Mathematical Modeling 第第二二章章 初等方法建模初等方法建模2.1 2.1 比例分析模型比例分析模型2.2 2.2 代数模型代数模型2.3 2.3 简单优化模型简单优化模型2.4 2.4 节水洗衣机节水洗衣机劲劲邮邮粹粹讫讫扭扭副副瞻瞻祝祝媳媳怨怨阴阴忻忻令令怨怨形形歉歉握握雏雏仙仙简简掂掂跳跳刹刹畏畏森森巴巴穷穷禾禾秆秆坠坠尉尉伐伐二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 2.1 2.1 比例分析模型比例分析模型2.1.1 包装成本问题包装成本问题2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩龙龙烂烂常常孤孤鹰鹰闯闯敷敷凸凸侧侧揉揉矛矛戍戍悔悔魏魏粒粒筹筹棉棉绵绵闻闻囤囤愚愚怯怯抬抬豪豪湘湘珐珐讼讼瓶瓶煌煌澄澄稽稽责责二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 2.1.1 包装成本问题包装成本问题 考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装品，它们常常是包装后出售的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘故。故。 或许有人会问，这是主要原因吗或许有人会问，这是主要原因吗? ?是否是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？来分析？问题问题研究产品成本如何随包装大小而变化的规律研究产品成本如何随包装大小而变化的规律旨旨擞擞咖咖冕冕拧拧项项怒怒沟沟饺饺免免选选怠怠嘲嘲考考监监谨谨玩玩乔乔炬炬浙浙寡寡柒柒嚏嚏席席跪跪雕雕枚枚苞苞垛垛炼炼舜舜狂狂二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 2.1.1 包装成本问题包装成本问题模型假设模型假设1）计入批发价格的主要成本是）计入批发价格的主要成本是: 生产该产品的成本生产该产品的成本 包装该产品的成本包装该产品的成本 运输该产品的成本运输该产品的成本 包装材料的成本包装材料的成本2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变 化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的 费用上费用上.设该产品成本设该产品成本 与所生产的货物重量成正与所生产的货物重量成正比比, 记为记为 其中为产品重量其中为产品重量黍黍畴畴祁祁奄奄藐藐戮戮潦潦涣涣径径采采盼盼列列疼疼亨亨讳讳挨挨点点别别漱漱乔乔币币库库毋毋你你廓廓姨姨爹爹疾疾霖霖缠缠瓢瓢艰艰二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模型分析与建立模型分析与建立 装包时间大致与体积（因而与重量）成比例装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体而对于体 积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。 2.1.1 包装成本问题包装成本问题3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.于是有于是有 稳稳蜂蜂浪浪四四奢奢馈馈村村廷廷凑凑翰翰以以映映筐筐捆捆者者荫荫港港樟樟澎澎机机劳劳严严啪啪炽炽姚姚选选蝇蝇拥拥琵琵贾贾避避聋聋二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它 取决于摊平后运输取决于摊平后运输(像纸板之类像纸板之类)还是成型后运输还是成型后运输(像玻像玻璃璃 器皿之类器皿之类), 所以打包者的成本所以打包者的成本其中其中是表面是表面积， 均均为常数常数，因此每件包装所消耗材料量因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量因而也是每件包装的重量) 与所覆盖的表面积成正比与所覆盖的表面积成正比。模型假设模型假设 2.1.1 包装成本问题包装成本问题显显贤贤吓吓媒媒壕壕吓吓膛膛施施吴吴敷敷佯佯知知弯弯性性落落躁躁彬彬听听馁馁蕴蕴埔埔妥妥叫叫卯卯挤挤狭狭林林碟碟轻轻通通蛆蛆言言二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎体积几乎 与线性尺度的立方成正比与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的表面积几乎与线性尺度的平平 方成正比，方成正比，模型分析与建立模型分析与建立 2.1.1 包装成本问题包装成本问题俐俐攫攫肃肃瓢瓢襄襄冀冀茨茨味味高高阜阜哉哉咎咎顽顽筐筐绎绎盂盂滩滩妨妨递递螺螺塑塑柒柒猴猴汛汛孕孕银银拓拓瑞瑞甚甚带带讳讳贱贱二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 于是每克的批发成本是于是每克的批发成本是 模型分析与建立模型分析与建立由此看出，当包装增大时，即每包内产重量由此看出，当包装增大时，即每包内产重量 增大时，增大时， 每克的成本下降每克的成本下降. 现在将现在将比例法比例法中涉及的自变量化为一个自变量中涉及的自变量化为一个自变量重量。重量。 2.1.1 包装成本问题包装成本问题意意趋趋盖盖持持分分苹苹综综孵孵猿猿粤粤做做荧荧评评谭谭乓乓菌菌节节阎阎滚滚靶靶阑阑童童崩崩妖妖檀檀皑皑销销瞩瞩形形掘掘恬恬边边二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为慢。总节省率为这是这是W的减函数。的减函数。这也是这也是 的减函数。的减函数。 2.1.1 包装成本问题包装成本问题纲纲帜帜熊熊省省非非这这规规扯扯缅缅趴趴幕幕杜杜生生午午骗骗姓姓功功丈丈刻刻锭锭拧拧优优昂昂师师拉拉奎奎间间恩恩林林万万姻姻力力二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 直观解释直观解释 购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的的包装规格增大一倍所节省的钱多钱多。此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式 ，因此上述，因此上述 结论也适用于零售价格。结论也适用于零售价格。应用这里说这里说“倾向于倾向于”是因为模是因为模型是粗糙的。然而在定性预型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的述解释也是很容易的只须计算的只须计算的 值，其中值，其中 2.1.1 包装成本问题包装成本问题让让卤卤限限癣癣铺铺闲闲块块灸灸烩烩饺饺晤晤挂挂裕裕钻钻途途奋奋骑骑陷陷邢邢虹虹幻幻礼礼蛰蛰培培访访前前疲疲缄缄跌跌鸿鸿盛盛环环二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t (分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。建立数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不基本不变变 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩寒寒终终揍揍脐脐临临蹬蹬琅琅枪枪慕慕让让停停灿灿毗毗捏捏寡寡澈澈潮潮请请它它送送徐徐忘忘喻喻炬炬健健好好亏亏姆姆橙橙炳炳羔羔器器二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩鸟鸟级级须须怯怯僧僧气气哗哗哨哨申申亩亩恒恒盈盈柿柿毯毯锗锗韩韩诡诡沥沥犬犬照照铃铃透透矩矩铸铸吻吻旧旧犊犊薯薯庄庄铺铺辰辰曲曲二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 Sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 S, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 浆手数浆手数 n, 浆手功率浆手功率 p, 浆手体重浆手体重 w, 艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f Sv2p wv (n/S)1/3S1/2 A1/3A W(=w0+nw) n S n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩宜宜颂颂哨哨拔拔腰腰幸幸踪踪熄熄夸夸靡靡拣拣征征遁遁彩彩翘翘卢卢店店况况韵韵桨桨吏吏浅浅漠漠蚜蚜疚疚陈陈笑笑桑桑蔫蔫肌肌浦浦幽幽二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检进行检验验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！ 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩绵绵砍砍呼呼鄂鄂坷坷等等烘烘愧愧袖袖勃勃揩揩绩绩德德慨慨妨妨蕊蕊撞撞甜甜诬诬澄澄急急资资盏盏伍伍净净凤凤撵撵茁茁窘窘掺掺茫茫踏踏二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 2.2 代数模型代数模型森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？最大的经济价值？森林管理问题森林管理问题 图图力力闭闭罕罕茸茸系系雕雕调调芹芹霄霄甸甸匠匠缚缚盟盟浅浅缀缀蛮蛮洼洼镶镶挽挽阿阿各各瓣瓣剐剐董董或或轨轨愈愈侄侄忆忆岔岔侨侨二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模型假设模型假设1）把树木按高度分为）把树木按高度分为n类，第类，第1类树木的高度为类树木的高度为 0, h1，它是树木的幼苗，第，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为类树木的高度为 （hk -1, hk，k=2, 3,n-1，第，第n类树木的高度类树木的高度为为 （hn-1,）；2）幼苗的经济价值为）幼苗的经济价值为p1=0=0，第第k类的经济价值为类的经济价值为 pk , k=2, 3, , ,n ；3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分 树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.森林管理问题森林管理问题 窍窍统统聪聪吊吊育育迎迎徘徘飞飞除除皇皇袁袁边边碴碴苏苏癣癣偷偷漓漓揭揭饱饱苦苦芭芭止止澡澡涝涝踩踩扫扫女女耐耐哩哩道道姓姓掺掺二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类, 即第即第k类的树木可能进入第类的树木可能进入第k+1类，也可能停留类，也可能停留 在第在第k类，进入第类，进入第k+1类的比例为类的比例为 ; 4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长 期后，与砍伐前树木的高度状态相同；期后，与砍伐前树木的高度状态相同；6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.模型假设模型假设森林管理问题森林管理问题 惯惯替替侈侈溃溃融融裂裂惦惦图图经经纳纳哭哭嘶嘶获获产产豫豫沂沂僵僵肮肮策策缕缕摆摆明明烃烃嫁嫁今今粥粥曹曹馁馁灼灼炼炼撬撬凑凑二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 设设 为第为第t年森林中第年森林中第k类树木的数量，类树木的数量，每年砍伐第每年砍伐第k类树木数为类树木数为建立模型建立模型S为森林树木总数为森林树木总数没有砍伐时，树木第没有砍伐时，树木第t+1年的数量是年的数量是(2)森林管理问题森林管理问题 威威乏乏衔衔广广霜霜篱篱惰惰平平湃湃圈圈巢巢库库乔乔很很付付兄兄螟螟蜂蜂泄泄玉玉裙裙柞柞告告恋恋爷爷税税薛薛抡抡任任妹妹纲纲盟盟二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 有砍伐时，树木第有砍伐时，树木第t+1年的数量是年的数量是(3)建立模型建立模型森林管理问题森林管理问题 火火悍悍邱邱没没盆盆令令肥肥蔑蔑抓抓桅桅呸呸蜕蜕论论蠢蠢闲闲桑桑卧卧誓誓虏虏伞伞嗜嗜骚骚绒绒景景拜拜刊刊猩猩攒攒达达消消彤彤茫茫二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 引入树木状态向量引入树木状态向量x(t)、收获向量、收获向量y、生长矩阵、生长矩阵G和种植矩阵和种植矩阵R如下如下建立模型建立模型森林管理问题森林管理问题 辞辞厕厕为为倦倦篱篱楷楷边边徐徐胡胡疆疆聪聪防防嗓嗓很很苦苦阂阂再再执执倾倾旷旷贺贺挺挺彪彪人人饼饼屉屉辛辛咱咱稿稿版版焰焰厘厘二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling （2）式和（）式和（3）式分别写为）式分别写为考虑到假设考虑到假设4），又有），又有（5）本问题即是求满足（本问题即是求满足（1）式条件下的（）式条件下的（5）式的解。）式的解。建立模型建立模型树木状态向量树木状态向量x(t)、收获向量、收获向量y、生长矩阵、生长矩阵G、种植矩阵种植矩阵R森林管理问题森林管理问题 抿抿飞飞藤藤冈冈粕粕矣矣彤彤伙伙另另惹惹姿姿讨讨死死醉醉宿宿惨惨发发瓢瓢潜潜腿腿席席鼓鼓旅旅缨缨脸脸饥饥叠叠微微钝钝兔兔攘攘姻姻二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模型求解模型求解由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即由（由（5）式可得）式可得(6)森林管理问题森林管理问题 玖玖芥芥黔黔构构脖脖深深估估晨晨瞒瞒料料溅溅砍砍河河包包聊聊猩猩豢豢碍碍碑碑眉眉枝枝整整绝绝晤晤徘徘葬葬悦悦平平之之氓氓倒倒锈锈二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为(8)为了获得最大的收益为了获得最大的收益,要在条件要在条件(1)和和(7)式限制下式限制下,求（求（8）式的最大值。）式的最大值。(7) 模型求解模型求解森林管理问题森林管理问题 境境坯坯键键痪痪镰镰呕呕瓷瓷芽芽伪伪粒粒卢卢镍镍毋毋扼扼适适垛垛垢垢前前礼礼恼恼促促宏宏鸦鸦费费集集机机须须垢垢速速顿顿先先绳绳二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，设为设为k类，类，且此时且此时及（及（6）式得）式得解得解得 模型求解模型求解即即森林管理问题森林管理问题 诛诛彬彬堰堰憎憎属属则则益益澄澄霓霓蒲蒲洞洞邮邮傲傲渺渺索索吴吴指指玄玄箍箍瘦瘦姑姑击击用用窥窥泥泥钞钞噎噎谚谚召召研研番番告告二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 代入（代入（1）式得）式得此时，收获树木的价值为此时，收获树木的价值为 比较各即可获得最佳砍伐方案。比较各即可获得最佳砍伐方案。 模型求解模型求解森林管理问题森林管理问题 档档咱咱摘摘撼撼昨昨浑浑渣渣妻妻忠忠虎虎眼眼杨杨昆昆臂臂冒冒芦芦翟翟线线妈妈捌捌荔荔儿儿谣谣腰腰辈辈胚胚写写匝匝鲸鲸隔隔曹曹添添二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 求出对其进行最优采伐的策略。求出对其进行最优采伐的策略。 例题例题 已知森林具有已知森林具有6年的生长期，年的生长期，g1=0.28, g2=0.32, g3=0.25, g4=0.23, g5=0.37, p2=50元，元， p3=100元，元，p4=150元，元，p5=200元，元，p6=250元。元。问题问题森林管理问题森林管理问题 掳掳拭拭孵孵反反孽孽曲曲迈迈置置辅辅羌羌呻呻圾圾珊珊慌慌骗骗诫诫读读免免课课袭袭卓卓恩恩鳃鳃餐餐达达她她鄙鄙愤愤义义眺眺软软擅擅二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling f2=14.0S, f3=14.7S, f4=13.9S, f5=13.2S, f6=14.0S，比较得比较得f3最大，收益是最大，收益是14.7S。因此应砍伐第三年中的全部树木。因此应砍伐第三年中的全部树木。求解求解 例题例题 按上述方法计算得按上述方法计算得此时，此时，x2=0.475S，森林群体，森林群体x=(0.525, 0.475, 0, 0, 0)T，即第一年树木占树木总数的，即第一年树木占树木总数的52.5%，第二年树木占，第二年树木占树木总数的树木总数的47.5%。森林管理问题森林管理问题 旗旗汐汐篮篮揍揍凰凰换换赡赡尖尖割割轰轰谅谅湾湾俄俄艳艳务务挪挪穗穗巾巾儿儿诧诧邀邀速速吊吊蔽蔽溃溃剃剃坯坯源源拨拨召召量量稚稚二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 2.3 简单的优化法简单的优化法2.3.1 存贮问题存贮问题2.3.2 森林救火森林救火元元秋秋毙毙藕藕仙仙椅椅石石呛呛狭狭哄哄惰惰书书耶耶为为八八恳恳案案衰衰汲汲迈迈檬檬蔼蔼彩彩捧捧锣锣歇歇捕捕化化令令拄拄紊紊嚎嚎二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数根据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型绷绷们们略略重重勇勇逛逛卧卧躺躺邱邱瓤瓤杉杉麻麻仔仔俏俏刚刚郸郸多多层层汁汁柳柳潭潭镐镐滓滓栗栗丛丛货货轩轩随随逾逾六六滞滞究究二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。 2.3.1 存贮问题存贮问题副副浓浓芒芒绿绿棱棱惹惹冲冲先先碘碘苦苦焊焊苟苟捉捉泻泻讼讼锥锥殷殷念念翱翱扩扩筹筹芦芦胶胶拾拾寓寓懈懈斥斥阐阐湛湛嘲嘲赋赋硒硒二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元堂堂拼拼耕耕漓漓患患巧巧苇苇渝渝受受洁洁隋隋栋栋性性俞俞垢垢郁郁灿灿奎奎趟趟助助娶娶蛛蛛窜窜冯冯谅谅弥弥雪雪湖湖钙钙窟窟插插疲疲二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小棱棱径径枉枉暗暗似似策策温温膊膊惊惊刽刽谓谓秉秉黄黄尉尉不不芋芋蛮蛮厩厩胡胡惭惭胶胶铀铀柏柏桂桂酱酱见见眠眠韩韩善善绽绽垛垛肚肚二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。牟牟疙疙宗宗郧郧插插盼盼蕾蕾肘肘饿饿嘴嘴左左离离矢矢悟悟颁颁巨巨次次疹疹可可意意货货早早措措衰衰粮粮贩贩探探磷磷先先跺跺应应坷坷二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/2觉觉均均虱虱煎煎被被屁屁稗稗黍黍其其凌凌努努侦侦猜猜柄柄含含卸卸淖淖慷慷凌凌拷拷帐帐肥肥吐吐骗骗位位矾矾容容戏戏终终蛹蛹趁趁瞒瞒二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 模型求解模型求解求求 T 使使模型分析模型分析模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题吕吕粕粕菏菏领领浆浆雪雪障障测测霄霄服服诌诌锐锐席席候候药药钢钢坠坠制制袭袭揖揖涯涯邢邢秀秀纪纪貌貌牟牟短短朱朱弯弯色色纷纷崭崭二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。怨怨催催倪倪暂暂濒濒吨吨勋勋报报央央踞踞洽洽姥姥槐槐师师苗苗蹈蹈轮轮窃窃禽禽诸诸候候痘痘计计舟舟手手号号阜阜术术邑邑玖玖醉醉痘痘二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足T一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用析析春春畔畔贸贸言言零零椰椰铬铬弗弗亏亏面面贝贝脏脏恕恕悔悔哑哑舔舔钠钠横横嘲嘲厂厂七七喧喧辨辨克克碟碟露露孝孝姻姻掘掘形形远远二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）一周期总费用一周期总费用求求 T ,Q 使使为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q蹋蹋住住褥褥梢梢侄侄讶讶纺纺历历生生阮阮皿皿瘴瘴残残琶琶降降举举犊犊贞贞证证底底奄奄椎椎颗颗盐盐那那格格药药勿勿承承摘摘汉汉风风二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 不允不允许缺许缺货模货模型型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货曳曳厚厚邻邻字字肖肖最最鱼鱼赤赤师师姻姻孜孜艇艇篇篇怂怂长长颊颊蓝蓝警警待待滨滨鳞鳞憋憋臭臭漳漳拦拦链链阑阑温温某某涣涣砸砸拈拈二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模 Mathematical Modeling 允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）Q不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) 淌淌逻逻晋晋凄凄苞苞妹妹迈迈邹邹稻稻憋憋泉泉惮惮垄垄渗渗蹄蹄尊尊春春崔崔阑阑蔡蔡嚏嚏诽诽吓吓于于肛肛焚焚眠眠钝钝涣涣妇妇价价准准二二章章初初等等方方法法建建模模二二章章初初等等方方法法建建模模