第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘解解 定义域为定义域为 一阶导数的符号一阶导数的符号确定函数图形的上升确定函数图形的上升下降以及极值点；下降以及极值点； 二阶导数的符号二阶导数的符号确定函数图形的凹确定函数图形的凹凸以及拐点凸以及拐点. .(极大值极大值)(拐点）拐点）(极小值极小值)补充点补充点 有了函数单调性、凹凸性以及极值、有了函数单调性、凹凸性以及极值、拐点等信息，就可以掌握函数的性态，拐点等信息，就可以掌握函数的性态，并比较准确地画出函数图形并比较准确地画出函数图形. . 利用函数导数作图的方法，称为利用函数导数作图的方法，称为微分作图法微分作图法. .利用导数描绘函数图形的一般步骤利用导数描绘函数图形的一般步骤 : :1. 确定函数确定函数 的定义域的定义域 , ,2. 求求并求出并求出 及及 的零的零3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间, ,求出极值求出极值和拐点和拐点 ; ;4. 4. 求渐近线求渐近线 ; ;5. 确定某些特殊点确定某些特殊点,描绘函数图形描绘函数图形 .点和不存在的点点和不存在的点 ; ;并考察其对称性及周期性并考察其对称性及周期性 ;例例2 描绘函数描绘函数的图形的图形. . 解解 (1) 定义域为定义域为图形对称于图形对称于y 轴轴.(2) 求关键点求关键点为水平渐近线为水平渐近线(5) 作图作图(4) 求渐近线求渐近线(3) 判别曲线形态判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)若若则曲线则曲线有有水平渐近线水平渐近线若若则曲线则曲线有有垂直渐近线垂直渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线斜渐近线斜渐近线 其中其中例例3 求曲线求曲线的渐近线的渐近线 .解解为水平渐近线为水平渐近线; ;为垂直渐近线为垂直渐近线.例例4 4解解非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. . 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极凹凸区间及极值点和拐点值点和拐点: :不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图水平渐近线水平渐近线 ; 垂直渐近线垂直渐近线; 小小 结结1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法按作图步骤进行按作图步骤进行2. 函数图形的描绘函数图形的描绘思考题思考题曲线曲线(A) 没有渐近线；没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示: :第七节第七节 曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式一、一、 弧微分弧微分设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数,规定有向规定有向弧段的值弧段的值（单增单增）求弧的导数和微分：求弧的导数和微分：则则弧微分公式弧微分公式为为几何意义几何意义: :若曲线由参数方程若曲线由参数方程 表示表示,弧微分公式弧微分公式弧微分三角形弧微分三角形二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质曲率是描述曲线局部性质( (弯曲程度弯曲程度) )的量的量)弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大转角越大转角越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短弯曲程度越大弯曲程度越大1 1、曲率的定义、曲率的定义) 在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段,其长为其长为对应切线转角为对应切线转角为平均曲率平均曲率定义弧段定义弧段 上的上的点点 M 处的处的曲率曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 .例例1 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 . .解解 如图所示如图所示 , ,可见可见: R 越小越小, 则则K 越大越大,圆弧弯曲得越厉害圆弧弯曲得越厉害; R 越大越大, 则则K 越小越小 , 圆弧弯曲得越小圆弧弯曲得越小 .有有曲率近似计算公式曲率近似计算公式可以推导出可以推导出曲率计算公式曲率计算公式为为2.曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧则由则由三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径设曲线设曲线 在点在点M(a,b)处的处的曲率为曲率为K曲率圆曲率圆如图，以如图，以D为圆心，为圆心，为半径的与曲线在为半径的与曲线在M点相切的圆点相切的圆. D称为称为曲线在点曲线在点M处处曲率圆的中心，曲率圆的中心， 实际中常用曲率圆在实际中常用曲率圆在M点邻近的一段弧近似代替点邻近的一段弧近似代替曲线弧曲线弧.称为曲线在点称为曲线在点M处处曲率半径曲率半径. 设曲线在点设曲线在点M处的曲率为处的曲率为K 曲线在点曲线在点M处的曲率半径处的曲率半径与曲线与曲线在该点处在该点处的曲率的曲率互为倒数：互为倒数：例例2 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线现在要用砂轮磨削其内表面现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大问用直径多大的砂轮才比较合适？的砂轮才比较合适？解解 砂轮的半径应不大于抛物线上各点处砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值曲率半径中的最小值, 抛物线在其顶点处抛物线在其顶点处的曲率最大，即曲率半径最小的曲率最大，即曲率半径最小.求求 在顶点在顶点(0,0)处的曲率半径处的曲率半径.抛物线在其顶点处的曲率半径抛物线在其顶点处的曲率半径因此选用砂轮的半径不得超过因此选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，单位长，即直径不得超过即直径不得超过2.5单位长单位长.作作 业业习题习题3-6 2; 4习题习题3-7 2; 5复习和总结第三章所学内容复习和总结第三章所学内容