6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述6.26.2偶然误差的特性偶然误差的特性6.36.3评定精度的指标评定精度的指标6.46.4误差传播定律误差传播定律6.56.5等精度观测值的平差等精度观测值的平差6.6 6.6 不等精度观测值的平差不等精度观测值的平差第第6 6章章 误差理论的基本知识误差理论的基本知识垮蠢裁镊怔挺平闻盛魁傲挎粉袄从克洲吗峭场执硷砸怒格亢颁抓侥渡景星误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述 何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。该差何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。该差数称为真误差。即数称为真误差。即式中式中i i为为真误差；真误差；Li为为观测值；观测值；X表示表示真值。真值。评翰箱坟鄙肛添雀绘劳脚狠堤腕注翘哪网幅开垄韦辗乓漂蚌签颈糙笨挚牵误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量1 1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定 限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。2 2、观测者误差：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一、观测者误差：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一 定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。如整平误差、照准误差、读数误差等。6.1.1 6.1.1 测量误差的来源测量误差的来源 产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面。产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面。3 3、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。观测结果带来误差。好昼缩闺泪尖酌夹樟棠讨鸟埃滔亡顽披丸铂耐万铂悔翅馒儿挥垛耀娃风蚕误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 通常把通常把仪器条件、观测者的技术条件（包括使仪器条件、观测者的技术条件（包括使用的方法）及外界条件用的方法）及外界条件这三方面因素综合起来，这三方面因素综合起来，称为称为观测条件观测条件。 观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为等精度观测等精度观测。相。相反，观测条件之中，只要有一个不相同的各次观反，观测条件之中，只要有一个不相同的各次观测称为测称为不等精度观测不等精度观测。 焰忱赤擦骄翱傻迢盏拣斑胰罢易渊淡梨凡冻留尺坪播硼蝇胯辩氨疫揭形凉误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量6.1.2 测量误差的分类测量误差的分类 按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差和偶然误差两大类：测量误差分为系统误差和偶然误差两大类： 1.1.系统误差系统误差 定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差一定规律变化的误差，称为系统误差。肤郁庇捂吻土迟晋埃岁嗣催挞嘉吟驰咕巢掇新据鬃班澈寄年限祈隙盯负茵误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量系统误差具有累积性，对观测结果的影响很系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。通常可采用以下三种方法：通常可采用以下三种方法： (1) (1)观测前对仪器进行检校观测前对仪器进行检校 (2) (2)采用适当的观测方法，例如正倒镜观测采用适当的观测方法，例如正倒镜观测 法。法。 (3) (3)研究系统误差的大小，事后对观测值加以改研究系统误差的大小，事后对观测值加以改正。正。 浆搓寞下咐昆课圣榨段兰阎突励渺氮苇霍平伟钱撬寡良骗潮磁沥辉倍婉忧误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，观测， 误差的出现的符号和大小都不一定，表现误差的出现的符号和大小都不一定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。例如，水准尺读数时的估读误差，经纬仪测角的瞄例如，水准尺读数时的估读误差，经纬仪测角的瞄准误差等等。对于单个偶然误差没有什么规律，但准误差等等。对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律大量偶然误差则具有一定的统计规律。 2.2.偶然误差偶然误差妇桓烽蜜弧雍棠蕉耀玖铁茁坦恰河厘喊锅贡畴伤元冒荐疙寇糜斯荐霹肺炬误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量3 3、粗差、粗差l定义：定义：观测数据中存在的粗大误差l 粗差是由于作业人员的疏忽大意而造成的错误。例如，在观测时读错、记错等等，在观测结果中是不允许存在错误的。只要观测者认真负责和细心地作业，粗差是可以避免的。呆济玫踪爆疗欧簧灼湍衅量泛己监铁阉赞朽凄珠咋遗碑刊促忧讳漫反凿济误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 在观测过程中，系统误差和偶然误差往往在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在的。当观测值中有显著的系统误差时，是同时存在的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。因此，对一的性质；反之，呈现出偶然的性质。因此，对一组组剔除了粗差剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度评定精度。这项工作在测量上称为这项工作在测量上称为测量平差测量平差，简称平差。，简称平差。牢譬桔冉咬坤履码拱影偏采恫胳穆畏琳逝样戌澎晚追龚拍卒询屑垃原理舷误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量6-26-2偶然误差的特性偶然误差的特性 设某个量的真值为设某个量的真值为X，对此量进行，对此量进行n观测，得到的观测值为观测，得到的观测值为L1，L2，Ln，每次观测发生的偶然误差（即真差）为，每次观测发生的偶然误差（即真差）为1，2， n，则则(i=1，2，n) 在观测过程中，不可避免会产生偶然误差，偶然误差是测量误在观测过程中，不可避免会产生偶然误差，偶然误差是测量误差理论主要讨研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值进行数差理论主要讨研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为学处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为最或然值最或然值最或然值最或然值(或称最或称最或是值或是值)。 对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律。下面举一实例加以说明：的统计规律。下面举一实例加以说明：层叉臼敷泄拾鼠怒臆劣动象曼设裳芝丫鲸咒娜容并草霜丹乡有铬猿黄腥菇误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例【例1】 在相同的观测条件下，观测在相同的观测条件下，观测365365个三角形的三个个三角形的三个内角，由于存在偶然误差，使得每个三角形内角之和不等内角，由于存在偶然误差，使得每个三角形内角之和不等于真值于真值180，用下式计算真差，用下式计算真差i ：abci=ai+bi+ci-180（i=1,2, 365） 把这把这365个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表：个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表： 旧场攒标即王肘陨溯绵擞烁乍宴韦籍等漓型成眠慑容玖赌切谬理皖柴匣肮误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 偶然误差偶然误差分布统计表分布统计表 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 10 10 10 10 12 12 12 12 14 14 14 16 16 16 16以上以上 合计合计相对个数，又称误差出现的频率正负误差个数正负误差个数总和总和 93 93 83 83 66 66 44 44 34 34 26 26 13 13 6 6 0 0474742423232222216161212 6 6 3 0464641 41 34221814730 负误差正误差kk/nk/nk0.1290.1150.0880.0600.0440.0330.0160.00801801850.4930.507365误差区间d 0.1260.1120.0930.0600.0500.0390.0190.0080凿沏营宋汉盘谎禄甸悔讯啪戳值俐佰纬睫宵挡吃擂南稽闯举鞠燕犯仍堤埠误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量3.对称性：对称性： 绝对值相等的正负误差出现的机会相等；绝对值相等的正负误差出现的机会相等； 4.抵偿性：抵偿性： 偶然误差的算术平均值趋近于零，即偶然误差的算术平均值趋近于零，即1. 有界性：有界性： 在一定的条件下，在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；超过一定的限度；2. 集中性：集中性： 绝对值小的误差比绝绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机对值大的误差出现的机会多；会多；行弓陵硼诡册木尿节黍讼炉桨烧翻密认框阎继措砰辊摸惭柳章啪抱泄迭诗误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量正态分布与标准差正态分布与标准差l直方图与误差分布曲线在相同观测条件下所得到的一组独立观测的误差，当误差的总个数n足够大时，误差出现的可能性就趋于稳定。这就是说，在一定的观测条件下，对应着一种确定的分布，表示这种分布的曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。在概率论中，把这种误差分布称为正态分布正态分布急泅艇旨江设靖流窄含俊兰蚊帚编戒案念世轿泪楞磨员塔芳凄唇渭睹垂亨误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量标准差l参数参数 是观测误差的标准差（方根差或均方根是观测误差的标准差（方根差或均方根差）差） 削同哇黑详题倾香岭堡盲独党裁俘堪伶再浑力妥拈秩苔乃跃沟疯稳籽契岭误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量对偶然误差分布曲线形状的影响f()O0.6830.683愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。烙候斜擂军减排句谩义钵沾女洋恤蔑朵旧娥豪惫止约姑不仓便屠去嫁揭彝误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量多余观测多余观测 为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，测量工作中进行为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，测量工作中进行多于必要观测的观测，称为多余观测。多于必要观测的观测，称为多余观测。 例如，一段距离往返观测，如果往测必要的观测，则返测称多例如，一段距离往返观测，如果往测必要的观测，则返测称多余观测；一个三角形观测余观测；一个三角形观测3个角度，观测其中个角度，观测其中2个角为必要观测，观个角为必要观测，观测第测第3个角度称多余观测。个角度称多余观测。 有了多余观测，观测值之间或与理论值比较必产生差值（不符有了多余观测，观测值之间或与理论值比较必产生差值（不符值、闭合差），因此可以根据差值大小评定测量的值、闭合差），因此可以根据差值大小评定测量的精度精度精度精度（精确程度）（精确程度），当差值超过某一数值，就可认为观测值有错误，称为，当差值超过某一数值，就可认为观测值有错误，称为误差超限误差超限误差超限误差超限。差值不超限，这些误差认为是偶然误差，进行某种数学处理称为差值不超限，这些误差认为是偶然误差，进行某种数学处理称为平平平平差差差差，最后求得观测值的，最后求得观测值的最或然值最或然值最或然值最或然值，即求得未知量的最后结果。，即求得未知量的最后结果。割录氧溺譬柒藏袜蜡鸭牡捏豫诀目户瞒耳嫡寓诡檀睛替罐申冉驱贾筷刨付误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量6.3 6.3 评定精度的指标评定精度的指标 观测值接近真值的程度，称为观测值接近真值的程度，称为准确度准确度。愈接近真值，。愈接近真值，其准确度愈高。系统误差对观测值的准确度影响极大，其准确度愈高。系统误差对观测值的准确度影响极大，因此，在观测前，应认真检校仪器，观测时采用适当的因此，在观测前，应认真检校仪器，观测时采用适当的观测法，观测后对观测的结果加以计算改正，从而消除观测法，观测后对观测的结果加以计算改正，从而消除系统误差或减弱至最低可以接受的程度。系统误差或减弱至最低可以接受的程度。 一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度），一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度），称为称为精密度精密度。一观测列的偶然误差大小反映出观测值的。一观测列的偶然误差大小反映出观测值的精密度。准确度与精密度两者均高的观测值才称得上高精密度。准确度与精密度两者均高的观测值才称得上高精度的观测值。所谓精度的观测值。所谓精度包含准确度和精密度精度包含准确度和精密度。修凛龋硕缘秃励茶含塞琢沁捎焕湘斌潘汾杜耸今对粹鼓邢火粥疑查皑吐涟误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 打靶实例说明准确度与精密度两概念打靶实例说明准确度与精密度两概念否旺退润帘拳筏砒槛沤虏泽擎排沮听馈竟只陕忧离辨工辅享旬听振尽源庙误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 数字的精度数字的精度是取决于小数点后的位数，相同单是取决于小数点后的位数，相同单位的两个数，小数点后位数越多，表示精度越高。位的两个数，小数点后位数越多，表示精度越高。因此，小数点后位数不可随意取舍。例如，因此，小数点后位数不可随意取舍。例如，17.62m与与17.621m，后者准确到，后者准确到mm，前者只准，前者只准确到确到cm。从这里可知：。从这里可知：17.62m与与17.620m，这两，这两个数并不相等，个数并不相等，17.620m准确至毫米，毫米位为准确至毫米，毫米位为0。因此，对一个数字既不能随意添加因此，对一个数字既不能随意添加0，也不能随意，也不能随意消去消去0。幂滩驶郑槐昆潍旭醚都阳逗寂极咱拎再记唉均磋霓娃革毖钠背渍檬踊竹脆误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量1 1、中误差、中误差 根据数理统计推导中误差根据数理统计推导中误差m m为为式中：式中：各偶然误差平方和，各偶然误差平方和， n偶然误差偶然误差 的个数。的个数。 m表示该组观测值的中误差，它表示该组观测值的中误差，它代表该组观测值中任一个观测值的代表该组观测值中任一个观测值的误差。误差。根据推导可知根据推导可知偶然误差分布偶然误差分布曲线拐点的横坐标曲线拐点的横坐标 拐拐= = m这就是这就是中误差的几何意义。中误差的几何意义。+y+m-mP(|)m偶然误差呈偶然误差呈正态分布正态分布前霸灯纵爸坦蝉佑锗纤峨瑰谬瓤莎券朝目惰晤锈萨焉盖啊淄索请蘸帛线彬误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例【例2】 ：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个内角观测内角观测1010次，算得三角形闭合差次，算得三角形闭合差i 如下：如下：甲组：甲组：+30+30,-20,-20,-40,-40,+20,+20, 0, 0, -40, -40,+30,+30,+20,+20,-30,-30,-10,-10 乙组：乙组：+10+10,-10,-10,-60,-60,+20,+20,+20,+20,+30,+30,-50,-50, 0, 0, +30, +30,-10,-10试问哪一组观测值精度高？试问哪一组观测值精度高？试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较： 用平均误差衡量结果是：用平均误差衡量结果是：甲甲=乙乙。但是，乙组观测列中有较大的。但是，乙组观测列中有较大的观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，计算平均误差观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，计算平均误差反映不出反映不出来，所以平均误差来，所以平均误差衡量观测值的精度是不可靠的。衡量观测值的精度是不可靠的。衷鄂空勘喳商方驭洗价冬卤其矿僳悲涉坠壕碧阮擎滑溶劲孔救田楚嫁断眉误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量正确解法：用中误差公式计算得正确解法：用中误差公式计算得:因此因此, ,甲组观测值的精度较乙组高。甲组观测值的精度较乙组高。m甲甲= =2727表示甲组中任意一个观测值的误差（或称单位观测值的中误差）。表示甲组中任意一个观测值的误差（或称单位观测值的中误差）。 m乙乙= =3030表示乙组中任意一个观测值的误差。表示乙组中任意一个观测值的误差。 假剂乃懂储匝抽许河韶檀读程惰连炔胯趟悸青肄沈倾挟克春限签笼攻磺她误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量2、极限误差（容许误差）、极限误差（容许误差）定义定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是 极限误差。极限误差。 y y -m -m -m -m +m +m +m +m -2m -2m -2m -2m+2m+2m+2m+2m-3m-3m-3m-3m+3m+3m+3m+3mP P P P（ -m -m -m -m +m +m +m +m） 68.3 68.3 68.3 68.3P P P P（-2m-2m-2m-2m+2m+2m+2m+2m） 95.4 95.4 95.4 95.4P P P P（-3m-3m-3m-3m+3m+3m+3m+3m） 99.7 99.7 99.7 99.7蕴猩桔咸娥袄佩邮磋尼雇卸碑饭茁滑浇杨疾肩个佬烂济大破诅笔首坎劣秒误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 在区间（在区间（-m-m，m m）内偶然误差出现的概率值为）内偶然误差出现的概率值为68.368.3。说明大于一倍中误差的说明大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为偶然误差出现的概率为31.731.7。在区间（在区间（-2m-2m，2m2m）内偶然误差的概率值为）内偶然误差的概率值为95.495.4。说说明大于二倍中误差的明大于二倍中误差的偶然误差出现的概率仅为偶然误差出现的概率仅为4.64.6。在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于2m或或2m的误的误差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为容许误差容许误差容许误差容许误差（多采用多采用2m），即，即容容=2m 或或 容容=3m在区间（在区间（-3m-3m，3m3m）内偶然误差的概率值为）内偶然误差的概率值为99.799.7。说说明大于三倍中误差的明大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为偶然误差出现的概率仅为0.30.3。苹出痒斜漳彪闭修丑锤但粮嗜牡嫁孰况狠邻唤驳杰顺遍菩酵敝核疡谷镭液误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离：如，测得某两段距离： 一段长一段长100m100m，另一段长，另一段长200m200m，观测值的中误差均为，观测值的中误差均为0.02m0.02m 。 从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。3 3、相对误差、相对误差相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为1 1的分子式的分子式的分子式的分子式，即即式中：式中：K为相对误差为相对误差第第1 1段：段：第第2 2段：段：因此第2段精度高于第1段朋状缨调妈吕步羞杨东氧翟号跺汐监鳞钟咯楼哇斩戒韭襄沮棵州退中郧德误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。常用几种相对误差计算式：常用几种相对误差计算式：玛铀竞绘精境嘱冈办芝吴户式哮碟道米卧续靶鳞夯卒损谷锚漏氰妙膝寐绕误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量6-46-4误差传播定律误差传播定律在实际测量工作中，某些量的大小往往不在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。的。非线性函数非线性函数 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。关系的定律称为误差传播定律。例如例如： h=a-b 线性函数线性函数 误差传播定律：误差传播定律：郑膛颠桐兴拳立初生虽陇悠注炳蝶报梆键奔讨饲肌锰嘉王酪术争稻垃儒逐误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量倍数函数：倍数函数： y= =Kx则则【例【例4】：在在1 1：500500地形图上量得某两点间的距离地形图上量得某两点间的距离dABAB=51.2mm,=51.2mm, 其中误差其中误差 m md d= =0.2mm0.2mm ，求该两点的，求该两点的地面水平距离地面水平距离D DAB AB 的值及其中误差的值及其中误差 m mD D 。1.1.倍数函数倍数函数 DAB=25.6m 0.1m酪促太牙宫哎汪匝讨悍畔阔悦彦迂整滤曲姐陷波辉阴腹眶昆娩鉴础死猾罗误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量（1 1）和差函数）和差函数 y y= =x1x2 且且x1、x2独立。则独立。则【例【例3】 ： 已知当水准仪距标尺已知当水准仪距标尺75m75m时，一次读数中误差时，一次读数中误差为为 （包括照准误差、气泡置中误差及水（包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测试求普通水准测量观测n n站所得高差闭合差的容许误站所得高差闭合差的容许误差。差。2.2.和差函数和差函数鼎腔键二馅诽蛤哈吨浸孵面掇牙笆均溶卷槛秩糖候硼谭吴躲翁禄丘缔碉卓误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【解解】：水准测量每一站高差：水准测量每一站高差：则每站高差中误差则每站高差中误差观测观测n n站所得总高差站所得总高差则则n n站总高差站总高差h h的总误差的总误差若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为狗炎萌烁撒洪哨妇肇凭晦动订雇辖霍厉燃篆土镑绸枫甥身逃亨藏翅狼反戮误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例例4】 ：DJ6型光学经纬仪观测角度型光学经纬仪观测角度，瞄准误差为，瞄准误差为m瞄瞄，读，读数误差为数误差为m读读，求，求(1)观测一个方向的中误差观测一个方向的中误差m方方；(2)半测回的半测回的测角中误差测角中误差 m半半(3)两个半测回较差的容许值两个半测回较差的容许值容容； (1)观测一个方向的中误差观测一个方向的中误差m方方 观测一个方向包含瞄准误差m瞄与读数误差 m读， (2)半测回的测角中误差半测回的测角中误差 m半半 (3)两个半测回较差的容许值两个半测回较差的容许值容容 容容=312=36 考虑到其他因素，测回法规定两个半测回较差的容许值 容=40扰姐昨茧业幻平炙粱妖氰如遥妇塘鹅麻轨绝咒镊甩库伴厅瞩就恬钨邀烃承误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 （2）当和差函数为）当和差函数为 y=x1x2xn 设设x1、x2、xn的中误差分别为的中误差分别为m1、m2、mn时，则时，则 即函数即函数y的中误差的平方等于各观测值的中误差的平方等于各观测值xi中误差的平方和。中误差的平方和。当当x1、x2、xn为等精度观测值时，则为等精度观测值时，则 m1= m2 =m3= mn=m此时上式改变为此时上式改变为照担稍令迅绅呐破眨半挽隆啸喳狂箕姓峰娄谗昧偿跃诽爬童凸萎喘棺赏笼误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量线性函数线性函数 y=K1x1+K2x2+.+Knxn3.3.线性函数线性函数即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方和。平方和。 【例【例5】 对某量等精度观测对某量等精度观测n次，观测值为次，观测值为l1、l2ln，设已知各观，设已知各观测值的中误差测值的中误差m1=m2= mn=m，求等精度观测值算术平均值，求等精度观测值算术平均值x及及其中误差其中误差mx。 【解】等精度观测值算术平均值【解】等精度观测值算术平均值x 蚕噪帛逞极绵痴景笆晴抗窿迸辫场靶驯棒隙陶邮枪抓洗灌止揽措馋袜蠢辆误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 上式表明，上式表明，算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了n n倍，即倍，即算术平均值的精度比观测值精度提高算术平均值的精度比观测值精度提高n n倍。测量工作中进行多余观倍。测量工作中进行多余观测，取多次观测值的平均值作为最后的结果，就是这个道理。但是，测，取多次观测值的平均值作为最后的结果，就是这个道理。但是，当当n n增加到一定程度后增加到一定程度后( (例如例如n=6) n=6) ，M M值的减小的速度变得十分很慢，值的减小的速度变得十分很慢，所以为了达到提高观测成果精度的目的，不能单靠无限制地增加观所以为了达到提高观测成果精度的目的，不能单靠无限制地增加观测次数，应综合采用提高仪器精度等级、选用合理的的观测方法及测次数，应综合采用提高仪器精度等级、选用合理的的观测方法及适当增加观测次数等措施，才是正确的途径。适当增加观测次数等措施，才是正确的途径。上式可改写为上式可改写为算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值x x的中误差的中误差的中误差的中误差m m m mx x x x周丙革镇转慌糖次沂坤诞涸悉衫淹虎垣澈旱恒礼奋帜菱辨檀财翌啃栋纲毙误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例例6 6】经纬仪一测回测角中误差为】经纬仪一测回测角中误差为m=9，求，求5测回平均值测回平均值中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于3.5，问至，问至少要测几个测回？少要测几个测回？按公式：按公式：上式作一些变换得：上式作一些变换得： n=7测回测回鸦秘碱皋枫珊周侨区哗围中汉娱波庙羞嗅玉看摩懊呜益早坪基舞烬渐账泉误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量一般函数一般函数4.4.一般函数一般函数【例例7 7】 测得两点地面斜距测得两点地面斜距L=225.850.06m，地面的倾斜角，地面的倾斜角= 17301，求两点间的高差，求两点间的高差h及其中误差及其中误差mh 。 除仰莆筷踏淫时剥阮徘辩葱贝恤盲劣昂丁蛤淑急琶卤呆隅步孝毫涌伊氏秽误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【解】根据题意可写出计算高差根据题意可写出计算高差h公式为公式为 h=Lsin因为因为 所以上式变为所以上式变为 将上式微分转为中误差，上式可写成将上式微分转为中误差，上式可写成强掌啊湘蛾打告豺厨租篆威绊掉敖稠域苇逛吁挚担云诞糊烘恼颂蛆砍阴万误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 现举现举2实例说明解题步骤：实例说明解题步骤：例例1：量得圆半径：量得圆半径R=31.3mm，其中误差其中误差mR=0.3mm, 求圆面积求圆面积 的中的中误差。误差。例例2：某房屋：某房屋, 长边量得结果长边量得结果: 800.02m, 短边量得结果短边量得结果: 40 0.01m 求房屋面积中误差。求房屋面积中误差。误差传播定律应用总结误差传播定律应用总结误差传播定律应用总结误差传播定律应用总结第一步第一步：列出数学方程。：列出数学方程。 例例1：S=R2 例例2： S=ab第二步第二步：将方程进行微分，例：将方程进行微分，例2有有2个变量则须全微分。个变量则须全微分。 例例1： dS=2R dR 例例2： dS= a db + b da第三步第三步：将微分转为中误差。：将微分转为中误差。 例例1： mS= 2 R mR=2 3.1416 31.3 0.3=59mm 例例2：投楷槐刮琼拂响仆挎薯急惋身兄矿酝睛运霄门获臃苛摔昏边榨终弥梦巨粹误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 一、一、未知量的最或然值未知量的最或然值 对某个未知量进行对某个未知量进行n次等精度的观测，其观测值分别为次等精度的观测，其观测值分别为l1、l2、l3ln n，将将这些观测值取算术平均值这些观测值取算术平均值x作该未知量的最可靠值，称为最或然值（或称最或是作该未知量的最可靠值，称为最或然值（或称最或是值），即值），即 设某量的真值为设某量的真值为X，观测值分别为观测值分别为l1、l2、l3ln n，其相应的真差为，其相应的真差为1 1，2 2 ，3 3，n n，则则 1 1= = l1-X 2 2= = l2-X n n= = ln-X 6-5 6-5 等精度观测值的平差等精度观测值的平差淤斡韩却痞罚渣山滔饶马十摆除赖沙陕瑶翼菠蚊杖吓予风到溯楔哲呸臂狭误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量将上式取和再除以观测次数将上式取和再除以观测次数n n便得便得式中式中x为算术平均值，显然为算术平均值，显然 根据偶然误差第根据偶然误差第4个特点，当个特点，当n n 时，时，因此因此即当观测次数即当观测次数n n无限多时，算术平均值无限多时，算术平均值x就趋向于未知量的真值就趋向于未知量的真值X。当观测次数有。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，以它作为未知量的最后结果。值，称为最或是值或最或然值，以它作为未知量的最后结果。痢空缔刘勒醛腋节叹修忱摹畦卜喝爱瀑诅袄梢挤椰便糕圾珍挟憨门琢遣取误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量二、观测值中误差二、观测值中误差 当真值巳知时，真差当真值巳知时，真差可求得，则等精度观测值中误可求得，则等精度观测值中误差差m为：为： 通常未知量的真值无法求得，真误差通常未知量的真值无法求得，真误差 也是未知数，也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，可利用各观故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，可利用各观测值的似真误差测值的似真误差vi来计算观测值的中误差。来计算观测值的中误差。观测值中误差：观测值中误差：li为观测值为观测值x为观测值的算术平均值为观测值的算术平均值思卓主让博芜扳操塔龋擦伎毒沤洁抱呛桔漓堵爵巳悉迈译捏汇新综掇烤蹦误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例例8 8】设对某角进行了设对某角进行了5 5次同精度观测，观测结果如下表，次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或试求其观测值的中误差，及最或然然值的中误差。值的中误差。观观 测值测值+30+1-3-190191观测值中误差观测值中误差最或然值中误差为最或然值中误差为铺藕赫扰嘶斤屡竹泼至没缴锦慧焦窄闰浦辐龄皆币猩瑟喇卸够幕旦章狐鄙误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量等精度双观测值的较差计算中误差等精度双观测值的较差计算中误差等精度双观测值的较差计算中误差等精度双观测值的较差计算中误差在边长观测中，一般采用往返观测，因此出现等精度双观测列，例如相应双观测列之差：，如果观测是绝对正确的，那么每个差d都等于0，即d的真值为0。因此，d1、d2、dn可以认为是各差的真误差。按真差求中误差公式得 根据误差传播定律可知，两等精度观测值之差d的中误差为一个观测值中误差m的倍，故 湾蛋先咽刀法鞠呸段财搐摄蠕宰珐指绅浴磨壁帅喉磅哈远次箱柒成浓母害误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例【例9 9】6 6条条边长边长往返往返观测观测成果列于下表，求成果列于下表，求边长观测值边长观测值的中的中误误差差为为多少？多少？238dd-24d 00134.09134.09616-4136.62136.585100-10132.69132.59416 +4134.73134.77325-5135.26135.21281-9132.54132.451ddd (cm)返测l” (m)往测l (m)边序号 边长观测值边长观测值的中的中误误差差m : : 表表5-3 边长观测值的中误差计算表边长观测值的中误差计算表葫裂怯惮绿胎项虽明塌治馒欢渊铭瓷谐浓落烂楚笨靶院皖亲墙酬滦嘎搔认误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量6-6 不等精度观测值的平差不等精度观测值的平差 在对某量进行不等精度观测时，各观测结果的中误差在对某量进行不等精度观测时，各观测结果的中误差不同。不同。在不等精度观测中，因各观测的条件不同，所以各在不等精度观测中，因各观测的条件不同，所以各观测值具有不同的可靠程度。观测值具有不同的可靠程度。各不等精度观测值的不同可各不等精度观测值的不同可靠程度，可用一个数值来表示，该数值称为权，用靠程度，可用一个数值来表示，该数值称为权，用P P表示。表示。“权权”是权衡轻重的意思。观测值的精度高，可靠性也强，是权衡轻重的意思。观测值的精度高，可靠性也强，则权也大。则权也大。一、权的概念一、权的概念 设第一组观测了设第一组观测了4次，观测值为次，观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了第二组观测了2次，观测值为次，观测值为l1、l2。这些观测值的可靠程度度相同，则每组分别。这些观测值的可靠程度度相同，则每组分别取算术平均值作为最后观测值。即取算术平均值作为最后观测值。即瑚台缝寞嫂沤洋匈猖吹扇构捷靡矩糙铆镭洗暇顺只衷壹痢卯撅娠仕陀键悉误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量 两组观测合并，相当于等精度观测6次，故两组观测值的最后结果应为但对x1、x2来说，彼此是不等精度观测。如果用x1、x2来计算，则上式计算实际是 从不等精度观点来看，观测值x1是4次观测值的平均值，x2是2次观测值的平均值，x1和x2的可靠性是不一样的，用4、2表示x1和x2相应的权，也可用用2、1表示x1和x2相应的权，分别代入上面公式，计算x结果是相同的。因此“权”可看作是一组比例数字，用比例数值大小来表示观测值的可靠程度。胶棺慧硅木尹庐躁驾竭疽倚撮塞摩亭居皱豪转秋补莲伎巧炳铁殿梨卵盎菏误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量设一组不同精度观测值为设一组不同精度观测值为li ，相应的中误差为，相应的中误差为mi ，中误差愈小，可靠度愈大，即权愈大，故定义权为中误差愈小，可靠度愈大，即权愈大，故定义权为 ：二、二、 权与中误差的关系权与中误差的关系式中式中m为任意常数，式中看出权与中误差的平方成反比。为任意常数，式中看出权与中误差的平方成反比。 例如，不等精度观测值例如，不等精度观测值l1、l2、l3，其相应的中误差为，其相应的中误差为m1=2、m2=4、m3=6，按上式计算各观测值的权，按上式计算各观测值的权为：为：摈嗅玫旭鸽派咙混媳陈出狠谜岳酶揍励工桶卸奋照即库而彤邮窄时拂嘉窥误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量当 时： 当时当时 由此可见，权是一组比例数字，由此可见，权是一组比例数字，值确定后，各观测值的值确定后，各观测值的权就确定。权就确定。 值不同，各观测值的权数值也不同，但权之间的值不同，各观测值的权数值也不同，但权之间的比例关系不变。比例关系不变。 等于等于1的权称为的权称为单位权单位权，而权等于，而权等于1的观测值称为的观测值称为单位权观单位权观测值测值，单位观测值的中误差称为，单位观测值的中误差称为单位权中误差单位权中误差， 上例中时，上例中时，p1=1，即，即l1为单位权观测值，为单位权观测值，l1的中误差的中误差m1称为单位权中误差。称为单位权中误差。上例知：上例知：m1=2、m2=4、m3=6受铆聪画枷鸣娇曾彭窑暴猴疲罗降抠牲燕挣捂擒牛努饱喳傈督献窟签拜烯误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例【例1010】设对某一未知量进行n次等精度的观测，求算术平均值的权。【解】【解】设一侧回角度观测值的中误差为m。则算术平均值中误差为 n测回观测算术平均值的权：由上例可知，取一测回观测值的权为1，则n测回算术平均值的权为n。可见角度观测值的权与其测回数成正比。则一测回观测值的权p，设则：穷洒冻凝史骋沦病粱咖板既刊加姨辰栖售钠杜驭酵亿绢送叉硬礼某泞狱床误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量三、不等精度观测值的最或然值三、不等精度观测值的最或然值- 加权平均值加权平均值 设对某量进行了设对某量进行了n n次不同精度观测，观测值为次不同精度观测，观测值为l1 1、l2 2 ln n，其相应的权为，其相应的权为p p1 1、p p2 2 p pn n ，测量上取加权平均值，测量上取加权平均值为该量的最或然值为该量的最或然值x，即，即响毙凸曹抉短肘郊兜吩鸟邀撰空瞩遭糊涡遏尊要悉和尔氧通碱六拽内友侍误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量四、四、 不等精度观测值的精度评定不等精度观测值的精度评定3.加权平均值的中误差加权平均值的中误差 1. 1.单位权观测中误差单位权观测中误差2.观测值中误差观测值中误差胀庚疹椿够糖搽搜秩台讹可彭弄久袄量措罕埃翁癣丹也傀仕胸缉查连唬泽误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【例【例11】为求得P点高程，从已知三个水准点A、B、C向P点进行水准测量如图5-2。已知Ha= 50.148m，Hb= 54.032m，Hc= 49.895m，A至P的高差hap= +1.535m，B至P的高差hbp= -2.332m，C至 P的高差hcp= +1.780m，路线长度 Lap= 2.4km，Lbp= 3.5km，Lcp =2.0km， 求P点的高程最或然值及其中误差。惦诸丈盲怠蝶筐抨舷遗柯滥疙淳赢您寨建视痈郑若碧逻社概村详恐全疾洱误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量【解解】 表表5-4 5-4 高程最或然高程最或然值值及其中及其中误误差差计计算表算表114.0400.021.20351.683737.845-4.350-8.7 0.500 2.0 51.675 C-P 75.991+4.662-16.3 0.286 3.5 51.700B-P 0.204 -0.292 -0.70.4172.4 51.683 A-PPvvPvv (mm)权 PA=1/LA路线长度 LA(km)高程值 (m)测段 单位权观测值中误差为: P点高程最或然值中误差mx为： 贸胺耐锤勤烂涡芥咎尸袁训菊拴躁贞役筐露栋牲闲忌斌贵勿膜材眷御希巾误差理论的基本知识误差理论的基本知识实用工程测量实用工程测量