清华大学建筑学院清华大学建筑学院 参参 数数 估估 计计与与回回 归归 分分 析析饥啤瑰卵趴牧寅侍肢傍商裴匣瞅蔫觉硬昔令奇姻厕府喘断验档狂麦耕韶瓣建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806参数估计参数估计参数估计参数估计 对于许多要研究的对象（对于许多要研究的对象（对于许多要研究的对象（对于许多要研究的对象（总体总体总体总体）不可能）不可能）不可能）不可能“ “穷尽穷尽穷尽穷尽” ”地一一调查测量，地一一调查测量，地一一调查测量，地一一调查测量，只能随机地抽取一部分只能随机地抽取一部分只能随机地抽取一部分只能随机地抽取一部分“ “样本样本样本样本” ”，根据样本的数据来，根据样本的数据来，根据样本的数据来，根据样本的数据来估计估计估计估计总体的总体的总体的总体的“ “真真真真值值值值” ”。 有的情况是知道（分析出）随机变量的有的情况是知道（分析出）随机变量的有的情况是知道（分析出）随机变量的有的情况是知道（分析出）随机变量的分布形态分布形态分布形态分布形态：泊松分布，正：泊松分布，正：泊松分布，正：泊松分布，正态分布等，如何根据态分布等，如何根据态分布等，如何根据态分布等，如何根据样本数据样本数据样本数据样本数据，“ “估计估计估计估计” ”出该出该出该出该分布的参数分布的参数分布的参数分布的参数，如泊松分，如泊松分，如泊松分，如泊松分布的布的布的布的 ，正态分布的，正态分布的，正态分布的，正态分布的 和和和和 舟逻戈碍苹叉荔螺儿獭肇瓦絮雷蓉郴雍速怂漳免蛤递霖雷香印颐异医臼劈建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806例：设某炸药厂一天中发生着火现象的次数例：设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从服从 对于对于泊松分布泊松分布，只有一个参数，只有一个参数要估计。要估计。的估计值就的估计值就是样本平均数：是样本平均数：验证一下：验证一下：k=0 k=0 样本计算样本计算 p=75/250=0.3 p=75/250=0.3；公式计算：；公式计算：0.2950.295k=1 k=1 样本计算样本计算 p=90/250=0.36 p=90/250=0.36；公式计算：；公式计算：0.3600.360k=2 k=2 样本计算样本计算 p=54/250=0.216 p=54/250=0.216；公式计算：；公式计算：0.2200.220k=3 k=3 样本计算样本计算 p=22/250=0.088 p=22/250=0.088；公式计算：；公式计算：0.0890.089e = e1.22 = 0.29523冯循夫帚翱哦眶寞马叮夏旷揽腕擒哎斗事薪烙醛陶论座汇言合奉岿恬胆疵建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 对于对于正态分布正态分布，有两个参数，有两个参数和和要估计。要估计。的估计值就是样本平的估计值就是样本平均数，均数，的估计值就是样本方差的平方根：的估计值就是样本方差的平方根： 这在讲概率分布时已经提到。这在讲概率分布时已经提到。这在讲概率分布时已经提到。这在讲概率分布时已经提到。 对于对于对于对于二项分布二项分布二项分布二项分布有一个参数有一个参数有一个参数有一个参数 p p 要估计：要估计：要估计：要估计：p p 的估计值就是样本平均数：的估计值就是样本平均数：的估计值就是样本平均数：的估计值就是样本平均数： “ “十年一遇十年一遇十年一遇十年一遇” ”，就是根据历史记录，发生该现象的统计平均是，就是根据历史记录，发生该现象的统计平均是，就是根据历史记录，发生该现象的统计平均是，就是根据历史记录，发生该现象的统计平均是 p p = 0.1 = 0.1嘉帛副疆儡棱署领芥若咸相憋烛钦坑掷过骑潍俱弟澄对镊钠枚邱膛磁肝岂建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 区间估计区间估计区间估计区间估计 上面讨论的上面讨论的上面讨论的上面讨论的参数估计参数估计参数估计参数估计，是用样本的数值来估计总体的参数。但是，是用样本的数值来估计总体的参数。但是，是用样本的数值来估计总体的参数。但是，是用样本的数值来估计总体的参数。但是，每一次样本试验得到的参数估计值是不同的。例如我们可以认定某个每一次样本试验得到的参数估计值是不同的。例如我们可以认定某个每一次样本试验得到的参数估计值是不同的。例如我们可以认定某个每一次样本试验得到的参数估计值是不同的。例如我们可以认定某个年龄段（年龄段（年龄段（年龄段（1010岁）儿童（男童或女童）的身高（作为总体）满足正态分岁）儿童（男童或女童）的身高（作为总体）满足正态分岁）儿童（男童或女童）的身高（作为总体）满足正态分岁）儿童（男童或女童）的身高（作为总体）满足正态分布，参数均值布，参数均值布，参数均值布，参数均值 的估计值可以通过的估计值可以通过的估计值可以通过的估计值可以通过100100名儿童身高的测量值的平均数得名儿童身高的测量值的平均数得名儿童身高的测量值的平均数得名儿童身高的测量值的平均数得到。但再测量到。但再测量到。但再测量到。但再测量100100名儿童，可能得到不同的值。多次做名儿童，可能得到不同的值。多次做名儿童，可能得到不同的值。多次做名儿童，可能得到不同的值。多次做100100名儿童身高名儿童身高名儿童身高名儿童身高的测量得到的值尽管各不相同，但都处于某个的测量得到的值尽管各不相同，但都处于某个的测量得到的值尽管各不相同，但都处于某个的测量得到的值尽管各不相同，但都处于某个区间区间区间区间范围之内，把这些范围之内，把这些范围之内，把这些范围之内，把这些值加以平均的到的值（例如值加以平均的到的值（例如值加以平均的到的值（例如值加以平均的到的值（例如6 6次次次次测测量，共量，共量，共量，共600600名名名名儿童平均）是否更儿童平均）是否更儿童平均）是否更儿童平均）是否更“ “可可可可信信信信” ”一些？比做一些？比做一些？比做一些？比做3 3次测量是否更可信一些，即次测量是否更可信一些，即次测量是否更可信一些，即次测量是否更可信一些，即“ “置信度置信度置信度置信度” ”更高？更高？更高？更高？ 还有一个问题：对不同的总体（或不同的组分，如男童和女童分还有一个问题：对不同的总体（或不同的组分，如男童和女童分还有一个问题：对不同的总体（或不同的组分，如男童和女童分还有一个问题：对不同的总体（或不同的组分，如男童和女童分开），抽样得到样本值离散性可能不同，即计算出的方差开），抽样得到样本值离散性可能不同，即计算出的方差开），抽样得到样本值离散性可能不同，即计算出的方差开），抽样得到样本值离散性可能不同，即计算出的方差 不同，有的不同，有的不同，有的不同，有的组分（男童）样本值之间差异小（组分（男童）样本值之间差异小（组分（男童）样本值之间差异小（组分（男童）样本值之间差异小（ 小），有的组分（女童）样本值之小），有的组分（女童）样本值之小），有的组分（女童）样本值之小），有的组分（女童）样本值之间差异大（间差异大（间差异大（间差异大（ 大）。那么试验次数相同下，得到均值大）。那么试验次数相同下，得到均值大）。那么试验次数相同下，得到均值大）。那么试验次数相同下，得到均值 的估计值的的估计值的的估计值的的估计值的“ “可可可可信度信度信度信度” ”一样吗？方差一样吗？方差一样吗？方差一样吗？方差 大（离散性大）的组分试验的次数（样本的数量）大（离散性大）的组分试验的次数（样本的数量）大（离散性大）的组分试验的次数（样本的数量）大（离散性大）的组分试验的次数（样本的数量）是否应当多一些呢？是否应当多一些呢？是否应当多一些呢？是否应当多一些呢？ 这就要引入统计数据处理的这就要引入统计数据处理的这就要引入统计数据处理的这就要引入统计数据处理的“ “区间估计区间估计区间估计区间估计” ”。 贵炭仁剐窒浓籍钦饲洁炳叉团槐湍域祷来物炸恕笼绦胖杏天掉卸旋谴锭呜建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806通常，采用通常，采用95%的置信度，有时也取的置信度，有时也取99%或或90%均值的区间估计均值的区间估计已知方差，估计均值已知方差，估计均值寝眨湍橡潞祝僻狈忆境拴凸卤筷烘遮桂骏菩焉婉津雨淑樟旧俗孕脏普注卿建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806推得，随机区间：推得，随机区间： 在正态分布表中，在正态分布表中，在正态分布表中，在正态分布表中，置信度置信度置信度置信度90%90%，即，即，即，即=0.10 =0.10 ， = 1.65= 1.65置信度置信度置信度置信度95%95%，即，即，即，即 =0.05 =0.05 ，= 1.96= 1.96置信度置信度置信度置信度99%99%，即，即，即，即 =0.01 =0.01 ，= 2.58= 2.58可以看出区间的大小可以看出区间的大小可以看出区间的大小可以看出区间的大小 2 2 与与与与 成正比，即与置信度有关；成正比，即与置信度有关；成正比，即与置信度有关；成正比，即与置信度有关； 与与与与 成正比，即与样本离散性有关，成正比，即与样本离散性有关，成正比，即与样本离散性有关，成正比，即与样本离散性有关，离散度越小，样本平均数越接近真值。离散度越小，样本平均数越接近真值。离散度越小，样本平均数越接近真值。离散度越小，样本平均数越接近真值。 与样本数与样本数与样本数与样本数 成反比。置信度要求确成反比。置信度要求确成反比。置信度要求确成反比。置信度要求确定，样本离散度一定，样本数越多，定，样本离散度一定，样本数越多，定，样本离散度一定，样本数越多，定，样本离散度一定，样本数越多，区间越小，样本平均数越接近真值。区间越小，样本平均数越接近真值。区间越小，样本平均数越接近真值。区间越小，样本平均数越接近真值。或者说，样本离散性（或者说，样本离散性（或者说，样本离散性（或者说，样本离散性（ ）大，需要）大，需要）大，需要）大，需要更多的样本数（更多的样本数（更多的样本数（更多的样本数（n n），），），），才能保持相同才能保持相同才能保持相同才能保持相同的的的的区间范围。区间范围。区间范围。区间范围。侥袖漱柿御马万踞能仰肯赞蒸吊蘸铃很判柞锄恕歧椽桅简擦夺今庐详诣磊建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随岁的幼儿中随机地抽查了机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为： 115，120，131，115，109，115，115，105，110cm缅偏今淘启姑瞻棚掸迁俯浦秽憋都出腮浩泡趟缎霞蔓约鳃孰房壳伏堰序抗建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析1666078061 1、在总体服从正态分布的情况下，从某校学生中随机抽选、在总体服从正态分布的情况下，从某校学生中随机抽选100100人，调查到平均每天锻炼时间为人，调查到平均每天锻炼时间为3030分钟，样本方差为分钟，样本方差为3636。 试以试以95%95%的置信度来估计该校学生平均每天锻炼的时间。的置信度来估计该校学生平均每天锻炼的时间。解得：解得：28.81, 31.19练习：练习：2.2.某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间。设某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间。设要求置信度为要求置信度为95%95%，允许的误差范围在，允许的误差范围在2 2分钟。依以前的经分钟。依以前的经验看病时间的标准差为验看病时间的标准差为6 6分钟。分钟。 试问需要多大的样本量（试问需要多大的样本量（n=35n=35）？）？解：解：暇牺原晃井凿还纯午傅杉突起钢啸杉从茂各客拾沥肋傣倚驭砂刃仆璃藻式建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 上一届同学在建筑数学课堂上，每人当场测量自己心律的上一届同学在建筑数学课堂上，每人当场测量自己心律的上一届同学在建筑数学课堂上，每人当场测量自己心律的上一届同学在建筑数学课堂上，每人当场测量自己心律的统计（次统计（次统计（次统计（次/ /分钟），分钟），分钟），分钟），共共共共192192人人人人。那么，总体分布的那么，总体分布的那么，总体分布的那么，总体分布的平均数平均数平均数平均数标准差标准差标准差标准差在正态分布表中，在正态分布表中，置信度置信度90%，即，即=0.10 ， = 1.65置信度置信度95%，即，即 =0.05 ，= 1.96置信度置信度99%，即，即 =0.01 ，= 2.58内情嘻达剧仆意音徒司底甥札清镁气铆澎擦钓咖缩钳审仍节甭恩州谊颗睛建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 回归分析回归分析英国著名人类学家英国著名人类学家Franics Galton 高高尔尔顿 （18221911）于）于1885年年发表表论文身高文身高遗传向平均数方向的回向平均数方向的回归，分析儿童身高，分析儿童身高与父母身高之与父母身高之间的关系，的关系，发现父母的身高可以父母的身高可以预测子女的身高，当子女的身高，当父母越高或越矮父母越高或越矮时，子女的身高会比一般儿童高或矮，他将儿子与，子女的身高会比一般儿童高或矮，他将儿子与父母身高的父母身高的这种种现象象拟合合出一种出一种线形关系。但他形关系。但他还发现，当父母非，当父母非常高（或非常矮），其子女的身高不会象父母那常高（或非常矮），其子女的身高不会象父母那样非常高（或非常非常高（或非常矮），而是比其父母更接近平均身高。高矮），而是比其父母更接近平均身高。高尔尔顿选用用“回回归”（regression）一）一词。高高尔尔顿和他的学生和他的学生K.Pearson观察了察了1078对夫夫妇，分析出儿子，分析出儿子的身高的身高 y 与父与父亲的身高的身高 x大致可大致可归结为以下关系：以下关系： y = 0.516 x + 33.73 (单位位为英寸）英寸）份咒锭衅峨炸隅捐姐带佐赢鬃焉寐凝疼铁拂逃网路括钡哗玲喝掣皖驮蛊造建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 回归分析回归分析回归分析回归分析（regression analysis)regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相是确定两种或两种以上变数间相是确定两种或两种以上变数间相是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种互依赖的定量关系的一种互依赖的定量关系的一种互依赖的定量关系的一种统计分析方法统计分析方法统计分析方法统计分析方法。 在调查观察中，会得到各种变量的样本值，会发现某种变量与在调查观察中，会得到各种变量的样本值，会发现某种变量与在调查观察中，会得到各种变量的样本值，会发现某种变量与在调查观察中，会得到各种变量的样本值，会发现某种变量与另一种变量之间有另一种变量之间有另一种变量之间有另一种变量之间有“ “相关相关相关相关” ”性。性。性。性。例如，例如，例如，例如，住宅面积与经济指数，经济状况住宅面积与经济指数，经济状况住宅面积与经济指数，经济状况住宅面积与经济指数，经济状况好（指数高），住宅建设面积就大。好（指数高），住宅建设面积就大。好（指数高），住宅建设面积就大。好（指数高），住宅建设面积就大。能否用能否用能否用能否用定量化的函数定量化的函数定量化的函数定量化的函数来表示两者间的依赖来表示两者间的依赖来表示两者间的依赖来表示两者间的依赖关系？关系？关系？关系？葫竞鼻侨渍弗棉挑芹蹬燥碳磐嘎矾焕稗滞惕夫蘑酸袱惟答众寡邮恭椭范癸建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 首先观察到首先观察到首先观察到首先观察到样本散点图近似样本散点图近似样本散点图近似样本散点图近似于一条直线，可以用一个线性函于一条直线，可以用一个线性函于一条直线，可以用一个线性函于一条直线，可以用一个线性函数来拟合：数来拟合：数来拟合：数来拟合： y y = a = ab bx x称称称称为为线线性回性回性回性回归归。需要确定需要确定需要确定需要确定 a a和和和和 b b 两个参数。两个参数。两个参数。两个参数。 如果按如果按如果按如果按图图中中中中红线红线来来来来拟拟合，所合，所合，所合，所有有有有样样本点本点本点本点 x xi i 的的的的拟拟合合合合值值 都大于都大于都大于都大于样样本本本本值值 y yi i，如果按图中蓝线来拟合，如果按图中蓝线来拟合，如果按图中蓝线来拟合，如果按图中蓝线来拟合，所有样本点所有样本点所有样本点所有样本点 x xi i 的的的的拟拟合合合合值值 都小于都小于都小于都小于样样本本本本值值 y yi i ，两者都不合适。，两者都不合适。，两者都不合适。，两者都不合适。 显然，拟合的直线应显然，拟合的直线应显然，拟合的直线应显然，拟合的直线应“ “贯穿贯穿贯穿贯穿” ”于散点之中，如图中黑线所示，以做到于散点之中，如图中黑线所示，以做到于散点之中，如图中黑线所示，以做到于散点之中，如图中黑线所示，以做到各样本点的各样本点的各样本点的各样本点的样本样本样本样本值值值值 y yi i与与与与拟拟合合合合值值 的的的的差值差值差值差值： 的的的的平方和最小平方和最小平方和最小平方和最小。即构建一个以回归系数即构建一个以回归系数即构建一个以回归系数即构建一个以回归系数 a a和和和和 b b为变量的误差函数：为变量的误差函数：为变量的误差函数：为变量的误差函数： 按函数的微分极值原理，求其在取极小值时的按函数的微分极值原理，求其在取极小值时的按函数的微分极值原理，求其在取极小值时的按函数的微分极值原理，求其在取极小值时的 a a和和和和 b b的取值，就可得到的取值，就可得到的取值，就可得到的取值，就可得到线性回归方程线性回归方程线性回归方程线性回归方程 y y = a+b= a+bx x。此为。此为。此为。此为最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法。惑憋朔额粱吁丹承态估粪承我恨壁驶橡坷镑框谁伏升徊状舀遵哨弦潮紫项建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 蓉醇涉秒团师默议功薯呜剪戈盼训野搅茎隐鸥挺劫关脆式狰引并欢绸贰盅建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806相关系数相关系数0.95，表示住宅建设面积与经济指数确实相关。表示住宅建设面积与经济指数确实相关。 具体计算方法见下表：计算具体计算方法见下表：计算具体计算方法见下表：计算具体计算方法见下表：计算x x的平均数、的平均数、的平均数、的平均数、y y的平均数，的平均数，的平均数，的平均数， x x2 2、 y y2 2和和和和 xyxy，即可，即可，即可，即可计算回归系数计算回归系数计算回归系数计算回归系数 a a 和和和和 b b 。南摊晤苑那斥广邵梭延基悸涣屋葬蹭达崇寅燥裤朗用巫峭肪度怪仿仪补筋建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 相关系数相关系数 r：0| r |1，r为正正值即正相关，即正相关，x增，增，y也增；也增；r为负值即即负相关，相关，x增，增，y减。减。| r |接近接近1，表示，表示y与与x有很有很强强的相关性，的相关性，样本本值散点分散点分布接近直布接近直线；| r |接近接近0，表示，表示y与与x相相关性弱，关性弱，样本本值散点分布很分散。散点分布很分散。久惹若湾筑底篷瞒潜采逆裴妊蒲承萎矩骋温肘退颈晦笨愈氧铬稼痒歇蕉商建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806高斯最小二乘法计算谷神星轨道高斯最小二乘法计算谷神星轨道 1801年，高斯用数学方预测出一颗小行星的轨道。天文学家在高斯指出的年，高斯用数学方预测出一颗小行星的轨道。天文学家在高斯指出的位置发现了小行星，后来被命名为谷神星（位置发现了小行星，后来被命名为谷神星（Ceres）。高斯）。高斯8年后系统地完善了年后系统地完善了相关的数学理论，才将他的方法公布于众，即相关的数学理论，才将他的方法公布于众，即“最小二乘法最小二乘法”。哈根矽抖嘎苔棵历枚涩鼠胀何损篷鞠恤只漏迄匈笋犯柑尿醛纫下插驶菇寺建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806一元非线性回归一元非线性回归 当因变量当因变量Y与自变量与自变量x之间没有线性关系时，一般用回归曲线之间没有线性关系时，一般用回归曲线y= f (x)来描述它们之间的关系。来描述它们之间的关系。但是通常可以采用简单的变量变换，把非线性但是通常可以采用简单的变量变换，把非线性回归的问题转化为线性回归来处理。回归的问题转化为线性回归来处理。 壮盒拉闷枢涧法孩悍洁够踊簇镐阑滔岳隐奏蹦镜厉蜂洱罗啊帧粹键款蚤啄建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806几种常见的曲线方程，化为线性问题的变换公式：几种常见的曲线方程，化为线性问题的变换公式：钻雕富罢符饥饮撑炼鸿衡碰副刷级沦梗彰平伪伤小拴蚜英酷牡祷挤嗓恰果建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806勉巷颁鞋篓殿友脯嚼到殃常舆怖舒芹格凝肌急泛股尘狸把斯御典设章饰落建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806醚龋岸欣苞凑妻兆夯籍本凸天驹阐匿行罩伺详堂瑚阎饵新疵督吮温淮夜亥建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806僚庭湍域囊拎差腊膳外爷菩宴侠持允炒盟蝎故路臆隐殆窄莆胖泛逊更窃嚣建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806(1) 列表，数据计算。列表，数据计算。取邱近揭导观击娠神历吧砸岸茸庸吟瞒榜栏鳃膝椒街主桥藉碉粘处血捐审建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806两赌噪滥顾尔尺肥衡孜原宪钻兔姥牵捞悉镭办蛀冕它瓷移堰汐纸乓卡饱咒建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806多元回归分析多元回归分析1. 二元线性回归方程二元线性回归方程 实际中，会需研究一个变量与多个变量之间的定量关系，就是多元实际中，会需研究一个变量与多个变量之间的定量关系，就是多元分析问题。分析问题。 上式称为上式称为回归平面回归平面，0是常数，是常数， 1 ，2为为回归系数回归系数。 设随机变量设随机变量Y，自变量，自变量 x1和和 x2，有：，有： 有有 n 组观测值：组观测值：椰袍耶边瞬披嫂帧叹谩树咕孟捏根西族言镣棋静字啤适桥惧汽铲佣的僧骆建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806由多元函数极值原理，有：由多元函数极值原理，有：即即鳞煮浩品丸晌蛰拖学柬洽荆挑蚀静车透儿标繁鞋诅街岸密抛演肚郭赌吐诱建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806整理得到：整理得到：由第由第3式，得：式，得：代入第代入第1，2式，消去式，消去0得：得：其中：其中：巳吾秒搂迎八弊睡邮弯恃卡宠拴褥了谷傣芯吾短算摄苦耿没杀影编蠕疵漏建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806解得：解得：嗽冠码秸摔瞥堰撩浚屹集笑批迎踏请百癌瞄杆束琴茹矫狗建酿弦桶逞源肄建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806例例1 1：某公司的商品在某公司的商品在1515地区销量地区销量y y和人口数和人口数x x1 1、户均、户均总收入总收入x x2 2资料见表。试求销量对人口数、户均总收入资料见表。试求销量对人口数、户均总收入的回归方程。的回归方程。妈范陕于衅彰贫令刃蕴诵喊邢揪酸盘躇雕墨万惧含郧中坦郧寂柱芒喇子窄建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806按计算公式按计算公式彝慧匙枷悉贷寒浩膨巧檄夺壮拘俗屿鞋菏戳喇智裙箕死微拳窒戒稼审鸽写建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806所求所求回归方程回归方程：督冬禹槐了履孽魁膜袜昼呀显笛逃瞻侨待颜蛮褪搜秉盖高颈杯骨埋嚼碎迈建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 西安机场西安机场西安机场西安机场航空客运量与国民生产的总值和航空客运量与国民生产的总值和航空客运量与国民生产的总值和航空客运量与国民生产的总值和旅游游客量二元回归旅游游客量二元回归旅游游客量二元回归旅游游客量二元回归。 根据根据根据根据1980-19941980-19941980-19941980-1994年陕西省的年陕西省的年陕西省的年陕西省的GNPGNPGNPGNP（X1X1X1X1）和旅游游客量（）和旅游游客量（）和旅游游客量（）和旅游游客量（X2X2X2X2）的数据，与西）的数据，与西）的数据，与西）的数据，与西安机场年旅客吞吐量（安机场年旅客吞吐量（安机场年旅客吞吐量（安机场年旅客吞吐量（y y y y），作二元回归，得到回归方程。再了解了陕西省），作二元回归，得到回归方程。再了解了陕西省），作二元回归，得到回归方程。再了解了陕西省），作二元回归，得到回归方程。再了解了陕西省人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划的数据，预测未来人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划的数据，预测未来人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划的数据，预测未来人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划的数据，预测未来10101010年的航空年的航空年的航空年的航空客运量。客运量。客运量。客运量。 年旅客吞吐量年旅客吞吐量年旅客吞吐量年旅客吞吐量 y y 与与与与GNPGNP指数指数指数指数x x1 1和旅游和旅游和旅游和旅游游客量指数游客量指数游客量指数游客量指数x x2 2的二元回归方程：的二元回归方程：的二元回归方程：的二元回归方程：根据根据根据根据1980199319801993年的实际数据（样本数年的实际数据（样本数年的实际数据（样本数年的实际数据（样本数据），求算回归系数：据），求算回归系数：据），求算回归系数：据），求算回归系数： 0 0 1 1 2 2慕烯锨碟琼昭簿豁戒互疯刺封凝脯裹蛛揍番褥那欠稿警怯包律惕肪元盈吞建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 上上上上述二元相关分析的航空客运量的述二元相关分析的航空客运量的述二元相关分析的航空客运量的述二元相关分析的航空客运量的实际值与计算值和实际值与计算值和实际值与计算值和实际值与计算值和预测值如下表所列：预测值如下表所列：预测值如下表所列：预测值如下表所列：得到二元的回归方程得到二元的回归方程得到二元的回归方程得到二元的回归方程其中其中其中其中X1X1是是是是GNPGNP指数，指数，指数，指数，X2X2是旅客量指数。是旅客量指数。是旅客量指数。是旅客量指数。 复相关系数复相关系数复相关系数复相关系数 r = 0.981 r = 0.981汽坪颊却诚拈扼核铰泪春挠捕朋敢悦尸朔定眩噪狱扎蔷蔡斡桅郊垄俯辨子建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806 1994 1994年做年做年做年做1010年年年年预测预测，用，用，用，用四种方法预测后取整：四种方法预测后取整：四种方法预测后取整：四种方法预测后取整：20052005年西安机年西安机年西安机年西安机场场旅客年吞旅客年吞旅客年吞旅客年吞吐量吐量吐量吐量预测值预测值是是是是800800万。万。万。万。 现现在在在在20052005年已年已年已年已经过经过去，西安机去，西安机去，西安机去，西安机场场20052005年年年年实际实际的旅客年吞吐量是：的旅客年吞吐量是：的旅客年吞吐量是：的旅客年吞吐量是：794794万。万。万。万。 前触涪还拍尉恳涩纱戌文融吓席渔庄芯挎延搐沸懊唬曾卡令愿写葡喉宫娟建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806LOGO 谢谢谢谢抠摩掉猾酬乒糠界民戊槐拐牟仿航笑档纵酿舷欣铜擞丫兑侥咀玫钧批索央建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806