微积分复习微积分复习( (线面积分线面积分) )目录 上页 下页 返回 结束 第 九 章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 证证: :把例例3. 设在上半平面内函数具有连续偏导数, 且对任意 t 0 都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有两边对t求导, 得:则有因此结论成立.(2006考研)目录 上页 下页 返回 结束 计算其中L为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向.练习题练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5).用格林公式: 目录 上页 下页 返回 结束 P245 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 P245 11. 求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: 方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,功,目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向向上, 则方法方法2 利用利用公式 斯托克斯公式斯托克斯公式目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记 为平面上 L 所围部分的上侧, D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:P244 题题4(3) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 原式 =P244 题题4(2) , P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算提示提示: 以半球底面为辅助面, 利用目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算曲面积分其中,解解:思考思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设 是曲面解解: 取足够小的正数 , 作曲面取下侧使其包在 内, 为 xOy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算则目录 上页 下页 返回 结束 第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 注意曲面的方向 !得目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知平面区域L为D 的边界, 试证证证: (1) 根据格林公式所以相等, 从而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)因、两式右端积分具有轮换对称性,目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由式由轮换对称性目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是 2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求(2) 在解解: 如图建立坐标系.的时间内 , 卫星监视的地球表面积是多少 ?多少 ? 设卫星绕 y 轴旋转目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为(2) 在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为(2) 在其中盲区面积时间内监视的地球表面积为目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中L为双纽线解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性 , 得目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算曲线积分 其中 为螺旋的一段弧.解解: 线目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算其中 为球面 被平面 所截的圆周. 解解: 由对称性可知目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设在力场作用下, 质点由沿 移动到解解: (1)(2) 的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例例6. 设曲线段 L 的长度为s, 证明续,证证:设说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. .将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周目录 上页 下页 返回 结束 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、 格林公式格林公式目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲定理2 线 AB ,有注注: 此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P211定理4). 它类似于微积分基本公式: 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令则由定理定理 2 可知存在原函数目录 上页 下页 返回 结束 或目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面目录 上页 下页 返回 结束 定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设计算解解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的投影域为则 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为计算结果如何 ? 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算解解: 取球面坐标系, 则目录 上页 下页 返回 结束 有向曲面及曲面元素的投影有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: 目录 上页 下页 返回 结束 对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得, 则 目录 上页 下页 返回 结束 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义：定义：目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若之间无公共内点, 则(2) 用 表示 的反向曲面, 则目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则证证: 取上侧,目录 上页 下页 返回 结束 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画目录 上页 下页 返回 结束 令向量形式( A 在 n 上的投影)目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:。求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解解: 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算曲面积分其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =原式 =目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在面 所围成, 则有 (Gauss 公式公式)高斯 的方向取外侧, 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解解: 作辅助面取上侧介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.所围区域为 ,则 目录 上页 下页 返回 结束 一一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一证证:情形情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则(利用格林公式) 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为 , 取上侧,则个边界, 方向如图所示. 利用对称性目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, 解解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式其他形式 计算结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！84