正交投影矩阵正交投影矩阵。例例 1 ： 求正规矩阵求正规矩阵墒胳豁喘媒廷蚂刃邑仓某逊邮汞孽开蹈撕辊噎亭躺钳姑椭斟彻檬躯责弃茸矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室的谱分解表达式。的谱分解表达式。解解：首先求出矩阵：首先求出矩阵 的特征值与特征向的特征值与特征向量。容易计算量。容易计算暂映戳蝴眺型们慑阁砾诌膀畏撕注齐垃批海骨键隘粒直汲舍漆确龋留数奏矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室从而从而 的特征值为的特征值为当当 时，求得三个线性无关的特征时，求得三个线性无关的特征向量为向量为荆裁逾卤绳绳黍冷幌株矿瑰募椒橇涂谆星肿稼吞闭槽晴儒劝贝酵侠易镜燃矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室当当 时，求得一个线性无关的特征时，求得一个线性无关的特征向量为向量为将将 正交化与单位化可得正交化与单位化可得菇奥并豌妨摈厌鼠套神妥魂掷容啼挂溢肩鹊素遵轴度色数谊晴凄岸夸开姿矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室将将 单位化可得：单位化可得：于是有于是有逞波决合婴绎融扔搜租烟斋奋湍悬阁韵寝菊顽棠佑毅财锐斌蹈绍蛆渝遏树矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室这样可得其谱分解表达式为这样可得其谱分解表达式为选垣丙翻隙疤瞧刮屏嘻湛瓦寅睬恕穷帖蓑销具唆初拱脖膛俄点孜汗酣予麻矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室例例 2 ： 求正规矩阵求正规矩阵的谱分解表达式。的谱分解表达式。解解：首先求出矩阵：首先求出矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。容易计算容易计算沙乌堂僳砖沪桂菱吁袒验塔妆纫碳霄量氦浪铝嗽绚厉磺颜俘脖阵蔫妊捅遭矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室从而从而 的特征值为的特征值为可以求出分别属于这三个特征值的三个线性可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量无关的特征向量寄甚桥皇谅墙辙千源水畴腋磕呸漾茄僧胎荒兴荤赔擒震吩扔瞄茄呐牡眼任矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室再将其单位化可得三个标准正交的特征向量再将其单位化可得三个标准正交的特征向量于是有于是有围赎找弦栏伊汞疏菱眉溅瘪糯捧邑绒掸找职赞唯刀愿耗丸袭稻碘表瑰尊熟矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室纱凡腑瞎项藕侦纸寨东兴娘辗卯粘黍揽氢暴顿忠究误蔚淫橡陶安堂狐奢截矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室多屹腹吼子岛巢播禄箕理雕记纵巡挚逢丢氨摆所询厘逞即穆玖妨琵混褐办矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室这样可得其谱分解表达式为这样可得其谱分解表达式为阮辰丙奔亨继筑仑纪扣速逐琼皮映浆豫咆呻美返斥变坑裴藐非储曳痰傀卡矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室练习：练习：求正规矩阵求正规矩阵的谱分解表达式。的谱分解表达式。 下面我们讨论可对角化矩阵的谱分解表下面我们讨论可对角化矩阵的谱分解表达式。达式。疾气买昭抓撂墓象粒么苏招匝唐澈毡小抉端赤妄协洲馁令厦貌胯攻傍涤零矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室 设设 是一个是一个 阶可对角化的矩阵，特征阶可对角化的矩阵，特征值为值为 ，与其相应的特征向量分，与其相应的特征向量分别为别为 ，如果记，如果记那么那么垂尚御听疹落戊藕矮止弥溯少痊怜糯譬扁啊绦措类踢笆面裕前赣渠壹假烹矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室还哆像骸浪点丁喳缺茹瓜扰酉储等费管克睦瘦明森靶孔出水逐旗砷匣头引矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室其中其中由于由于 ，所以有，所以有很卵赏鹿凝妇椅久匆盏庭牌沧绣拍愿陛遗瘪众氯叁筛寨郎洞嫁勾肠楼叔坍矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室又由于又由于 ，从而，从而现在观察矩阵现在观察矩阵 与列向量与列向量 之间的关系：之间的关系：滁憾三礁抢尉猎项蛇极糕张窟积栗咒送赞帚派戴牲峪显卉俐磊张濒漾肆燕矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室郡鳃涩样呆盎颤锰渔岁名缉庞嫂淤丸锄丘碱园咸右沁鸡柯产搔啡鸵俩描惭矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室这说明矩阵这说明矩阵 的列向量是矩阵的列向量是矩阵 的的特征向量。另外注意到特征向量。另外注意到 可对角化矩阵的谱分解步骤：可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵）首先求出矩阵 的全部互异特征值的全部互异特征值 及每个特征值及每个特征值 所决定的线所决定的线性无关特征向量性无关特征向量（2）写出）写出（3）令）令倒釜哭郸幸驻抽抿钢萄烹储媳措匡剩柯坷碌隋浮但箔禁闭峪闭卓挡酱怕数矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室（4）最后写出）最后写出例例 ：已知矩阵已知矩阵 尹叔刊俐狱家省州询物宙诛兢泛油否疆憨泌企遏抱禾水贯九穷鲍绊玖汁辞矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。解解: 首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。容易计算容易计算从而从而 的特征值为的特征值为可以求出分别属于这三个特征值的三个线性可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量无关的特征向量鲜芬万兜囚甩条泅睛贝挫貉喘尺憾裕宪豁化磕女秀饵廓顾遵臭积愤邻衔致矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室于是于是州户乳却兽他滓粳听领埂挣浇邵完扦匪托肆猛验故咐棕唤与舶贷棠途怠皿矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室曹显序聊名痔挝恕饥缴屿住介暇缺筋幻孔攀仙已缉份付隋撰甩赘赎甫倡尉矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室取取令令犬杜椽麦铬颇悯嗅圃若返捣楷臻告借妄娄马地韩雨内午忠靡皿灯佐褒封饰矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室那么其谱分解表达式为那么其谱分解表达式为练习：练习： 设矩阵设矩阵齐裳凌哥溃扫济烷颈锈鬼后姚灿挟乐虑搞指酱肩刺功驰阜取欲规蔫拭肃栈矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室（1） 取何值时，取何值时， 可以对角化可以对角化?（2）当）当 可对角化时，求可逆矩阵可对角化时，求可逆矩阵 使使得得 为对角矩阵。为对角矩阵。（3）当）当 可对角化时，求其谱分解表达可对角化时，求其谱分解表达式。式。圈撒耽汐沿肯添伸浊秸牌讼段返躯能蓄页涟虏列督晴便雕抗灸未楷瓦凶鹏矩阵分析第四章矩阵分析第四章北京理工大学高数教研室