第八章立体几何第八章立体几何第第6课时空间向量及运算课时空间向量及运算 1了解空间向量的概念了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直请注意纵观近几年的高考试题，对空间向量部分的考查主要集中于空间向量的概念和运算的考查，部分用空间向量知识来解的题目也可以不建空间直角坐标系，而直接使用线性运算，充分发挥空间向量基本定理的作用总体来看，高考对空间向量更多地考查其工具性作用1把空间中具有 和 的量叫向量2(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与 向 量 a， b共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 对 x， y， 使 .大小方向存在实数，使abpxayb3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.pxaybzc4两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积：(2)向量的数量积的性质：ae；ab ；|a|2 .(3)向量的数量积满足如下运算律：(a)b；ab (交换律)；a(bc) (分配律)ab|a|b|cosa，b|a|cosa，e，e为单位向量ab0aa(ab)baabac5空间向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab；ab；ab，特殊地aa_；(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3ab；a1b1，a2b2，a3b3(R，b0)ab；A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，a1b1a2b2a3b30(a0，b0)(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)6向量a与b的夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则cosa，b.1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)(3)对于非零向量b，若abbc，则ac.(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案C4已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则点D的坐标为_答案(5,13，3)题型一题型一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算【思路】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可探究1确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的思考题思考题1题型二题型二 空间向量的共线、共面问题空间向量的共线、共面问题【答案】(1)略(2)略(3)略探究2思考题思考题2【答案】A【答案】共面点M在平面ABC内题型三题型三 空间向量的数量积空间向量的数量积(4)ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)(ab)(ab)(0,0,1)220，即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直探究3利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)思考题思考题3例4如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值思考题思考题41向量的分解是用空间向量证明有关问题的常用方法，分解的依据是向量的加法、减法及实数与向量的积，而与之相联系的是线段的倍(分)关系