6.4 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是虽然都是从从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲点，但它们的弯曲方向却不一样。方向却不一样。 L1 是是“凹凹(上凸上凸)”弧，弧，L2是是“凸凸(下凸下凸)”弧弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。曲线的凹凸与拐点(3)K切=f(x)0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.K切=f(x)0y单调递减x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo几何特征y=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.曲线的凹凸与拐点(3)一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方(凹函数凹函数)图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方(凸函凸函数数)曲线的凹凸与拐点(3)的值分别是曲线的凹凸与拐点(3)曲线的凹凸与拐点(3)定义2曲线的凹凸与拐点(3).定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyo123abxyo123曲线的凹凸与拐点ab几何特征凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.x1x2x3x1x2x3曲线的凹凸与拐点(3)定理1定理 1可根据定义进行 证明，下面证明定理 1.二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定曲线的凹凸与拐点(3)曲线的凹凸与拐点(3)定理定理2 2曲线的凹凸与拐点(3)证明证明分别应用分别应用L定理，得定理，得两式相减，得两式相减，得由假设由假设曲线的凹凸与拐点(3)这就证明了这就证明了同理可证（同理可证（1）注注定理的结论可推广到任意区间上定理的结论可推广到任意区间上例例1 1解解注意到注意到,曲线的凹凸与拐点(3)三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .2.2.拐点的求法拐点的求法证证曲线的凹凸与拐点(3)方法方法1:1:曲线的凹凸与拐点(3)例例2 2解解凸的凸的凹的凹的凸的凸的拐点拐点拐点拐点曲线的凹凸与拐点(3)曲线的凹凸与拐点(3)方法方法2:2:例例3 3解解曲线的凹凸与拐点(3)注意注意: :曲线的凹凸与拐点(3)二阶导数变号二阶导数变号，例例5 5解解曲线的凹凸与拐点(3)例例6求曲线求曲线的拐点的拐点解解曲线的凹凸与拐点(3)是拐点是拐点例例7Jensen不等式不等式证证由由Taylor公式，得公式，得曲线的凹凸与拐点(3)各式乘以各式乘以再相加，得再相加，得=1=1曲线的凹凸与拐点(3)曲线的凹凸与拐点(3)思考题思考题曲线的凹凸与拐点(3)思考题解答思考题解答例例曲线的凹凸与拐点(3)小结:作业:1.如何来研究函数的凹凸性.2.凹与凸的定义 , 拐点的定义.3.凹与凸的判定.P153:1,2,3,4,5.曲线的凹凸与拐点(3)