第六章空间任意力系2024年年7月月25日日Noncoplanar Force System 6-16-1 空间任意力系的简化空间任意力系的简化 6-26-2 空间任意力系的平衡问题空间任意力系的平衡问题 6-36-3 平行力系的中心与重心平行力系的中心与重心 6-46-4 结论与讨论结论与讨论目录空空间间任任意意力力系系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间平行力系空间平行力系平面任意力系平面任意力系1 1、空间汇交力系的合成与平衡条件、空间汇交力系的合成与平衡条件合成合成 空间汇交力系的合力等空间汇交力系的合力等空间汇交力系的合力等空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的于各分力的矢量和，合力的于各分力的矢量和，合力的于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。作用线通过汇交点。作用线通过汇交点。作用线通过汇交点。yzOx平衡平衡平衡条件：平衡条件：平衡方程：平衡方程：1 1、空间汇交力系的合成与平衡条件、空间汇交力系的合成与平衡条件合力偶矩矢：合力偶矩矢：zOxyABC2 2、空间力偶系的合成与平衡条件、空间力偶系的合成与平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件 平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程 2 2、空间力偶系的合成与平衡条件、空间力偶系的合成与平衡条件OyxzxzyO6-1 空间任意力系的简化空间任意力系的简化主矢主矢 主矩主矩zABCOxyxzyO主矢主矢 主矩主矩 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。主矩与简化中心的选择无关。1. 1. 空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形6-2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析(补充补充补充补充)xzyO2. 2. 空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心oo1doo1doO 力螺旋力螺旋 左螺旋左螺旋 右螺旋右螺旋3. 3. 空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形OOO原力系平衡原力系平衡4. 4. 空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系简化为平衡的情形空间任意力系简化为平衡的情形OOOO1d空间任意力系简化结果总结：空间任意力系简化结果总结：主主 矢矢主主 矩矩最后结果最后结果说说 明明平衡平衡合力偶合力偶此时主矩与简化中心的位置无关此时主矩与简化中心的位置无关合力合力力螺旋力螺旋力螺旋力螺旋合力作用线离简化中心合力作用线离简化中心O的距离的距离力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴离简化中心力螺旋的中心轴离简化中心O的距离为的距离为 与与 成成 角角合力合力合力作用线通过简化中心合力作用线通过简化中心OOxyzABCDEGH 棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。则的正方体上作用的力系如图示。则（1）力系的主矢量；）力系的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；方向投影的大小；（3）力系对）力系对 AC 轴之矩；轴之矩；（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。例例例例 题题题题 5 5解解: （1）力系的主矢量）力系的主矢量OxyzABCDEGH（2）主矢量在主矢量在 OE 方向投影的大小方向投影的大小（3）力系对）力系对 AC 轴之矩轴之矩BEOxyzACDGHxyz（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小BEOxyzACDGHxyz6-3 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程平衡条件：平衡条件：xzyOzABCOxy空间平行力系空间平行力系平面任意力系平面任意力系6-3 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程平衡方程平衡方程:6-3 空间约束类型空间约束类型 及其约束力及其约束力（1）空间铰链：）空间铰链：（2）径向轴承：）径向轴承：（3）径向止推轴承：）径向止推轴承：（4）空间固定端：）空间固定端：已知：已知： Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m， = 30求：各轮的支持力。又当求：各轮的支持力。又当= 0时，时， 最大最大载重载重Pmax是多少是多少。解解: 取起重机为研究对象取起重机为研究对象解得解得: FA=19.3 kN， FB=57.3 kN， FC=43.4 kN6-4 空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例例例例例 题题题题 6 6AB,CDHzCABEHDxy alAB,CDHzCABEHDxy al（2）当当 = 0，由上式第一个方程得：，由上式第一个方程得：为确保安全，必须：为确保安全，必须：FA0解得解得: FA=19.3 kN， FB=57.3 kN， FC=43.4 kN已知：已知：a =300mm，b=400mm，c =600mm，R=250mm，r =100mm，P=10kN，F1= 2F2。求：求： F1、F2 及及A、B处约束力。处约束力。例例例例 题题题题 7 7abcABxzyabcABxzy解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象yABCDM1M2M3bcaxz已知：力偶矩已知：力偶矩 M2 和和 M3求：平衡时求：平衡时 M1 和支座和支座A、D的约束力。的约束力。例例例例 题题题题 8 8解：取曲杆为研究对象解：取曲杆为研究对象yABCDM1M2M3bcaxz解得：解得：解解: 取板为研究对象取板为研究对象已知：等边三角形板的边长为已知：等边三角形板的边长为a，在板面内作用一矩为在板面内作用一矩为M的力偶，板、的力偶，板、杆自重不计；杆自重不计；求：杆的内力。求：杆的内力。MACBDEF303030123456例例例例 题题题题 9 9解得：解得：由合力矩定理，得由合力矩定理，得若物体是连续均质的，得若物体是连续均质的，得6-5 重心重心1. 重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式zOxyCVixCyCzCxiyizi曲面：曲面：曲线：曲线：均质物体的重心就是几何中心，通常称均质物体的重心就是几何中心，通常称 形心形心oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mm(a) 分割法分割法x1=15, y1=45, A1=300x2=5, y2=30, A2=400x3=15, y3=5, A3=300解解: 建立图示坐标系建立图示坐标系求：求：Z 形截面重心形截面重心。例例例例 题题题题 10102. 用组合法求重心用组合法求重心(b)负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）40mm50mmxyo20mm解：建立图示坐标系，由对解：建立图示坐标系，由对称性可知：称性可知：yC=0求：图示截面重心。求：图示截面重心。例例例例 题题题题 1111 (a) 悬挂法悬挂法AABC3. 用实验方法测定重心的位置用实验方法测定重心的位置ED (b) 称重法称重法第一步：第一步：第二步：第二步： 若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独立平衡方程有立平衡方程有 个；个； 若各力的作用线都垂直于某平面，则若各力的作用线都垂直于某平面，则其最多的独立平衡方程有其最多的独立平衡方程有 个；个； 若各力的作用线都与某若各力的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程有一直线相交，则其最多的独立平衡方程有 个。个。 思考题5 53 35 51. 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 直直接接投投影影法法6-6 结论与讨论结论与讨论Oxyz二次投影法二次投影法yzOx2. 力矩的计算力矩的计算（1）力对点的矩）力对点的矩 OA(x,y,z)Bhyxz 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。面上的投影对轴与平面交点的矩。（2）力对轴的矩）力对轴的矩 yzOxA(x,y,z)BabxyOABabhz（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系）力对点的矩与力对轴的矩的关系 力对点的矩矢在通过该点力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。轴的矩。3. 合力矩定理合力矩定理 力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。4. 空间力偶及其等效条件空间力偶及其等效条件(1) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(2) 力偶的转向；力偶的转向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。空间力偶的定义空间力偶的定义:空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件:两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。自由矢量自由矢量AB主主 矢矢主主 矩矩最后结果最后结果说说 明明平衡平衡合力偶合力偶此时主矩与简化中心的位置无关此时主矩与简化中心的位置无关合力合力力螺旋力螺旋力螺旋力螺旋合力作用线离简化中心合力作用线离简化中心O的距离的距离力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴离简化中心力螺旋的中心轴离简化中心O的距离为的距离为 与与 成成 角角合力合力合力作用线通过简化中心合力作用线通过简化中心O5. 空间力系的简化与合成空间力系的简化与合成6. 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程基本形式基本形式基本形式基本形式空间汇交力系空间汇交力系平面任意力系平面任意力系 空间力偶系空间力偶系 空间平行力系空间平行力系7. 重重 心心均质物体：均质物体：均质曲面：均质曲面：均质曲线：均质曲线：END OF CHAPTER SIX