核心素养下的教材解读北京市顺义区杨镇中心小学 金千千1 + + 读懂学生读懂学生 + 设计教学设计教学准确把握教学内容核心准确把握教学内容核心生活经验生活经验知识基础知识基础认知规律认知规律教学方式教学方式教学流程教学流程“教什么教什么”教学内容浮于表面教学内容浮于表面不能准确把握教学的重点难点不能准确把握教学的重点难点不能积极地调动学生的思维过程不能积极地调动学生的思维过程读懂教材读懂教材678一、深入研读课程标准 了解教材的编排依据二、统观教学内容整体把握教材结构三、挖掘教材中蕴含的数学思想方法9一、深入研读课程标准 了解教材的编排依据1210个“核心概念”数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 理解核心概念把握课程标准内涵13了解“数感”的丰富含义课程标准中对“数感”是这样描述的：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”14对“数与数量”的感悟一个一个物体与其代表数量一一对应起来一个一个物体与其代表数量一一对应起来后一个数比前一个数多一后一个数比前一个数多一数数的顺序不会改变物体数量的多少数数的顺序不会改变物体数量的多少数数中的最后一个数不仅表示第几个，还数数中的最后一个数不仅表示第几个，还表示这组物体的总数表示这组物体的总数这种由少到多，由序数到基数的大量体验，使学生慢慢感悟到：物体少所对应的数就小，物体越多所对应的数就越大，进而在大脑中形成数的大小与物体的多少之间的对应关系，体会到数的大小、多少的实际意义。对应关系的形成，促使学生形成了对“数与量”的感悟，加深了学生对数的理解，从而使学生的数感得到进一步的发展。15对“数与数量”的感悟 1000、 79、 167学生对数的这种学生对数的这种大、小的感觉大、小的感觉就是就是“数感数感”。较小的数较小的数中间数中间数特别大的数特别大的数7979比比167167小一些小一些，却比，却比10001000小的多小的多16对“数与数量”的感悟学生对数量多少的感觉也是数感，由对数的感悟到对数量的感悟，是学生“数感”逐渐提升的过程。17对“数量关系”的感悟随着学生对数的认识不断提高，“数感”也会逐渐增强，他们开始能够结合具体情境，运用数量进行推理。学生在头脑中对这些数量及相互关系能够做出反应，并形成正确的判断。学生在头脑中对这些数量及相互关系能够做出反应，并形成正确的判断。这种这种对数量关系的判断对数量关系的判断也是也是“数感数感”。有关系有关系有关系有关系一份一份一份一份几份几份几份几份一共多少千克？一共多少千克？一共多少千克？一共多少千克？18对“运算结果估计”的感悟课程标准在数与代数部分特别提到估计及估算的要求：“能结合具体的情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上画图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（二学段）其实估算的过程是培养学生良好数感的过程。19对“运算结果估计”的感悟20对于运算结果的估计涉及的因素很多，如有对参与运算对于运算结果的估计涉及的因素很多，如有对参与运算“数数”与与“量量”意义及意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、多角度对运算方式的把握、对具体情关系的理解、对运算方法的选择与判断、多角度对运算方式的把握、对具体情境的数量化的处理等。境的数量化的处理等。所以，对所以，对运算结果的估计运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的反映的是学生对数学对象更为综合的“数感数感”。21每个足球78元，买2个足球，请你估计150元够吗？请估算“388+120”“388+110”的和是多少一班学生238人，二班学生158个，399个座位够吗？22案例：吴老师的“快乐估算”为什么吴老师能将“尴尬的估算”变为“快乐的估算”？23师：关于估算，在学习过程中你碰到过什么困难，或者你还有什么问题想问吴老师呢？生：为什么要估算呢？生：估算可以有什么方法，如果可以有方法的话，能把它们分类吗？24师：大家提了这么多、这么好的问题，曾经有一个学生像吴老师提过这样的问题：吴老师在什么情况下我们就要估一估？在什么情况下，我们就可以精确计算呢？同学们你们遇到过这样的问题吗？今天我们就带着这些问题一起来研究。真正的思维基于真正的思维基于“问题问题”25探究多种估算方法：探究多种估算方法：“估算估算”的大教育价值观的大教育价值观曹冲称象，并出示6次称得的数据： 328、346、307、377、398、352提出问题：你能估计一下这头大象有多重吗？巡视不同的答案鼓励学生写到黑板上。26第一个算式：第一个算式：300X6=1800（学生把每次石头的重量看成300千克）师：明明每次称得结果都是三百多，这位同学却把这6个数看成比它们小的300，这种往小里估的方法，你们给起个名字吧。生：小估。（师用红色粉笔在这个算式旁边标注小估小估）27第二个算式：第二个算式：400X6=2400（往大了估，把它们都看成400，一共有6个，就是400X6）师：他是往大了估，也可以。（未等教师说完，学生喊出：大估大估）（师标记大估）28第三个算式：第三个算式：300+300+300+400+400+400=2100师：我们来看这是谁估的？人家要么大估，要么小估，你又大又小，什么意思？生：大小估大小估（师标注大小估）29第四个算式：第四个算式：330+350+300+380+400+350=2110生：把这些数全部看成高它最近的一个整十数最近的一个整十数，然后再加起来。师：为什么把328看作330，而不看作320，把352看作350，而不看做360呢？生：328的个位上是的个位上是8，就往前升一个。，就往前升一个。352个位是个位是2我就不要了。我就不要了。师：如果遇到个位上是6呢？7、8、9呢？众生：往上升。师：如果是0.1.2.3.4呢？众生：往下降。师：如果是5呢？众生：都可以。师：在刚才估算的时候，其实同学们运用了一个很好的方法，你们知道是什么吗？生：四舍五入估四舍五入估。30第五个算式：第五个算式：300X7生：表面上看有6个数，但是我又把每个数取走300后，剩余的数凑在了一起，像28,46,77.凑合凑合又是一个300，这样大约是7个300了。师：你为什么这样估？生：我想它一定比我想它一定比6个个300更接近准确值吧。更接近准确值吧。（教师带头鼓起掌来）师：把多余的数凑在一起，差不多又是1个300了，再乘以7.在估算的过程中，你又凑一凑调一调，这个估法叫什么呢？生：凑估。师：凑估有道理，在凑的过程中还有了一些调整。生：调估。师：也有道理！这一凑一条就使估思维结果更接近准确值啦！看来这个与众这一凑一条就使估思维结果更接近准确值啦！看来这个与众不同的方法还很重要啊！不同的方法还很重要啊！（凑调估凑调估三个字跃然写在黑板上。教师还用红色粉笔在该算式旁边画了个*）31大教育价值观大教育价值观学习数学多有趣啊学习数学多有趣啊!学习数学一点都不难学习数学一点都不难!你们自己在创造数学！你们自己在创造数学！32“二次二次”反思：反思：生：我估的是1800，但是我觉得我估的太少了，那些数当中有一个数是398，我把它估称300了，与实际结果差的就远些了。我要是估称400就更好了！师：你很善于思考，其实你估的已经可以了，但是你还能在与他你还能在与他人的比较重发现问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。人的比较重发现问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。33教材中设计了很多通过实物、图片将数与物对应起来认数，结合具体实物进行估一估数一数，感受一个数量在实际生活中有多大等活动，以及结合问题进行估算，合理选择估算的方法，通过图形理解，认识数量关系等内容，这些都是培养学生数感的具体途径。教学中，一定要充分利用这些素材，有效落实对学生数感的培养。35体会“符号意识”的抽象概括课程标准中这样描述：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”36运用符号表示数、数量关系和变化规律每一个数学符号的形成，都是对一类事物共同特点的抽象概括，是反映事物共同属性的思维形式。“”，大口朝大数，尖尖朝小数因为左右两边相等，所以平衡了，用“=”如果近似相等，那么就出现了接近平衡形式的可见每一个数学符号都是针对具体事物进行高度抽象概括的一种表示方式。因此，学生在数学学习过程中，无时无刻不与符号打交道。37运用符号表示数、数量关系和变化规律爸爸比小红大30岁，爸爸（ ）岁。此时的a具有抽象性、概括性以及可操作性，因为它可以表示小红任意一年的年龄。（a a+30+30）38运用符号表示数、数量关系和变化规律运算定律周长面积公式39运用符号表示数、数量关系和变化规律这些对数量关系、运算定律的抽象概括，要求学生用字母公式来表示，就是形成符号意识的过程。这个过程使学生感悟到：对于有规律的事物都可以用符号表示和概括它们的规律。40使用符号可以进行运算和推理运用符号进行运算和推理是课程标准的要求在各个学段学习中，加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，是学生灵活运用符号的进一步发展，也是对学生符号意识的进一步强化。41使用符号可以进行运算和推理42符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式数学的表达方式实质上就是以数学符号为元素来表达事物之间的内在联系，是学生在理解具体问题时必须采用的方式。已知大圆的面积是已知大圆的面积是A A，小圆的面积是，小圆的面积是B B，求两个阴影部分面积的面积差是多少？，求两个阴影部分面积的面积差是多少？43符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式学生符号意识的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。教学中我们可以通过具体的情境帮助学生理解符号的意义，可以在解决问题的过程中学习使用符号思考，通过多种方式强化和发展学生的符号意识。44明确“空间观念”的具体表现课标指出：“空间观念主要是指依据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和互相之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等”。45根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体有研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径，如学生能够通过生活中具体实物与数学当中的图形进行有效的对接，能够从物体中抽取几何图形的本质特征，抽象成立体图形，这个过程就属于三维图形和二维图形的相互转换。46根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体能够成功由实物抽象出几何图形是具有空间观念的一种表现。实物实物 几何图形几何图形47根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体学生能够通过几何图形想象出所描述的实际物体，这是由视图到几何体或实物的转化过程，这也是具有空间观念的表现。几何图形几何图形 实物实物48根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体通过这样从实物抽象出几何图形，再从几何图形想象通过这样从实物抽象出几何图形，再从几何图形想象出实物的反复转换，使学生对物体和图形的出实物的反复转换，使学生对物体和图形的“形状形状”把把握更加清晰、准确。握更加清晰、准确。49根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体 小学生在学习和理解几何知识并形成空间观念时，会受到许多的心里因素制约，极容易出现受非本质特征的影响，忽略对本质特征的把握。 因此，我们在教学几何知识时，首先要从具体事物的感知出发，在学生获得清晰深刻的表象后，在渐渐抽象出几何形体的特征，通过实际画图、图形辨析等活动，帮助学生对图形建立正确表象，从而形成空间观念。50想象出物体的方位和互相之间的位置关系 空间与人类的生存和居住紧密相关，了解、探索和把握空间，准确地判断物体的位置及物体之间的互相位置关系，能够使孩子更好的生存、活动和成长。 学生对于方位的感知和图形之间位置关系的把握，是空间观念初步形成的一个重要表现。51想象出物体的方位和互相之间的位置关系 学生利用了学生利用了方位知识和物体间的方位知识和物体间的位置关系进行想象位置关系进行想象，并经过观察、推，并经过观察、推理操作，这就培养了学生的空间观念。理操作，这就培养了学生的空间观念。52描述图形的运动和变化 所谓图形的运动，既有形式上的运动，如平移、旋转、缩放等，也有方向上的运动，如东南西北、上下左右等。 通过观察、想象再现图形的运动和变化过程，并能用平移、旋转、放大、缩小以及上、下、左、右等空间术语准确描述图形的运动和变化，是学生空间观念深层次的发展。53描述图形的运动和变化二年级下册（对称）四年级下册（轴对称）54描述图形的运动和变化二年级下册（平移）二年级下册（平移）四年级下册（平移）四年级下册（平移）55描述图形的运动和变化二年级下册（旋转）二年级下册（旋转）五年级下册（旋转）五年级下册（旋转）56描述图形的运动和变化 学生在想象这些图案的变换方式时，需要观察、想象并再现图形运动学生在想象这些图案的变换方式时，需要观察、想象并再现图形运动和变化的过程。学生在思考这个问题时，需要想象图形的运动方式和运动和变化的过程。学生在思考这个问题时，需要想象图形的运动方式和运动过程。他们需要将这些静止的图形按照一定的运动方式动起来。学生过程。他们需要将这些静止的图形按照一定的运动方式动起来。学生从静从静止图形中观察到图形的运动方式、运动轨迹和运动特征，并能够用准确、止图形中观察到图形的运动方式、运动轨迹和运动特征，并能够用准确、清晰的数学语言描述出来清晰的数学语言描述出来，这些都是具有空间观念的具体表现。，这些都是具有空间观念的具体表现。57依据语言的描述画出图形 依据语言的描述画出图形就是根据他人的描述构建符合原型的直观想象，并通过阐述和倾听对图形的关系进行逻辑的分析，然后准确地反映出描述的结果。58依据语言的描述画出图形 根据以下条件排列此时这几辆车的前后次序（1）B车在A车前2千米处。（2）C车在D车后10千米的地方。（3）D车在A车前5千米处。AB2千米D5千米10千米C学生根据信息的描述,准确地表示物体的位置关系及相互的距离，这就说明学生能够根据他人的描述构建符合原型的直观想象，具有了依据描述画出图形的空间想象能力。59 教材中增加“图形的运动”和“图形与位置”的学习内容，在图形的认识中增加了“观察物体”“图形拼组”“几何体展开图”的内容，这些内容都是发展学生空间观念的极好素材，研究、思考的过程更是培养学生空间观念的重要途径。 空间观念的形成不像拍照，也不是一朝一夕的事情。要想建立空间观念，一定要遵循学生的认知规律，激活学生的生活经验，引导他们进行有序观察、加强操作感知，放飞他们的丰富想象。60认识“推理”本质，培养推理能力所谓“推理”是由几个已知判断推出一个未知判断的思维过程。推理能力的核心就是对信息进行分析、判断、推测，严密的逻辑推理是数学思维的一大特点。课程标准（2011年版）中指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学的学习过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。”61合情推理合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推理某些结果；合情推理用于探索思路，发现结论。62合情推理三人比赛跑步。小力、小红、小飞分别获得前三名。小红说：“我不是第二名。”小飞说：“小力和小红都比我先到终点。”第一名是（ ），第二名是（ ），第三名是（ ）。小飞第三名小红第一名小力第二名已有信息出发信息之间的联系借经验得答案63合情推理合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论（结论未必都是正确的，还需要演绎推理的证明）。但在数学中，发现结论往往比证明结论更重要，所以培养合情推理能力是培养学生的创新意识的基石。64演绎推理演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。演绎推理用于证明结论。65演绎推理判断（2100+1）能不能被2整除。演绎推理大致分为“三段论”：大前提已知的一般原理小前提所研究的特殊情况结论据一般原理，对特殊情况做出的判断一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除 （2100+1）是奇数 （2100+1）不能被2整除演绎推理是必然性推理，只要推理的演绎推理是必然性推理，只要推理的前提是真的，得到的结论一定真的。前提是真的，得到的结论一定真的。6667合情推理侧重于“猜想”演绎推理侧重于“证明”，两种推理虽然功能不同，但相辅相成，都是解决问题的有效工具！因此，教材中设计了许多“猜想证明”的探究活动，就是让学生亲身经历推理发现结论的过程，从而培养他们的推理能力。68经历“建模”过程，渗透模型思想课程标准（2011年版）中这样指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”69 观察实际情境 发现并提出问题 抽象出数学模型 得到数学结果检验检验 应用拓展不合乎实际不合乎实际修改修改70乘法分配律72一年一度的汇操比赛聘请教师和家长代表作为评委，场地图如下：一共有多少名评委？评委区的总面积是多少？ 观察实际情境 发现并提出问题73要解决这两个问题，你怎么想？把你的思考过程写在学习单上要解决这两个问题，你怎么想？把你的思考过程写在学习单上（6+46+4） 3 3 （8+58+5） 6 6 6X3+4 6X3+4 3 8X6+53 8X6+5 6 6观察每个问题中的两个算式，你有什么想法？观察每个问题中的两个算式，你有什么想法？（6+46+4） 3 = 63 = 6 3+43+4 3 3 （8+58+5） 6 = 86 = 8 6+56+5 6 6观察等号左右两边，你有什么发现？有什么疑问？观察等号左右两边，你有什么发现？有什么疑问？ 抽象出数学模型74像这样的等式是不是都有这样的规律呢？像这样的等式是不是都有这样的规律呢？生活中事例：生活中事例：一个篮球一个篮球6060元，一个足球元，一个足球4545元，各买元，各买3 3个多少元？个多少元？（60+4560+45）X3=60X3+45X3X3=60X3+45X3点子图说明：点子图说明： （9+69+6）X3=9X3+6X3X3=9X3+6X3为什么会有这个规律呢？为什么会有这个规律呢？（9+69+6）X3=9X3+6X3X3=9X3+6X3 15个个3 = 9个个3 + 6个个3 抽象出数学模型75能想办法把我们的发现表示出来吗？能想办法把我们的发现表示出来吗？情境表达：情境表达：（上衣的价钱（上衣的价钱+ +裤子的价钱）裤子的价钱）X X套数套数= =上衣的价钱上衣的价钱X X套数套数+ +裤子的价钱裤子的价钱X X套数套数活动的表达：活动的表达：小括号像房子，括号里是主人，括号外是客人，客人和主人分别握手，应该小括号像房子，括号里是主人，括号外是客人，客人和主人分别握手，应该怎样握？怎样握？符号表达：（符号表达：（ + + ） = = + + 字母表达：（字母表达：（a+ba+b） c=ac=a c+bc+b c c文字表达：两个数的和与第三个数相乘，等于这两个数分别与第三个数相乘，文字表达：两个数的和与第三个数相乘，等于这两个数分别与第三个数相乘，再把所得的积加起来。再把所得的积加起来。 抽象出数学模型76生活领域检验：买衣服用到上衣、裤子和套数的关系吃套餐主食、饮料和套数的关系计算领域检验：12X14 (10+2)X14 几何领域检验： 检验检验 应用拓展77经历“建模”过程，渗透模型思想要使儿童真正对模型思想有所感悟，需要经历一个长期的过程。在这要使儿童真正对模型思想有所感悟，需要经历一个长期的过程。在这个过程中，儿童总是从相对简单到相对复杂，从具体到相对抽象，逐个过程中，儿童总是从相对简单到相对复杂，从具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成模型思想，发展数学思维。步积累经验，掌握建模方法，逐步形成模型思想，发展数学思维。79通过细化核心概念对课程标准的理念与要求有了深刻的认识，了解了课程标准的要求，明白了教材为什么对一些内容进行删改，认识到每个领域核心教学目标是什么，知道了教材中一些活动设计和问题创设的目的，这些发现都有利于准确分析教材的编排意图，合理地制定教学目标。从这个意义上看，掌握核心概念的内涵，就是掌握数学课程内容的核心和聚焦点，就是明确教材编排的依据，为正确地解读教材做好准备。80二、统观教学内容整体把握教材结构81关注“一课”关注“一段”关注“整体”82关注“一课”核心课83通过认识通过认识“代表数代表数”来感悟来感悟“一类数一类数”1个个1个地认识个地认识少量的数少量的数8485教材中的直观模型教材中的直观模型“完全舍弃事物质的内容，而仅仅着眼于它们完全舍弃事物质的内容，而仅仅着眼于它们的量性特征的量性特征” 郑毓信郑毓信86齐性齐性学具学具结构性结构性学具学具抽抽 象象深入理解深入理解深入理解深入理解位值制位值制位值制位值制实现数的实现数的实现数的实现数的抽象抽象抽象抽象感悟感悟感悟感悟十进制十进制十进制十进制87借借“形形” ” 认认“数数”无结构无结构有结构有结构单一结构单一结构多种结构多种结构在在“结构化结构化”中中 发展关键能力发展关键能力88关注“一段”变化89关注“一段”教材中很多领域知识的呈现都是循序渐进、螺旋上升的。在研读教材时我们需要对教材进行整体阅读，理清教材的编排体系，用全局指导课堂教学，做到“既见树木，又见森林”。90关注“一段”统计是数学课程标准规定的四个知识领域之一，它在日常生活、生产和科研中有着很广泛的应用。统计的思想方法数学的一个重要思想方法。91关注“一段”92关注“一段”静态情境向动态情境转变静态情境向动态情境转变 知识衔接点 知识生长点教学简单的数学收集和整理的教学简单的数学收集和整理的方法，并从中优化出方法，并从中优化出“正字法正字法”93关注“一段”教材往往把一些本来很有价值的知识分拆的既碎又细，一点点地“喂”给学生。同一个知识点，在教材中分几次几个年级出现，教师在教学中就要整体去把握，这也就为教师解读教材提出了更高的要求。这个知识在本册本学段应该掌握到什么程度，有哪些铺垫和变化，都需要我们教师心中有数。94案例：关注教材安排，找准知识生长点 比多少实际问题95第一阶段：知道哪两个量在比较，谁多谁少。第二阶段：能根据比较的结果说出表示大小关系的句子，用“谁比谁多”或者“谁比谁少”的句式表述。第三阶段：能够根据直观图比较得出“谁比谁多（少）几”。第四阶段：能正确列式表示出相差的个数。教材安排97具体安排第一阶段 谁多谁少 第二阶段 谁比谁多（少）一年级上册第二单元第一年级上册第二单元第2课比较课比较一年级上册第三单元第一年级上册第三单元第3课大于、小于和等于课大于、小于和等于99第一阶段 谁多谁少 第二阶段 谁比谁多（少） 一年级下册认识一百以内的数一年级下册认识一百以内的数具体安排100第三阶段 看图得出“谁比谁多（少）几”一年级上册第五单元练习练习4 一年级上册总复习问题与思考一年级上册总复习问题与思考1题题具体安排101第四阶段 系统学习“谁比谁多（少）几？ 一年级下册第二单元两位数加、减整十数例三具体安排102一年级的前测分析103考察点：判断谁多谁少前测题1104考察点：表述比较结果 比 （多，少） 比 （多，少）前测题2105考察点：看题得出相差数 访谈前测题三：8-5=3，你能说一说这个算式的意思吗？看图得出谁比谁多（少）几个，是为理解两数相差多少积累感性经验最有效的练习106统计结果如下：识字量影响识字量影响？107师：你能说说8-5=3这个算式的意思吗？生1：不知道，随便写的。师：8、5、3是什么意思呢？生1：方块有8个，三角有5个。生2：方块有8个，三角有5个，3就是多的。生3：方块有8个，三角有5个，减起来就是3个。访谈内容：表面理解表面理解有点感觉有点感觉108访谈内容：追加：你7岁，老师30岁，老师比你大几岁？生1：30-7师：为什么减7？生1：大就减7。生2：老师30岁，我7岁，减去7岁，就是老师比我大的。数比较大，语言描述，不直观数比较大，语言描述，不直观109 以具体形象思维为主的一年级孩子在理解“谁多”“谁少”以及看图得出“谁比谁多（少）几”知识比较容易，运运用用“比多比多”、“比少比少”句式表达比较结果和句式表达比较结果和“列式求相差量列式求相差量”则是他们的则是他们的“困点困点”和和“难点难点”。从前测结果得知：110那么困难的原因在哪呢那么困难的原因在哪呢?已经学过的孩子知识掌握怎么样呢？已经学过的孩子知识掌握怎么样呢？“运算的意义运算的意义”111二年级的后测分析112移出型移出型比较型比较型5-3=2113统计结果如下：114前边三道题算式的意思一样吗？写出你的理由83.8%的同学认为一样的同学认为一样115前边三道题算式的意思一样吗？写出你的理由16.2%的同学不一样的同学不一样116减法的运算意义：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。？从整体拿走一部分，求另一部分，用减法计算。从整体拿走一部分，求另一部分，用减法计算。117 结合两次测试的结果，可以看出没学过此内容的一年级同学对于相差问题列算式是个困难点，而已经学完这个知识点的二年级同学，相差问题的列式情况也不是很好。针对测试的种种现象，都指向了学生对于减法的运算意对于减法的运算意义理解不透彻义理解不透彻。只知道移出要用减法，比较要用减法，为什么用减法为什么用减法都是学生认知的障碍。 所以本节课的重点要让学生理解减法的运算意义减法的运算意义，在此基础上来理解比较原型，从而更好地帮助学生积累减法运算的原型，在理解了运算意义的基础上来解决实际问题。118教学设计：119120？核心活动二：核心活动二：以一一对应的排序方式，设计问题串，从而解决比较型的减法实际问题。121？零零 散散有有 序序运算意义模型运算意义模型122课后作业设计123用8-5想两个不同的减法故事，并把这两个故事画下来。124用8-5想两个不同的减法故事，并把这两个故事画下来。125关注“整体”“点 线 面”126“点”“线”“面”整体建构教学内容 （以图形认识为例）127梳理教材呈现知识点均匀安排观察联系128纵向分析连成知识线线在明确了“图形认识”的每个教学点之后，依据课程标准中的分段目标和教参具体要求，纵向观察“图形认识”中知识点的排列顺序，用心寻找这些知识点之间的内在关系，发现教材是依据学生的认识规律和图形知识的内在关系编排这部分教学内容的。1291.从感性到理性的认识一年级上册 立体图形初认识一年级下册 平面图形初认识二年级上册 角初认识初步认识：初步认识：直观辨认立体图形、平面图形、角，直观辨认立体图形、平面图形、角，知道这些图形的形状和名称知道这些图形的形状和名称1301.从感性到理性的认识五年级下册 立体图形再认识六年级下册 立体图形再认识三年级上册 平面图形再认识四年级上册 平面图形再认识四年级下册 平面图形再认识六年级上册 平面图形再认识四年级上册 角再认识深入认识：认识立体图形、平面图形、角的特征，能够用语言描述图形特征，了解某些图形的分类和特性。131教材之所以这样阶梯式安排教学内容，是因为儿童空间观念的形成，需要经历一个长期反复的积累过程，不可能一次到位。现行人教版教材打破了传统教学中一步到位的呈现方式，分为两次进行学习，但两次学习的要求各不相同，使学生经历一个从感性到理性的认识过程，充分遵循了学生的认知规律，使学生的认知循环往复，螺旋上升。1322.从三维到一维再回三维立体图形平面图形角线（平行、垂直）线角平面图形立体图形整体到局部局部到整体1332.从三维到一维再回三维立体图形平面图形 角 线平面图形立体图形三维一维 角三维134横向观察形成知识网年级年级图形的认识图形的认识图形的测量图形的测量一上一上认识立体、平面图形认识立体、平面图形 一下一下认识长方形、正方形特征认识长方形、正方形特征 二上二上认识线段；角的初步认识认识线段；角的初步认识认识长度认识长度 、测量长度的方法、测量长度的方法二下二下 三上三上认识四边形和平行四边形认识四边形和平行四边形认识长度单位、认识周长、认识长度单位、认识周长、计算长方形和正方形的周长计算长方形和正方形的周长三下三下 认识面积、认识面积单位、认识面积、认识面积单位、计算长方形和正方形的面积计算长方形和正方形的面积四上四上认识射线、直线和用射线定义认识射线、直线和用射线定义角；认识平行于相交；认识平角；认识平行于相交；认识平行四边形和梯形特征行四边形和梯形特征 角的度量角的度量 四下四下认识三角形的特征、特性、分认识三角形的特征、特性、分类类 五上五上多边形的面积多边形的面积 五下五下认识长方体和正方体特征认识长方体和正方体特征认识体积、认识体积单位、认识体积、认识体积单位、计算长方体正方体的表面积和体积计算长方体正方体的表面积和体积六上六上认识圆的特征认识圆的特征计算圆周长和面积计算圆周长和面积六下六下认识圆柱、圆锥的特征认识圆柱、圆锥的特征计算圆柱的表面积和体积计算圆柱的表面积和体积第三部分：第三部分：“度量值度量值”的认识的认识第一部分：第一部分：“图形的可度量属性图形的可度量属性”的认识的认识第二部分：第二部分：“度量单位度量单位”的认识的认识135横向观察形成知识网年级年级图形的认识图形的认识图形的测量图形的测量一上一上认识立体、平面图形认识立体、平面图形 一下一下认识长方形、正方形特征认识长方形、正方形特征 二上二上认识线段；角的初步认识认识线段；角的初步认识认识长度认识长度 、测量长度的方法、测量长度的方法二下二下 三上三上认识四边形和平行四边形认识四边形和平行四边形认识长度单位、认识周长、认识长度单位、认识周长、计算长方形和正方形的周长计算长方形和正方形的周长三下三下 认识面积、认识面积单位、认识面积、认识面积单位、计算长方形和正方形的面积计算长方形和正方形的面积四上四上认识射线、直线和用射线定义认识射线、直线和用射线定义角；认识平行于相交；认识平角；认识平行于相交；认识平行四边形和梯形特征行四边形和梯形特征 角的度量角的度量 四下四下认识三角形的特征、特性、分认识三角形的特征、特性、分类类 五上五上多边形的面积多边形的面积 五下五下认识长方体和正方体特征认识长方体和正方体特征认识体积、认识体积单位、认识体积、认识体积单位、计算长方体正方体的表面积和体积计算长方体正方体的表面积和体积六上六上认识圆的特征认识圆的特征计算圆周长和面积计算圆周长和面积六下六下认识圆柱、圆锥的特征认识圆柱、圆锥的特征计算圆柱的表面积和体积计算圆柱的表面积和体积相互对应136梳理成点纵看成线对比成面 通过整体观察教材的知识结构，发现了知识通过整体观察教材的知识结构，发现了知识“点点”与与“点点”之间的关之间的关系，也看到了系，也看到了“线线”与与“线线”之间的联系，明确了教材编排的内在逻辑体之间的联系，明确了教材编排的内在逻辑体系，为整体把握好教材、准确制定教学目标奠定了坚实的基础。系，为整体把握好教材、准确制定教学目标奠定了坚实的基础。137图形的认识（知识包）图形的认识（知识包）结构图结构图平面图形平面图形（二维）（二维）立体图形立体图形（三维）（三维）点点线线（一维）（一维）138图形的认识（知识包）图形的认识（知识包）结构图结构图平面图形平面图形（二维）（二维）立体图形立体图形（三维）（三维）线线（一维）（一维）运动运动端点数量直线、射线、线段改变方向与旋转角位置关系平行与相交平移、旋转、相似变换139图形的认识（知识包）图形的认识（知识包）结构图结构图平面图形平面图形（二维）（二维）立体图形立体图形（三维）（三维）线线（一维）（一维）运动运动端点数量直线、射线、线段改变方向与旋转角位置关系平行与相交平移、旋转、相似变换直直长方形、平行四边形、三角形、梯形曲曲 圆、环形、扇形长方体、圆柱、圆锥观察观察物体物体数学推理数学推理直观想象直观想象空间观念空间观念组合组合展开展开折叠折叠140分析整体结构中各部分之间的联系与衔接在认识了教材逻辑结构之后，为了使分段教学做到重点突出、前后连贯、设计合理，继续对教材进行了细致阅读，分析“图形的认识”中每个教学内容的教学目标，准确掌握每个内容教学目标的侧重点和增长点，做好教学中的过度与衔接，以真正做到整体把握教学内容。141立体图形的初步认识学生对立体图形第一次认识的重点是对图形学生对立体图形第一次认识的重点是对图形“形形状状”的辨认。儿童对形状的知觉主要是通过视觉、的辨认。儿童对形状的知觉主要是通过视觉、触觉和运动觉等的活动协同来完成的。教材遵循触觉和运动觉等的活动协同来完成的。教材遵循儿童的生活经验，从学生身边熟悉的物体引入，儿童的生活经验，从学生身边熟悉的物体引入，从众多物体的表象中抽出一般的几何图形。从众多物体的表象中抽出一般的几何图形。教材安排了让学生观察、触摸、游戏等活动，目教材安排了让学生观察、触摸、游戏等活动，目的让学生感知立体图形的特征，使之在头脑中逐的让学生感知立体图形的特征，使之在头脑中逐步形成清晰的表象。由于学生是第一次认识几何步形成清晰的表象。由于学生是第一次认识几何形体，所以只要求能够辨认实物的形状，不要求形体，所以只要求能够辨认实物的形状，不要求认识平面上画出立体图形。认识平面上画出立体图形。142平面图形的初步认识 学生初步认识立体图形之后，让学生将积学生初步认识立体图形之后，让学生将积木的面描画在纸上，利用立体图形的某个面引木的面描画在纸上，利用立体图形的某个面引出平面图形，教材的这种呈现方式充分体现了出平面图形，教材的这种呈现方式充分体现了面构成体的关系，遵循了学生从整体到局部，面构成体的关系，遵循了学生从整体到局部，从整体感知到局部认识的认知规律。从整体感知到局部认识的认知规律。 教材对平面图形的认识与立体图形的认识的要教材对平面图形的认识与立体图形的认识的要求是相同的，主要是对图形求是相同的，主要是对图形“形状形状”的认知。学生的认知。学生通过通过分一分、画一画、涂一涂、拼一拼分一分、画一画、涂一涂、拼一拼等活动，使等活动，使学生在具体操作中队平面图形的特征有一些浅显的学生在具体操作中队平面图形的特征有一些浅显的认识。在第一次平面图形的认知中，学生只要能够认识。在第一次平面图形的认知中，学生只要能够直观辨认这些图形的形状，知道图形的名称就可以直观辨认这些图形的形状，知道图形的名称就可以了，不要求学生用准确的数学语言描述特征。了，不要求学生用准确的数学语言描述特征。143角的初步认识 第一次对角的认识，教材出示了剪刀、第一次对角的认识，教材出示了剪刀、钟表、直角三角板等，让学生从这些物品中钟表、直角三角板等，让学生从这些物品中抽取出角（锐角、钝角、直角），依旧遵循抽取出角（锐角、钝角、直角），依旧遵循了从实物中抽象出角和直角的呈现方式。然了从实物中抽象出角和直角的呈现方式。然后直观认识角的各部分名称，知道角是由一后直观认识角的各部分名称，知道角是由一个顶点和两条边组成的。个顶点和两条边组成的。 在初步了解了角的样子后，要求学生举例说明周围在初步了解了角的样子后，要求学生举例说明周围那些地方有角和直角。这个学习过程有利于学生学会从那些地方有角和直角。这个学习过程有利于学生学会从数学的角度观察世界，体会数学知识在生活中的广泛应数学的角度观察世界，体会数学知识在生活中的广泛应用。同时，教材还为学生设计了折角、做角、画角、用用。同时，教材还为学生设计了折角、做角、画角、用三角板比角等数学活动，帮助学生逐步加深对角的感性三角板比角等数学活动，帮助学生逐步加深对角的感性认识，使学生头脑中清晰地形成角表象。由于是角的初认识，使学生头脑中清晰地形成角表象。由于是角的初步认识，学生能够认识什么样图形的是角，知道角的各步认识，学生能够认识什么样图形的是角，知道角的各部分名称和角的种类，学会画角。部分名称和角的种类，学会画角。144线的认识学生在初步感知和认识不封闭的平面图形学生在初步感知和认识不封闭的平面图形“角角”之后，如何用数学化的语言之后，如何用数学化的语言来定义角（包括学过的平面图形），角又是由哪些要素构成的？这一个个疑来定义角（包括学过的平面图形），角又是由哪些要素构成的？这一个个疑问，促使学生的认识不断深入，学生对图形的认识开始从对问，促使学生的认识不断深入，学生对图形的认识开始从对“二维二维”图形的图形的认知转向到对认知转向到对“一维一维”图形的认知，也就是进入了对图形的认知，也就是进入了对“线线”的研究。的研究。145线的认识教材借助生活中的实物，如人行横道的斑马线、教材借助生活中的实物，如人行横道的斑马线、手电筒的光线、无线延伸的铁轨，让学生通过手电筒的光线、无线延伸的铁轨，让学生通过观察直观感知线段、射线和直线，然后从众多观察直观感知线段、射线和直线，然后从众多的实物中抽象出线段、射线和直线的表象，在的实物中抽象出线段、射线和直线的表象，在通过比较、归纳、总结出三者的数学概念。通过比较、归纳、总结出三者的数学概念。146线的认识 教材安排了学生讨论线段、射线、直线教材安排了学生讨论线段、射线、直线的联系和区别，并引导学生在动手从操作发的联系和区别，并引导学生在动手从操作发现现“过一点可以画无数条画射线或直线过一点可以画无数条画射线或直线”，“过两点只能画出一条直线过两点只能画出一条直线”等数学规律，等数学规律，从而全方位、多角度地加深学生对一维图形从而全方位、多角度地加深学生对一维图形的认识。在线的认识中，教学重点在直线和的认识。在线的认识中，教学重点在直线和射线的认识上，关键要让学生搞清楚直线、射线的认识上，关键要让学生搞清楚直线、射线和线段的联系和区别。射线和线段的联系和区别。147角的再认识 教材安排进一步认识了角的组成，再教材安排进一步认识了角的组成，再结合射线的定义，归纳出了结合射线的定义，归纳出了“角角”的数学的数学概念，即概念，即从一点引出两条射线所组成的图从一点引出两条射线所组成的图形叫做角形叫做角。从角的初步认识到角的再认识，。从角的初步认识到角的再认识，学生对角的认识深度有了明显的提升，从学生对角的认识深度有了明显的提升，从直观认识到能用数学化的概念定义角。学直观认识到能用数学化的概念定义角。学生根据一维图形生根据一维图形“线线”的特点推理出二维的特点推理出二维不封闭图形不封闭图形“角角”的特点，这个过程是学的特点，这个过程是学生对图形从一维向二维再向三维回归的转生对图形从一维向二维再向三维回归的转折点。折点。148平面图形的再认识这次对平面图形的再认识，不等同于低年级对平面图形的初步认识，现在的学生经历从二维深入到一维的过程，对线的特点、角的特点有了比较清晰的认识，此次再回归到二维空间，他们的认识已不停留在对平面图形的直观辨认上了，自然会有新的感悟。149平面图形的再认识此时引到学生从数学的角度用线（线的位置关系）和角（角的特点）来刻画二维图形，即学习了平行四边形、三角形、梯形、组合图形的概念，并讨论其分类和面积的计算方法，有助于他们对图形特征的深入认识和把握。本阶段要求学生掌握这些基本平面图形的特征，并通过多种活动逐步形成空间观念。150立体图形的再认识学生在一年级第一次初步认识立体图形时，是从直观的角度能够辨认立体图形的形状，知道立体图形的名称。而第二次学生再认识立体图形时，学生会利用已学的平面图形有关知识，来进一步尝试探究已学的立体图形特点，学会从点、线、面等方面来描述立体图形的特征。151立体图形的再认识学生在一年级第一次初步认识立体图形时，是从直观的角度能够辨认立体图形的形状，知道立体图形的名称。而第二次学生再认识立体图形时，学生会利用已学的平面图形有关知识，来进一步尝试探究已学的立体图形特点，学会从点、线、面等方面来描述立体图形的特征。152立体图形的再认识学生在平面图形的在认识时，已经有了“线”和“角”的特点决定“面”的特征的认识，在学习长方体和正方体的认识、圆柱和圆锥的认识时，学生应体会“面”的特点决定“体”的特征。长方体相对的三组面都是长方形时是普通长方体，有一组面是正方形时是特殊长方体，当三组相对的面都是正方形时是正方体。圆柱上下两个底面是同样大的圆形，圆柱的侧面才具有直直的、光滑的、没有棱的特点，从而了解平面图形与立体图形之间的联系。153立体图形的再认识教学立体图形的认识时，出了要抓住点、线、面、体之间的内在联系，还要让学生多观察、多操作，调动眼、手、脑等多种感官协同作用，才能达到对所学物体的全面认识。例如，教学长方体特征时，让学生对长方体实物或模型进行观察，通过看一看、摸一摸、比一比、想一想等多种感官参与活动，让学生感知长方体上有平平的面，有划手的棱、有尖尖的顶点，从而认识到点、线、面构成了体，使学生对长方体达到更加全面、清晰的认识。154立体图形的再认识教学中要充分重视对图形特征的认识，因为图形特征时面积、体积计算方法的推导依据。长方体的特征决定了它的表面积和体积的计算方法，同样圆柱的特征决定着它的表面积和体积的计算方法。由此我们可以看出任何图形的计算方法都是依据图形的特征得到的。可是在平时的教学中，教师和学生都比较重视计算公式的推导和应用，不重视图形的特征的认识与把握。这不仅不利于学生退特性的计算方法的探索与推导，也不利于学生对图形表象的形成，更不利于学生空间观念的发展。155三、挖掘教材中蕴含的数学思想方法157认识基本的数学思想方法“课标”中所说的“数学的基本思想”主要指：数学抽象的思想 数学推理的思想 数学建模的思想分类的思想集合的思想数形结合的思想“变中有不变”的思想符号表示的思想对称的思想对应的思想有限与无限的思想归纳的思想演绎的思想公理化思想转换化的思想联想类比的思想逐步逼近的思想代换的思想特殊与一般的思想简化的思想量化的思想函数的思想方程的思想优化的思想随机的思想抽样统计的思想158认识基本的数学思想方法上述的数学思想在解决具体问题时，会逐渐形成程序化的操作，于是就构成了“数学方法”。数学的基本方法有：演绎推理方法合情推理方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分情况讨论的方法。下一层次的数学方法有：分析法，综合法，穷举法，反证法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，配方法，列表法，图像法。159认识基本的数学思想方法数学思想是宏观的，它具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者（数学思想）给出了解决问题的方向，后者（数学方法）给出了解决问题的策略。小学数学教育的角度来看，区分数学思想与数学方法没有太大意义，哪个是方法，哪个是思想，对于小学生来说并不重要，重要的是他们应用数学思想方法解决问题的思维意识和过程。因此，教学时我们要紧紧抓住概念的实质内涵，淡化其形式，在数学思想、数学方法不便区分时，我们就统一称之为数学思想方法，如分类思想、转化思想方法等。160小学数学教材中蕴含的基本数学思想方法在小学数学学习内容中，最为常见、最为基础的数学思想有“对应”“分类”“集合”等，它们不仅仅是数学思想，更重要的是人类进行各项活动离不开的思想方法。而在小学数学解决问题的过程中，常见的思想方法有“转化”“模型化”。至于“符号化”“方程思想”以及“函数思想”等数学思想与方法大多体现在数学的代数领域，其“数学味”更浓一些。161一一对应思想对应思想是指在两类事物（集合）之间建立某种联系的思维方法，是数学的基本思想方法之一。对应思想是函数和方程的思想支柱，是许多数学方法的来源。对应思想贯穿在小学数学教材始终，而且更多地体现为“一一对应”，教材通过大量的数与形、量与量、量与率的匹配关系，渗透了一一对应的思想方法。162一一对应思想教材创设了生动、有趣的情境，通过呈现三种事教材创设了生动、有趣的情境，通过呈现三种事物比多少的问题，让学生观察一只小猫对应一只物比多少的问题，让学生观察一只小猫对应一只老鼠，一只海狮对应一个皮球，一只小熊对应一老鼠，一只海狮对应一个皮球，一只小熊对应一根玉米。根玉米。当每只小猫都对应一只老鼠，没有多余或不足时当每只小猫都对应一只老鼠，没有多余或不足时就是就是“同样多同样多”；当少一只海狮跟一个皮球对应时就出现了当少一只海狮跟一个皮球对应时就出现了“多多”“”“少少”的含义，这时可以说的含义，这时可以说“海豚的只数比皮海豚的只数比皮球的个数少球的个数少”或者说或者说“皮球的个数比海狮的只数皮球的个数比海狮的只数多多”让学生在观察中了解让学生在观察中了解“同样多同样多”“”“多多”“”“少少”的含义，在一个对应一个的操作中，逐步体会的含义，在一个对应一个的操作中，逐步体会到这样最基本的比较方法即一一对应。到这样最基本的比较方法即一一对应。一年级 数数 比多少163一一对应思想四年级“积的变化规律”，教材出现了两种情况：一种是第一个因数不变，第二个因数变另一种是第一个因数变，第二个因数不变让学生观察两组算式说说发现了什么？一一对应164一一对应思想六年级六年级“确定位置确定位置”教材通过大量的操作活动，使学生明确根据教材通过大量的操作活动，使学生明确根据方向和距离方向和距离两两个条件（两个数据）能够确定物体的准确位置，如在东偏个条件（两个数据）能够确定物体的准确位置，如在东偏南南3030度这条斜线上，从度这条斜线上，从A A市量出市量出600600千米的地方，那个点就千米的地方，那个点就是台风中心的位置，而且此点的准确位置是唯一的。反之是台风中心的位置，而且此点的准确位置是唯一的。反之，每一个点的准确位置又是可以用方向和距离的这两个量，每一个点的准确位置又是可以用方向和距离的这两个量来描述，此描述也具有唯一性。这说明每个点的准确位置来描述，此描述也具有唯一性。这说明每个点的准确位置与它的方向和距离这两个量是一一对应的关系。与它的方向和距离这两个量是一一对应的关系。165一一对应思想物与物的关系物与物的关系数与式的关系数与式的关系数与点的关系数与点的关系不断增高不断增高 逐步抽象逐步抽象166一一对应思想教学中渗透一一对应思想时，首先要让学生在观察和对比中认识“一一对应”关系。观察是一种有目的、有顺序的知觉过程，学生通过观察有关表面积知识，然后再理解的基础上进行比较，这样能够优化学生“看”和“思”的过程，促使学生理解抽象的、内隐的数学思想。然后，还要启发学生运用“一一对应”思想去解决问题，不仅提高学生发现问题、解决问题的能力，还能使学生领悟、体会数学思想的作用和魅力。167数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数离不开形，形离不开数。数形结合就是根据数量与图形之间的关系，借助形的直观来表达数量关系，运用数来刻画研究形，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑，通过以形助数或以数助形的方式使抽象思维与形象思维结合起来，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到解决问题的目的。168数形结合思想三年级“分数的初步认识”，教材借助图形让学生认识分数的含义、分数的比较大小，以及分数的简单运算学生学习分数的加减法运算时，会受整数加学生学习分数的加减法运算时，会受整数加减法计算方法的影响产生负迁移，分子和分子减法计算方法的影响产生负迁移，分子和分子相加，分母和分母相加。相加，分母和分母相加。教材利用图形直观说明分数加减的道理，教材利用图形直观说明分数加减的道理，8 8份份中的中的2 2份加份加8 8份中的份中的1 1份等于份等于8 8份中的份中的3 3份，所以份，所以2/8+1/8=3/82/8+1/8=3/8，只把分子相加，分母不变。教材，只把分子相加，分母不变。教材利用平面图形帮助理解计算的道理，平面图形利用平面图形帮助理解计算的道理，平面图形相对直观，比较适用于中低年级的教学。相对直观，比较适用于中低年级的教学。169数形结合思想六年级六年级“认识负数认识负数”，学生在认识，学生在认识“负数负数”时，教材为了让学生更好地体会负数与正数之时，教材为了让学生更好地体会负数与正数之间的关系，出示了数轴。教材把数轴上的点和间的关系，出示了数轴。教材把数轴上的点和抽象的正负数对应起来，让学生通过数轴上正抽象的正负数对应起来，让学生通过数轴上正数、负数的排列规律，体会正数、负数是相反数、负数的排列规律，体会正数、负数是相反意义的量。意义的量。同时数轴还能帮助学生比较数的大小，中介同时数轴还能帮助学生比较数的大小，中介正数正数、0 0和负数的大小关系。和负数的大小关系。教材借助教材借助“线线”（数轴）上点的位置和点的（数轴）上点的位置和点的排列顺序，完成了对正数排列顺序，完成了对正数、0 0和负数的整体构建，和负数的整体构建，初步建立数轴的模型，渗透数形结合的思想。初步建立数轴的模型，渗透数形结合的思想。170数形结合思想六年级六年级“解决问题解决问题”，学生在学习用分数乘法意，学生在学习用分数乘法意思和计算解决问题这个内容时，教材运用了大量的思和计算解决问题这个内容时，教材运用了大量的线段图帮助学生理解数量关系。线段图帮助学生理解数量关系。教材为了让学生理解教材为了让学生理解“婴儿每分钟心跳的次数比婴儿每分钟心跳的次数比青少年多青少年多4/5”4/5”这句话的含义，出示了线段图。通过这句话的含义，出示了线段图。通过观察线段图，学生明白了这句话的含义就是婴儿在观察线段图，学生明白了这句话的含义就是婴儿在与青少年同样多的基础上，还多青少年的与青少年同样多的基础上，还多青少年的4/54/5。如果。如果青少年每分钟心跳次数是青少年每分钟心跳次数是“单位单位1”1”，婴儿每分钟心，婴儿每分钟心跳的次数就是青少年的（跳的次数就是青少年的（1+4/51+4/5）。）。教材通过线段图中线的长短以及量与率的对应关教材通过线段图中线的长短以及量与率的对应关系来说明抽象的数量关系。系来说明抽象的数量关系。171数形结合思想通过以上几个例子，我们也可以看出，尽管都是以形助数，但是所用的图形也有直观和抽象的不同差异。立体图形和平面图形表示书和数量关系时相对直观一些，线和角度表示数量关系时就相对抽象一些。小学生的思维是从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的，数形结合时也应该将学生的思维逐步推向抽象思维。172转化思想解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转换的思想方法”。173转化思想转换方法的使用过程中，就是通过事物之间的联系将生疏的、复杂的、无序的、抽象的的问题，最终转化为熟悉的、简单的、整齐的、直观的问题，从而顺利实现问题的解决。转化是解决数学问题的基本方法之一。174转化思想数的运算中，小数乘法、除法转化成整数乘法去运算，分数除法转化成分数乘法去运算，异分母运算转化成同分母运算。几何知识中，面积公式和体积公式的推导都是将新图形转化成已学过的图形进行175转化思想三年级“周长”，教材呈现了测量图形周长时有两种情况：一种是测量直边图形的周长一种是测量曲边图形的周长测量曲边图形（树叶）的周长，教材呈现了是用线绳来测量，学生借助线绳可以弯也可以直的特点，将线绳围出曲边图形的一周，然后拉直后再用直尺测量，这中化曲为直的测量方式，就是转化方式的一种体现。176转化思想转化就是从不同的角度、方式、观点和特征出发，灵活的把问题用不同的形式在不同的水平上转化出来，使得解题的过程变得省时省力。转化方式除以上常用的几种外，还有数与形的转化，空间向平面的转化，未知向已知的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，函数向方程的转化等，这些形式都是转化思想的体现。学生随着数学学习的不断深入会逐渐接触到。177模型思想数学与现实生活紧密相连。随着科学技术的发展，特别是信息技术的发展，通过构造数学模型来解决世界问题的方法，正广泛应用于科学、工程和社会学科的多个领域。因此小学数学课堂也越来越关注模型思想的渗透于建立。178模型思想在众多模型中，“植树问题”是模型思想的一个重要体现。植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的从长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔）和植树的棵树之间的关系就不同。植树问题的模型由现实世界中一类相近事件进行数学化后所得，所以，植树问题在现实中有着广泛的应用。在小学学习中，学生虽还没有学习植树问题，但许多地方就已经应用到了植树问题。179画线段：在学习画线段时，有的学生认为数的是点，实际上画线段，数的是段，也就是我们说的间隔。画一条长5厘米的线段，就是画5个1厘米首尾连接起来；考虑的是把5个1厘米这样的一段合起来。乘法口诀：如8的乘法口诀，一只小狗一次能跳8个格，跳2次是16个格，跳3次是24个格，跳4次是32个格，考虑的也是段与段之间的累加关系。计算天数：同学们要参加夏令营，8月5日出发，8月12日回来，一共去了多少天？可以把这样一道求经历时间的问题转化为求线段中的点一共有多少个？12-5+1=8（天）原生态植树问题180四年级“植树问题”，学生真是学习植树问题，教材结合具体的植树情景，让学生通过画图、操作等活动，总结出两端都植树棵树=间隔数+1；两端都不植树棵树=间隔数-1；一端植树棵树=间隔数。从而清晰地建立棵树（点）、间隔数（段）之间的关系。明确植树问题明确植树问题181敲钟：敲钟时间间隔是段，敲钟时是点。爬楼：每上一层楼梯所需的时间看成段，每个楼层是点。结绳：绳结与绳结之间的距离为段，绳结为点。排队：人与人之间的距离是段，每个人是点。总长度、分隔点、每段长度三者之间的关系总长度、分隔点、每段长度三者之间的关系植树问题回归生活植树问题回归生活182从第一次针对具体的“原生态”的植树现象发问，到进一步明确“植树问题”问题的结构、模型，同时，在帮助学生实现完整的“模型”建构，实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”，其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学，其目的不是教学生死记硬背公式然后去套用，而是立足于学生的长远发展。学生在主动探究中发现其规律，在利用其规律去解决实际问题，这一数学模型构建过程，不仅发展了学生思维能力，更使学生感受数学的神奇与伟大。183只有在教学中真正将渗透数学思想方法落到实处，才会有利于学生只有在教学中真正将渗透数学思想方法落到实处，才会有利于学生理解和掌握数学内容，有利于学生灵活解决问题能力的提高，有利理解和掌握数学内容，有利于学生灵活解决问题能力的提高，有利于小学数学和中学数学的顺利承接。因此，在小学数学教学中积极于小学数学和中学数学的顺利承接。因此，在小学数学教学中积极渗透数学思想方法有着重要和深远的意义。渗透数学思想方法有着重要和深远的意义。184小学数学教学应该给孩子留下些什么小学数学教学应该给孩子留下些什么？毋庸置疑毋庸置疑留下的是留下的是数学的思考方式数学的思考方式、数学的思想方法数学的思想方法，浸润的是对浸润的是对数学学习的热爱数学学习的热爱以及对以及对数学的积极态度数学的积极态度！185