.24.1.224.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径学习目标：【知识与技能】【知识与技能】1 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3 了解拱高、弦心距等概念【过程与方法】【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法【情感、态度与价值观】【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学【重点】【重点】垂径定理及其推论【难点】【难点】垂径定理及其推论学习过程:一、自主学习一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。（） 2、半圆是弧，弧是半圆。（）3、周长相等的两个圆是等圆。（） 4、长度相等的两条弧是等弧。（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。 （） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。 （）7、请在图上画出弦 CD，直径 AB.并说明_叫做弦；_叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：_ _半圆：_优弧：_ _表示方法：_劣弧：_ _,表示方法：_9、同心圆: _ _ _等圆: _ _.10、同圆或等圆的半径_.等弧: _（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？.CAMOBD圆是圆是对称图形，其对称轴是任意一条过对称图形，其对称轴是任意一条过的直线的直线（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：这样，我们就得到垂径定理垂径定理：垂直于垂直于的直径平分弦，并且平分弦所对的两条的直径平分弦，并且平分弦所对的两条表达式：表达式：下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M求证：AM=BM，弧 AC=BC，弧 AD=BD.分析：要证AM=BM，只要证AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB 或 AC、BC 即可证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB在 RtOAM 和 RtOBM 中RtOAMRtOBM( )AM=点和点关于 CD 对称O 关于 CD 对称当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合，CAMO进一步，我们还可以得到结论：平分弦（平分弦（）的直径垂直于）的直径垂直于，并且平分弦所对的两条，并且平分弦所对的两条表达式：表达式：.B.（三） 、归纳总结： 1圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴2垂径定理推论（四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？EABODCMOAMB2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？CEARD注：在半径 r,弦 a，弦心距 d,拱高 h 四个量中，任意知道其中的个量中，利用定理，就可以求出其余的量。3、如图，两圆都以点 O 为圆心，求证 AC=BDBO OA A.C CD DB B.二、教师点拔二、教师点拔1、圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备 经过圆心， 垂直于弦， 平分弦（不是直径） ，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中，常作圆心到的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。 2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。三、课堂检测三、课堂检测1、如图，在O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求O 的半径。2、如图，在O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于 D，OEAC 于 E，求证四边形 ADOE 是正方形。CEOADB四、课外训练四、课外训练1P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_2如图5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）.ED D A B O C.DBEACOACFEOBD(5)（6）3如图 6，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，则弦 CD 长4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点 O 是 CD 弧所在圆的圆心，其中 CD=300m，E 为 CD弧上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=45m，求这段弯路的半径CEFOD5.AB 和 CD 分别是O 上的两条弦，圆心 O 到它们的距离分别是OM 和 ON，如果 ABCD，OM 和 ON 的大小有什么关系？为什么？.