规范答题必考大题突破课(一)导数【热点标签【热点标签】1.1.题型：解答题题型：解答题2.2.分值：分值：1212分分3.3.难度：较难难度：较难 【热点题型【热点题型】题型一题型一: :极值、导数几何意义及单调性的综合问题：以极值、导数几何意义及单调性的综合问题：以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法，以及参数的取值范围调性、极值、最值问题的求法，以及参数的取值范围问题问题. .题型二题型二: :利用导数研究不等式的综合问题：不等式的证利用导数研究不等式的综合问题：不等式的证明问题是高考考查的热点内容，常与绝对值不等式、明问题是高考考查的热点内容，常与绝对值不等式、二次函数等相联系二次函数等相联系. .问题的解决通常采用构造新函数的问题的解决通常采用构造新函数的方法方法. .题型一题型一 极值、导数几何意义及单调性的综合问题极值、导数几何意义及单调性的综合问题【真题示例【真题示例】(12(12分分)(2015)(2015重庆高考重庆高考) )设函数设函数f(xf(x)=)=(1)(1)若若f(xf(x) )在在x=0x=0处取得极值，确定处取得极值，确定a a的值，并求此时的值，并求此时曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)若若f(xf(x) )在在3,+)3,+)上为减函数，求上为减函数，求a a的取值范围的取值范围. .【信息解读【信息解读】(1) (1) 看到看到 f(xf(x) )在在x=0x=0处取得极值，想到处取得极值，想到f(0)=0.f(0)=0.(2) (2) 看到看到 若若f(xf(x) )在在3 3，+)+)上为减函数，想到上为减函数，想到 利用利用导数分析函数的单调性导数分析函数的单调性. .【标准答案【标准答案】(1)(1)对对f(xf(x) )求导得求导得f(xf(x) )2 2分分 得分点得分点因为因为f(xf(x) )在在x=0x=0处取得极值，所以处取得极值，所以f(0)=0f(0)=0，即，即a=0.a=0.1 1分分 得分点得分点当当a=0a=0时，时，故故 1 1分分 得分点得分点所以所以y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为化简得化简得3x-ey=0. 3x-ey=0. 2 2分分 得分点得分点(2)(2)由由(1)(1)知知f(xf(x)=)=令令g(xg(x)=-3x)=-3x2 2+(6-a)x+a,+(6-a)x+a,由由g(xg(x)=0)=0解得解得x x2 2= = 2 2分分 得分点得分点当当xxxx1 1时，时，g(xg(x)0,)0,即即f(xf(x)0)0，故，故f(xf(x) )为减函数；为减函数；当当x x1 1xxx0,)0,即即f(xf(x)0)0，故，故f(xf(x) )为增函为增函数；数；2 2分分 得分点得分点当当xxxx2 2时，时，g(xg(x)0,)0,即即f(xf(x)0)0，故，故f(xf(x) )为减函数；为减函数；由由f(xf(x) )在在3,+)3,+)上为减函数，上为减函数，知知 解得解得故故a a的取值范围为的取值范围为 2 2分分 得分点得分点【得分细则【得分细则答题规则答题规则】第第(1)(1)问踩点说明问踩点说明( (针对得分点针对得分点):):正确求出函数的导数可得正确求出函数的导数可得2 2分分. .写出写出f(0)=0f(0)=0得出得出a a的值的值, ,可得可得1 1分分. .求出求出f(1)f(1)及及f(1)f(1)可得可得1 1分分; ;得分点有两处得分点有两处: :一是写出切线方程可得一是写出切线方程可得1 1分分, ,二是将切二是将切线方程化简成一般形式再得线方程化简成一般形式再得1 1分分. .第第(2)(2)问踩点说明问踩点说明( (针对得分点针对得分点):):xx1 1,x,x2 2的值每求出的值每求出1 1个得个得1 1分分. .得分点有两处得分点有两处: :一是写出一是写出xxxx1 1时时,f(x,f(x) )为减函数可得为减函数可得1 1分分; ;二是正确得出二是正确得出x x1 1xxxx2 2时时,f(x,f(x) )为增函数再得为增函数再得1 1分分. .得分点有两处：一是正确写出得分点有两处：一是正确写出 得得1 1分，二是正确求出分，二是正确求出a a的值再得的值再得1 1分分. .答题规则答题规则1:1:解题过程计算准确解题过程计算准确, ,得步骤分得步骤分解题时解题时, ,应注意解答过程计算准确是得满分的根本保证应注意解答过程计算准确是得满分的根本保证, ,如本题第如本题第(1)(1)问中求导过程问中求导过程, ,计算正确得计算正确得2 2分分, ,否则不得否则不得分分; ;第第(2)(2)问中问中 求解错误不得分求解错误不得分, ,没有没有过程分过程分. .答题规则答题规则2:2:抓住解题的关键点抓住解题的关键点, ,得关键分得关键分解题时解题时, ,要抓住得分关键点要抓住得分关键点, ,有则得分有则得分, ,无则不得分无则不得分. .如如本题第本题第(2)(2)问问, ,求出求出g(xg(x)=0)=0的两个根后要分情况讨论函的两个根后要分情况讨论函数的增减性数的增减性, ,有就得有就得2 2分分, ,没有不得分没有不得分. .【跟踪训练【跟踪训练】(2015(2015山东高考山东高考) )设函数设函数f(xf(x)=)=(x+a)ln x,g(x(x+a)ln x,g(x)= )= 已知曲线已知曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与直线处的切线与直线2x-y=02x-y=0平行平行. .(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)是否存在自然数是否存在自然数k k，使得方程，使得方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )在在(k,k+1)(k,k+1)内存在唯一的根？如果存在，求出内存在唯一的根？如果存在，求出k k；如果不存在，请；如果不存在，请说明理由说明理由. .(3)(3)设函数设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,qm(x)=minf(x),g(x)(minp,q 表示表示p,qp,q中中的较小值的较小值) )，求，求m(xm(x) )的最大值的最大值. .【解析【解析】(1)f(x)= (1)f(x)= 因为因为y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与直线处的切线与直线2x-y=02x-y=0平行，所以平行，所以f(1)=f(1)=1+a=21+a=2，解得，解得a=1.a=1.(2)k=1(2)k=1时，方程时，方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )在在(1,2)(1,2)内存在唯一的根内存在唯一的根. .a=1a=1时，时，f(xf(x)=)=令令h(xh(x)= )= 则则h(xh(x)=)=当当0x10x1时，时，h(x)0, h(xh(x)1x1时，时，h(xh(x)0)0，h(xh(x) )单调递增；单调递增；所以所以h(x)h(x)minmin=h(1)=2=h(1)=2，所以，所以f(xf(x)0)0恒成立，恒成立，f(xf(x) )单调递增，且单调递增，且f(1)=0.f(1)=0.由由g(xg(x)= )= 得得g(xg(x)=)=所以当所以当0x20x0)0，g(xg(x) )单调递增；单调递增；当当x2x2时，时，g(xg(x)0)0，g(xg(x) )单调递减；单调递减；又又x0x0时，时，g(x)0g(x)0，且，且g(1)=g(1)=g(2)=g(2)=所以所以y=f(xy=f(x) )与与y=g(xy=g(x) )在在(1,2)(1,2)内存在唯一的公共点，即内存在唯一的公共点，即方程方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )在在(1,2)(1,2)内存在唯一的实数根内存在唯一的实数根. .故存在自然数故存在自然数k,k,使得方程使得方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )在在(k,k+1)(k,k+1)内存在内存在唯一的根唯一的根, , 此时此时k=1.k=1.(3)(3)由由(2)(2)知知m(xm(x)=)=其中其中x x0 0(1,2)(1,2)且满足且满足f(xf(x0 0)=g(x)=g(x0 0) )，即即m(xm(x)=)=当当x(0,xx(0,x0 0时，若时，若x(0,1x(0,1，m(x)0m(x)0；若若x(1,xx(1,x0 0时，时，m(xm(x)=)=故故0m(x)m(x00)0，m(xm(x) )单调递增；单调递增；若若x(2,+)x(2,+)时，时，m(xm(x)0)0，m(xm(x) )单调递减，单调递减，故故m(x)m(2)=m(x)m(2)=显然显然m(xm(x0 0)m(2)m(2)，所以，所以m(x)m(x)maxmax=m(2)= =m(2)= 即所求最大即所求最大值为值为题型二题型二利用导数研究不等式的综合问题利用导数研究不等式的综合问题【真题示例【真题示例】(12(12分分)(2015)(2015天津高考天津高考) )已知函数已知函数f(x)=nx-xf(x)=nx-xn n,xR,xR, ,其中其中nNnN* *,n2.,n2.(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性. .(2)(2)设曲线设曲线y=f(xy=f(x) )与与x x轴正半轴的交点为轴正半轴的交点为P,P,曲线在点曲线在点P P处处的切线方程为的切线方程为y=g(xy=g(x),),求证求证: :对于任意的正实数对于任意的正实数x,x,都有都有f(x)g(xf(x)g(x).).(3)(3)若关于若关于x x的方程的方程f(x)=a(af(x)=a(a为实数为实数) )有两个正实根有两个正实根x x1 1，x x2 2，求证：，求证：|x|x2 2-x-x1 1|0,)0,即即x1x1时时, ,函数函数f(xf(x) )单调递增单调递增; ;当当f(xf(x)0,)1x1时时, ,函数函数f(xf(x) )单调递减单调递减. .所以所以,f(x,f(x) )在在(-(-，1)1)上单调递增上单调递增, ,在在(1,+ )(1,+ )上单调上单调递减递减. .3 3分分 得分点得分点(2)(2)设点设点P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,0),0)，则则曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点P P处的切线方程为处的切线方程为y=f(xy=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) )，1 1分分 得分点得分点即即g(xg(x)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).令令F(x)=f(x)-g(xF(x)=f(x)-g(x），即），即F(xF(x)=f(x)-f(x)=f(x)-f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) )，则，则F(xF(x)=f(x)-f(x)=f(x)-f(x0 0).).1 1分分 得分点得分点由于由于f(xf(x)=-nx)=-nxn-1n-1+n+n在在(0,+)(0,+)上单调递减，故上单调递减，故F(xF(x) )在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减. .又因为又因为F(xF(x0 0)=0)=0，所以当，所以当x(0,xx(0,x0 0) )时，时，F(xF(x)0)0，当当x(xx(x0 0,+),+)时，时，F(xF(x)0)0，所以，所以F(xF(x) )在在(0,x(0,x0 0) )上单上单调递增，在调递增，在(x(x0 0,+),+)上单调递减，所以对于任意的正上单调递减，所以对于任意的正实数实数x x，都有，都有F(x)F(xF(x)F(x0 0)=0)=0，即对于任意的正实数，即对于任意的正实数x x，都有都有f(x)g(xf(x)g(x).).2 2分分 得分点得分点(3)(3)不妨设不妨设x x1 1xx2 2. .由由(2)(2)知知g(xg(x)=(n-n)=(n-n2 2)(x-x)(x-x0 0).).设方程设方程g g（x x）=a=a的根为的根为xx2 2，可得，可得当当n2n2时，时，g(xg(x) )在在(-,+)(-,+)上单调递减上单调递减. .又由又由(2)(2)知知g(xg(x2 2)f(x)f(x2 2)=a=g(x)=a=g(x2 2) )，可得，可得x x2 2xx2 2. .类似地，设曲线类似地，设曲线y=f(xy=f(x) )在原点处的切线方程为在原点处的切线方程为y=h(xy=h(x) )，可得，可得h(x)=nxh(x)=nx，当当x(0,+)x(0,+)，f(x)-h(x)=-xf(x)-h(x)=-xn n00，即对于任意的，即对于任意的x(0,+)x(0,+)，f(x)h(xf(x)h(x).).2 2分分 得分点得分点设方程设方程h h（x x）=a=a的根为的根为xx1 1，可得，可得xx1 1= =因为因为h h（x x）=n=n（x x）在（）在（-,+-,+）上单调递增，）上单调递增，且且h h（xx1 1）=a=f=a=f（x x1 1）hh（x x1 1），因此），因此xx1 1 x x1 1. .由此可得由此可得x x2 2-x-x1 1 x x2 2-x-x1 1 = =因为因为n2n2，所以，所以2 2n-1n-1=(1+1)=(1+1)n-1n-1故故22所以，所以， 2 2分分 得分点得分点【得分细则【得分细则答题规则答题规则】第第(1)(1)问踩点说明问踩点说明( (针对得分点针对得分点):):正确求出函数的导数可得正确求出函数的导数可得1 1分分. .得分点有三处得分点有三处: :一是将一是将n n分为奇数、偶数分为奇数、偶数, ,每一个可得每一个可得1 1分分; ;二是如果采用列表法分析函数的单调性可得二是如果采用列表法分析函数的单调性可得1 1分分; ;三是正确写出函数的单调性得三是正确写出函数的单调性得1 1分分. .第第(2)(2)问踩点说明问踩点说明( (针对得分点针对得分点):):求出切线方程可得求出切线方程可得1 1分分正确构造新函数正确构造新函数, ,并对新函数正确求导可得并对新函数正确求导可得1 1分分. .得分点有两处得分点有两处: :一是正确写出不同区间的单调性可得一是正确写出不同区间的单调性可得1 1分分; ;二是根据函数的单调性得出结论再得二是根据函数的单调性得出结论再得1 1分分. .第第(3)(3)问踩点说明问踩点说明( (针对得分点针对得分点):):得分点有两处得分点有两处: :一是写出一是写出g(xg(x)=(n-n)=(n-n2 2)(x-x)(x-x0 0) )可得可得1 1分分; ;二是当二是当x(0,+),f(x)-h(x)=-xx(0,+),f(x)-h(x)=-xn n0,0,得得1 1分分得分点有两处得分点有两处: :一是得出一是得出h(xh(x1 1)=a=f(x)=a=f(x1 1)h(x)0x0时时,f(x,f(x)x.)x.(2)(2)证明证明: :当当k1k0,0,使得对任意的使得对任意的x(0,xx(0,x0 0),),恒有恒有f(x)g(xf(x)g(x).).(3)(3)确定确定k k的所有可能取值的所有可能取值, ,使得存在使得存在t0,t0,对任意的对任意的x(0,t),x(0,t),恒有恒有f(x)-g(xf(x)-g(x)x)x2 2. .【解析【解析】(1)(1)令令F(x)=f(x)-xF(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x=ln(1+x)-x，x0,+)x0,+)，则有，则有F(xF(x)=)=当当x0,+)x0,+)时，时，F(xF(x)0)0x0时，时，F(xF(x)F(0)=0,)0x0时，时，f(xf(x)x.)0,)0,故故G(xG(x) )在在0,+)0,+)上单调递增上单调递增, , G(xG(x)G(0)=0)G(0)=0，故对任意正实数故对任意正实数x x0 0均满足题意均满足题意. .当当0k10k0)0，从而，从而G(xG(x) )在在0,x0,x0 0) )上单调递增，所以上单调递增，所以G(xG(x)G(0)=0)G(0)=0，即，即f(x)g(xf(x)g(x).).综上，当综上，当k1k00，使得对任意，使得对任意x(0,xx(0,x0 0) )，恒有恒有f(x)g(xf(x)g(x).).(3)(3)当当k1k1时，由时，由(1)(1)知，对于知，对于 x(0,+)x(0,+)，g(xg(x)x)xf(xf(x) )，故，故g(x)f(xg(x)f(x) )，|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx- -ln(1+x).ln(1+x).令令M(xM(x)=kx-ln(1+x)-x)=kx-ln(1+x)-x2 2，x0,+)x0,+)，则有则有M(xM(x)=)=故当故当 时，时，M(xM(x)0)0，M(xM(x) )在在 上单调递增上单调递增. . 故故M(xM(x)M(0)=0)M(0)=0，即，即| |f(x)-g(xf(x)-g(x) )| |xx2 2，所以满足题意的，所以满足题意的t t不存在不存在. .当当k1k00，使得当，使得当x(0,xx(0,x0 0) )时，时，f(x)g(xf(x)g(x) )，此时，此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-)=ln(1+x)-kxkx，令，令N(xN(x)=ln(1+x)-kx-x)=ln(1+x)-kx-x2 2，x0,+)x0,+)，则有，则有N(xN(x)=)=当当 时，时，N(xN(x)0)0，N(xN(x) )在在 上单调递增上单调递增. .故故N(xN(x)N(0)=0,)N(0)=0,即即f(x)-g(xf(x)-g(x)x)x2 2. .记记x x0 0与与 中的较小者为中的较小者为x x1 1，则当，则当xx(0,x(0,x1 1) )时，恒有时，恒有|f(x)-g(x|f(x)-g(x)|x)|x2 2，故满足题意的，故满足题意的t t不存在不存在. .当当k=1k=1时，由时，由(1)(1)知，知，当当x0x0时，时，|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x)=x-ln(1+x)，令令H(xH(x)=x-ln(1+x)-x)=x-ln(1+x)-x2 2，x0,+)x0,+)，则有，则有H(xH(x)=)= 当当x0x0时，时，H(xH(x)0)0，所以，所以H(xH(x) )在在0,+)0,+)上单调递减，故上单调递减，故H(xH(x)H(0)=0,)0x0时，时，|f(x|f(x) )-g(x-g(x)|x)|x2 2，此时，任意正实数，此时，任意正实数t t均满足题意均满足题意. .综上，综上，k=1.k=1.