13.3 移动平均过程移动平均过程MA(q)一、移动平均过程的概念一、移动平均过程的概念设有无穷自回归过程(13.3.1) 其中ut为白噪声，1。(13.3.1)的滞后算符形式(1+ L +2L2 +3L3 + ) yt = ut (13.3.2)因为 (1+ L +2L2 +3L3 +)-1 = 1- L (13.3.3)所以，(13.3.2)可以改写成 (13.3.4)由(13.3.4)可以看出yt可以表示成两个白噪声的加权和。我们把由白噪声序列各元素的加权和表示的随机过程称为移动平均过程，过程中参数的数目称为移动平均过程的阶。q阶移动平均(Moving Average)过程简记为MA(q)。它的形式是 (13.3.5)或写成更一般的形式： (13.3.5)显然,( 13.3.4)便是一阶移动平均过程MA(1)，而且它可以由无穷自回归过程(13.3.1)转换而成。二、移动平均过程的可转换条件二、移动平均过程的可转换条件在13.2中，我们已经知道，自回归过程满足平稳条件时，有限阶自回归过程(13.2.2)可以转化为无穷阶移动平均过程(13.2.10)，即表示成白噪声序列各元素的线性组合。那么,移动平均过程是否能转换为自回归过程?应该说，在一定条件下是可以转换的。为此我们把(13.3.5)改写成 (13.3.6) 引进算符多项式： (13.3.7) 称为q 阶移动平均算符。利用(13.3.7)可将(13.3.6)表示为 (10.3.8) 或 (13.3.9) 如果 收敛，那么(13.3.9)式表示移动平均过程可以表示成自回归过程。与自回归过程讨论类似， 收敛的充要条件是 的特征方程：(13.3.10) 的所有的根的模大于1即z1，也就是这些根都在复单位圆的外面。这个条件称为移动平均过程的可转换条件。满足这个条件的移动平均过程称为可逆的(Invertible)。今后如果没有特别声明，我们总是假定所有移动平均过程都是可逆。这个结论的直接应用是，我们可以将阶数很高的自回归过程近似地用阶数较低的移动平均过程来代替，而将阶数很高的移动平均过程近似地用阶数较低的自回归过程来代替，从而实现用尽可能少的参数来构造随机过程模型的目的。三、移动平均过程阶数的确定三、移动平均过程阶数的确定对于给定的样本，怎样为生成移动平均过程确定合适的阶数?为了回答这个问题，我们首先来研究反映移动平均过程特征的自相关函数。(一一)自相关函数自相关函数为了讨论方便，我们先研究MA(1)过程(13.3.11) 因为ut和ut-1是白噪声，所以，它的期望值为 (13.3.12)方差为 (13.3.13)协方差 (13.3.14) 以上讨论表明(13.3.11)是平稳的。由于 不依赖时间t，而只依赖k，所以可以用 表示。于是，自相关函数为(13.3.15) (13.3.15)式表明MA(1)只有1期记忆，即当k1时 =0。 对MA(q)模型： (13.3.16) 与MA(1)的推导过程类似，可得结果： (13.3.17) (k =1，2，q) (13.3.18)于是 (13.3.19) 对平稳过程，方差 必须有限，因此要求 ，对无穷阶移动平均过程要求 。这意味着 的绝对值必须随q的增大而减少。 由(13.3.19)试算可以看出，MA(q)的 也将随k的增大而减少，与自回归过程不同的是当 kq时，k = 0。这表明MA(q)只有q期记忆，即当kq时，k = 0。(二二)阶数的确定阶数的确定MA(q)只有q期记忆这一重要性质，可以帮助我们对模型进行识别。假设时间序列样本 已经给定，我们便可利用(13.1.14)公式：(13.3.20) (这里的已经中心化了，即 =0。)计算出各阶自相关函数的估计值 ,然后对每一个 (k =1，2，)进行显著检验。可以证明，当样本容量很大时， 近似服从期望值为0，方差为 的正态分布。于是可以有与自回归过程类似的检验方法：1.构造95%的置信区间 2.计算样本的各阶自相关系数 (k = 1，2，3，)。3.考察 是否落在这一区间之内。如果 的数值落在此区间之外，表明k显著 (即k 0)，否则不显著(即k = 0)。若对k q时，k皆显著，对kq时，k皆不显著，则在0.05显著水平下，产生样本的移动平均过程的阶数确定为q。四、移动平均过程的参数估计四、移动平均过程的参数估计设有移动平均过程MA(q)(13.3.21) 估计参数的直观想法是利用 与之间的关系 (k =1，2，q) (13.3.22) 将此式中的k用相应的估计值代替，便得到关于的q个非线性代数方程，解这个非线性方程组便可得到q个的估计值。(这只是理论上的求解，实际上我们可以利用EViews进行计算）例例13.3.1：样本调查资料如表13.3.1表示。 日期日期2-0.058140.06830.058150.59540.72916-0.21750.28017-1.02361.02718-0.22670.67019-0.26180.559200.3789-0.48221-0.12810-1.46222-1.00311-2.039231.19712-1.306242.064130.037首先根据数据表13.3.1，计算样本自相关系数，列表于表13.3.2。 样本自相关系数 表13.3.2k123450.4840.002-0.127-0.207-0.132对k进行显著性检验，先构造区间 (13.3.24) 与置信区间(13.3.24)进行比较，如图13.3.1所示：图13.3.1 自相关系数估计值显著性检验可以看出，只有 = 0.484落在置信区间之外，其余 皆落在区间之内，表明该样本的移动平均过程的阶数为1，即选定MA(1)过程： (13.3.25)由于(13.3.25)估计较繁杂，所以我们直接用EViews软件计算:在工作文件主窗口，点击Quick/Estimate Equation 在Equation Specification 对话框中填入 y ma(1)得到估计结果如图13.3.2所示。图13.3.2由图13.3.2得到MA(1)的表达式：= ut + 0.94 ut-1