一、Euler方法(fngf)记：记：因为因为(yn wi)(yn wi)：( (等距剖分等距剖分) )( (积分积分(jfn)(jfn)方程方程) )令：令：有：有： 第1页/共26页第一页，共27页。Euler方方法法(fngf)截去截去有：有： 由于：由于：(已知已知),又称又称Euler折线折线(zhxin)法。法。可得递推关系可得递推关系(gun x)：第2页/共26页第二页，共27页。欧拉方法欧拉方法(fngf)(fngf)的几何意义：的几何意义：h步长步长Euler方法方法(fngf)的几何的几何意义意义第3页/共26页第三页，共27页。二、误差二、误差(wch)(wch)分析分析称为局部截断误差，称为局部截断误差，计算时计算时 的误差。的误差。记：记：有：有：估计估计 关于关于假设假设满足满足Lipschitz条件：条件：精确精确(jngqu)(jngqu)值值时，时，为为它表示当它表示当第4页/共26页第四页，共27页。其中其中(qzhng)：第5页/共26页第五页，共27页。几何(jh)分析：EulerEuler公式公式(gngsh)(gngsh)的误差的误差记记 ，则有，则有第6页/共26页第六页，共27页。整整体体(zhngt)(zhngt)截截断断误差：误差：由：由：第7页/共26页第七页，共27页。从从 而而 (cng (cng r)r)有：有：对任一对任一有：有：第8页/共26页第八页，共27页。于是(ysh)便得Euler方法的整体截断误差界(*)第9页/共26页第九页，共27页。注意:对于(duy)Euler方法将将说明说明EulerEuler方法方法(fngf)(fngf)的整体截断误差与的整体截断误差与h h同同阶。阶。第10页/共26页第十页，共27页。注意注意(zh y):(zh y):对于对于EulerEuler方法方法第11页/共26页第十一页，共27页。定理定理(dngl(dngl)5)5 设设f (x,y)f (x,y)属于属于(shy)F(shy)F且关于且关于x x满足满足LipschitzLipschitz条件，条件， 其其LipschitzLipschitz常数常数(chngsh)(chngsh)为为K K，且当且当 时，时， 则则 Euler方法一致收敛于真解方法一致收敛于真解成立。成立。并且有估并且有估(*)(*)估计式。估计式。第12页/共26页第十二页，共27页。隐式隐式EulerEuler方法方法(fngf)(fngf)等等 价价 (dngji)(dngji)于于积分方程：积分方程：微微 分分 方方 程程(wi (wi fn fn fn fn chn)chn)：第13页/共26页第十三页，共27页。有：有：( (令令 ) )截去截去有：有：第14页/共26页第十四页，共27页。设设 为为 的近似值，的近似值，称称 为为 (chn (chn wi)wi)隐隐 式式EulerEuler方法方法. .称为隐式称为隐式Euler方法的方法的局部截断误差局部截断误差. .则：则：第15页/共26页第十五页，共27页。 改进改进(gijn)(gijn)的的EulerEuler方法方法等等价价于于积积分分(jfn)(jfn)方程：方程：微微 分分 方方 程程(wi (wi fn fn fn fn chn)chn)：第16页/共26页第十六页，共27页。有：有：( (令令 ) )截去截去有：有：第17页/共26页第十七页，共27页。设设 为为 的近似值，的近似值，称称 为为 (chn (chn wi)wi)改改 进进 的的EulerEuler方法。方法。称为改进的称为改进的Euler方法的方法的局部截断误差局部截断误差。 误差误差(wch)(wch)分析：分析：仍记仍记注意注意(zh (zh y)y)：则：则：第18页/共26页第十八页，共27页。于于 是是(ysh)(ysh)：若记若记整整体体截截断断误误差差的的阶阶由由局局部部(jb)(jb)截截断断误误差差的的阶阶来来决定。决定。可见可见(kjin)(kjin)改进的改进的EulerEuler方法误差比方法误差比EulerEuler方法要高一阶。方法要高一阶。则有则有第19页/共26页第十九页，共27页。三、Euler方法(fngf)的收敛性和稳定性收敛性收敛性第20页/共26页第二十页，共27页。注意注意(zh (zh y):y):结论结论(jiln(jiln):):第21页/共26页第二十一页，共27页。稳定性：定义定义(dngy)第22页/共26页第二十二页，共27页。结论(jiln):证明(zhngmng)：第23页/共26页第二十三页，共27页。计算计算(j (j sun)sun)问题：问题：隐式计算隐式计算(j sun)(j sun)格式由迭代法格式由迭代法去完成。去完成。将上式变形将上式变形(bin (bin xng)xng)为为记记求求即求隐式方程即求隐式方程的根。的根。第24页/共26页第二十四页，共27页。总结通过对Euler方法的讨论可以看到,微分方程数值方法的研究应包括以下方面:1.数值计算公式的构造(guzo)；2.方法稳定性,收敛性的研究；3.方法的误差估计；4.方法的实现等。第25页/共26页第二十五页，共27页。谢谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结一、 Euler方法。计算时 的误差。且当 时，。有：(令 )。设 为 的近似值，。整体截断误差的阶由局部截断误差的阶来决定。可见改进的Euler方法误差比Euler方法要高一阶。总 结。通过对Euler方法的讨论(toln)可以看到,微分方程数值方法的研究应包括以下方面:。第25页/共26页。谢谢您的观看。第26页/共26页第二十七页，共27页。