热热热点一点一点一利用导数解决函数的单调性利用导数解决函数的单调性热热热点二点二点二利用导数求解函数的极值、利用导数求解函数的极值、最值问题最值问题热热热点三点三点三利用导数解决与不等式有关利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题的恒成立和存在性问题热热热点四点四点四利用导数研究方程解或图象利用导数研究方程解或图象交点问题交点问题热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题 函函数数的的单调性性是是函函数数在在定定义域域内内的的局局部部性性质，因因此此利利用用导数数讨论函函数数的的单调性性时，要要先先研研究究函函数数的的定定义域域，再再利利用用导数数f(x)在在定定义域域内内的的符符号号来来判判断断函函数数的的单调性性这类问题主要有两种考主要有两种考查方式：方式： (1)判断函数判断函数f(x)的的单调性或求性或求单调区区间； (2)利用函数的利用函数的单调性或性或单调区区间，求参数的范，求参数的范围热点突破热点突破热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题解解(1)因因为当当a1时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以所以f(1)e，f(1)3e.从而从而yf(x)的的图象在点象在点(1，f(1)处的切的切线方程方程为ye3e(x1)，即即y3ex2e.(5分分)(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当当a0时，若，若x0，则f(x)0，若，若x0，则f(x)0.所以当所以当a0时，函数，函数f(x)在区在区间(，0)上上为减函数，减函数，在区在区间(0，)上上为增函数增函数(7分分)热点突破热点突破热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破综上所述，上所述，当当a0时，f(x)在在(，0)上上单调递减，在减，在(0，)上上单调递增；增；第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步第五步第五步求含参函数求含参函数f(x)的单调区间的单调区间的的一般步一般步骤骤：热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断最终归结到判断f(x)的符号问题上，而的符号问题上，而f(x)0或或f(x)0，最终，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题若含参数，则含可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个好下面的四个“讨论点讨论点”，一切便迎刃而解分类标准一：二次项，一切便迎刃而解分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小 (2)若已知若已知f(x)的单调性，则转化为不等式的单调性，则转化为不等式f(x)0或或f(x)0在单在单调区间上恒成立问题调区间上恒成立问题热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破【训练【训练1】已知函数】已知函数f(x)exln xaex(a0)(1)若函数若函数f(x)的的图象在点象在点(1，f(1)处的切的切线与直与直线xey10垂垂直，求直，求实数数a的的值；(2)若函数若函数f(x)在区在区间(0，)上是上是单调函数函数，求求实数数a的取的取值范范围f(1)(1a)e，热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破若若f(x)在在(0，)上上为单调递减函数，减函数，则f(x)0，在，在(0，)上恒成立上恒成立【训练【训练1】已知函数】已知函数f(x)exln xaex(a0)(2)若函数若函数f(x)在区间在区间(0，)上是单调函数，求实数上是单调函数，求实数a的取值范围的取值范围由由g(x)0得得x1，故，故g(x)在在(0，1上上为单调递减函数，减函数，在在1，)上上为单调递增函数，增函数，此此时g(x)有最小有最小值为g(1)1，但，但g(x)无最大无最大值故故f(x)不可能是不可能是单调递减函数减函数若若f(x)在在(0，)上上为单调递增函数，增函数，则f(x)0在在(0，)上恒成立，上恒成立，热点一热点一利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题热点突破热点突破由上述推理可知此由上述推理可知此时a1.故故a的取的取值范范围是是(，1热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题 用用导数数研研究究函函数数的的极极值或或最最值是是高高考考命命题的的重重要要题型型之之一一对于于此此类问题的的求求解解，首首先先，要要理理解解函函数数极极值的的概概念念，需需要要清清楚楚导数数为零零的的点点不不一一定定是是极极值点点，只只有有在在该点点两两侧导数数的的符符号号相相反反，即即函函数数在在该点点两两侧的的单调性性相相反反时，该点点才才是是函函数数的的极极值点点；其其次次，要要区区分分极极值与与最最值，函函数数的的极极值是是一个局部概念，而最一个局部概念，而最值是某个区是某个区间的整体性概念的整体性概念热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题解解(1)由由f(0)1，f(1)0，得，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex， f(x)ax2(a1)xaex，依依题意意对于任意于任意x0，1，有，有f(x)0.当当a0时，因，因为二次函数二次函数yax2(a1)xa的的图象开口向上，象开口向上，而而f(0)a0，所以需，所以需f(1)(a1)e0，即，即0a1；当当a1时，对于任意于任意x0，1，有，有f(x)(x21)ex0，且只在且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；符合条件；当当a0时，对于任意于任意x0，1，f(x)xex0，且只在且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；符合条件；当当a0时，因，因f(0)a0，f(x)不符合条件不符合条件故故a的取的取值范范围为0a1.热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题(2)因因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当当a0时，g(x)ex0，g(x)在在x0处取得最小取得最小值g(0)1，在在x1处取得最大取得最大值g(1)e.当当a1时，对于任意于任意x0，1有有g(x)2xex0，g(x)在在x0处取得最大取得最大值g(0)2，在在x1处取得最小取得最小值g(1)0.热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题g(x)在在0，1上上单调递增，增，g(x)在在x0处取得最小取得最小值g(0)1a，在在x1处取得最大取得最大值g(1)(1a)e.在在x0或或x1处取得最小取得最小值，而而g(0)1a，g(1)(1a)e，由由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题g(0)g(1)0，g(x)在在x0处取得最小取得最小值g(0)1a；g(x)在在x1处取得最小取得最小值g(1)(1a)e.热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题热点突破热点突破解解函数函数f(x)的定的定义域域为(0，)，热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题(1)当当a2时，f(x)x2ln x，因而因而f(1)1，f(1)1，所以曲所以曲线yf(x)在点在点A(1，f(1)处的的切切线方程方程为y1(x1)，即即xy20.热点突破热点突破热点二热点二利用导数求解函数的极值、最值问题利用导数求解函数的极值、最值问题当当a0时，f(x)0，函数函数f(x)为(0，)上的增函数，函数上的增函数，函数f(x)无极无极值；当当a0时，由，由f(x)0，解得，解得xa.又当又当x(0，a)时，f(x)0；当当x(a，)时，f(x)0，从而函数从而函数f(x)在在xa处取得极小取得极小值，且极小且极小值为f(a)aaln a，无极大，无极大值综上，当上，当a0时，函数，函数f(x)无极无极值；当当a0时，函数，函数f(x)在在xa处取得极小取得极小值aaln a，无极大，无极大值热点突破热点突破热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题 “恒恒成成立立”与与“存存在在性性”问题的的求求解解是是“互互补”关关系系，即即f(x)g(a)对于于xD恒恒成成立立，应求求f(x)的的最最小小值；若若存存在在xD，使使得得f(x)g(a)成成立立，应求求f(x)的的最最大大值在在具具体体问题中中究究竟竟是是求求最最大大值还是是最最小小值，可可以以先先联想想“恒恒成成立立”是是求求最最大大值还是是最最小小值，这样也也就就可可以以解解决决相相应的的“存存在在性性”问题是是求求最最大大值还是是最最小小值特特别需需要要关关注注等等号号是是否否成成立立问题，以以免免细节出出错热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题【例【例3】 (2014陕西卷节选陕西卷节选)设函数函数f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中，其中f(x)是是f(x)的的导函数函数(1)令令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求，求gn(x)的表达式的表达式(不需不需证明明)；(2)若若f(x)ag(x)恒成立，求恒成立，求实数数a的取的取值范范围热点突破热点突破热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题【例【例3】 (2014陕西卷节选陕西卷节选)设函数函数f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中，其中f(x)是是f(x)的的导函数函数(1)令令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求，求gn(x)的表达式的表达式(不需不需证明明)；(2)若若f(x)ag(x)恒成立，求恒成立，求实数数a的取的取值范范围热点突破热点突破当当a1时，(x)0(仅当当x0，a1时等号成立等号成立)，(x)在在0，)上上单调递增增又又(0)0，(x)0在在0，)上恒成立，上恒成立，热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题【例【例3】 (2014陕西卷节选陕西卷节选)设函数函数f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中，其中f(x)是是f(x)的的导函数函数(1)令令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求，求gn(x)的表达式的表达式(不需不需证明明)；(2)若若f(x)ag(x)恒成立，求恒成立，求实数数a的取的取值范范围热点突破热点突破当当a1时，对x(0，a1有有(x)0，(x)在在(0，a1上上单调递减，减，(a1)1时，存在，存在x0，使，使(x)0，综上可知，上可知，a的取的取值范范围是是(，1求求解解不不等等式式恒恒成成立立时参参数数的的取取值范范围问题，一一般般常常用用分分离离参参数数的的方方法法，但但是是如如果果分分离离参参数数后后对应的的函函数数不不便便于于求求解解其其最最值，或或者者求求解解其其函函数数最最值繁繁琐时，可可采采用用直直接接构构造造函函数数的的方方法求解法求解热点突破热点突破热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题(2)f(x)的定的定义域域为(0，)，热点突破热点突破热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题由由题设知知f(1)0，解得，解得b1.故当故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在在(1，)上上单调递增增热点突破热点突破热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题热点突破热点突破热点三热点三利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题热点突破热点突破热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题 利利用用导数数研研究究方方程程的的解解或或图象象交交点点问题，是是高高考考题的的典典型型题型型，该类问题一一般般可可通通过导数数研研究究函函数数的的单调性性和和极极值，描描绘出出草草图，然然后后分分析析观察察，列列出出相相应不不等等式式(或或方方程程)求求解解该类问题充分体充分体现了数形了数形结合合这一重要思想方法一重要思想方法热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题由由f(x)0，得，得xe.当当x(0，e)，f(x)0，f(x)在在(0，e)上上单调递减，减，当当x(e，)，f(x)0，f(x)在在(e，)上上单调递增，增，热点突破热点突破f(x)的极小的极小值为2.热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题则(x)x21(x1)(x1)，当当x(0，1)时，(x)0，(x)在在(0，1)上上单调递增；增；当当x(1，)时，(x)0，(x)在在(1，)上上单调递减减x1是是(x)的唯一极的唯一极值点，且是极大点，且是极大值点，点，因此因此x1也是也是(x)的最大的最大值点点热点突破热点突破热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题又又(0)0，结合合y(x)的的图象象(如如图)，可知，可知热点突破热点突破 用用导数数研研究究函函数数的的零零点点，一一方方面面用用导数数判判断断函函数数的的单调性性，借借助助零零点点存存在在性性定定理理判判断断；另另一一方方面面，也也可可将将零零点点问题转化化为函数函数图象的交点象的交点问题，利用数形，利用数形结合来解决合来解决热点突破热点突破热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题热点突破热点突破(1)解解f(x)3x26xa，f(0)a.曲曲线yf(x)在点在点(0，2)处的切的切线方程方程为yax2.(2)证明明由由(1)知，知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由由题设知知1k0.当当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，增，g(1)k10，g(0)4，所以所以g(x)0在在(，0上有唯一上有唯一实根根热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题【训练训练4】(2014新课标全国新课标全国卷卷)已知函数已知函数f(x)x33x2ax2，曲曲线yf(x)在点在点(0，2)处的切的切线与与x轴交点的横坐交点的横坐标为2.(1)求求a；(2)证明：当明：当k1时，曲，曲线yf(x)与直与直线ykx2只有一个只有一个交点交点热点突破热点突破当当x0时，令，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在在(0，2)单调递减，在减，在(2，)上上单调递增，增，所以所以g(x)h(x)h(2)0.所以所以g(x)0在在(0，)上没有上没有实根根综上，上，g(x)0在在R上有唯一上有唯一实根，根，即曲即曲线yf(x)与直与直线ykx2只有一个交只有一个交点点.热点热点四四利用导数研究方程解或图象交点问题利用导数研究方程解或图象交点问题【训练训练4】(2014新课标全国新课标全国卷卷)已知函数已知函数f(x)x33x2ax2，曲曲线yf(x)在点在点(0，2)处的切的切线与与x轴交点的横坐交点的横坐标为2.(1)求求a；(2)证明：当明：当k1时，曲，曲线yf(x)与直与直线ykx2只有一个只有一个交点交点