第三章 Z变换数字信号处理第3章 Z变换第三章 Z变换数字信号处理第三章学习目标第三章学习目标l掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法l会运用任意方法求z反变换l理解z变换的主要性质l理解z变换与Fourier变换的关系l掌握离散系统的系统函数和频率响应，因果/稳定系统的收敛域第三章 Z变换数字信号处理3.1 Z变换的定义和收敛域一. Z变换的定义双边双边z变换变换 其其中中：z为为复复变变量量，以以其其实实部部为为横横坐坐标标，虚虚部部为为纵纵坐坐标构成的平面称为标构成的平面称为z平面平面。单边单边z变换变换第三章 Z变换数字信号处理二Z变换的收敛域1收收敛敛域域的的定定义义：对对任任意意给给定定序序列列x(n)，使使其其z变换收敛的所有变换收敛的所有z值的集合称为值的集合称为X(z)的收敛域。的收敛域。 2. 收敛条件：收敛条件： 的级数收敛的充的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求 要满足此不等式，要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内值必须在一定范围之内才行，这才行，这个范围就是收敛域。个范围就是收敛域。 第三章 Z变换数字信号处理z平面上的收敛域一般可用环状域表示，即平面上的收敛域一般可用环状域表示，即 Rx-|z|Rx+收敛域是分别以收敛域是分别以Rx-和和Rx+为半径的两个圆所围成的环为半径的两个圆所围成的环状域，状域， Rx-和和Rx+称为收敛半径。称为收敛半径。Rx-可以小到零，可以小到零，Rx+可以大到无穷大。可以大到无穷大。图图3-1 环形收敛域环形收敛域第三章 Z变换数字信号处理由于，收敛域总是用极点限定其边界。3z变换的零极点变换的零极点第三章 Z变换数字信号处理（1 1）有限长序列）有限长序列: : 三几种序列的收敛域其其z变换为变换为收敛域为收敛域为图图3-2 有限长序列及其收敛域有限长序列及其收敛域 （ 除外）除外） 第三章 Z变换数字信号处理另外另外 ，由，由 可见，可见，0与与两点是否收敛与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关，取值情况有关，如果如果n10，则收敛域不包括，则收敛域不包括|z|=0；如果如果n20，则收敛域不包括，则收敛域不包括|z|=。具体有限长序列的收敛域表示如下：具体有限长序列的收敛域表示如下： 第三章 Z变换数字信号处理（1）求矩形序列）求矩形序列的的 z变换变换例题例题3-1（2）求序列）求序列 的的z变换变换第三章 Z变换数字信号处理（2 2）右边右边序列序列: : 其其z变换为变换为其中：其中：Rx-为收敛域的最小半径。为收敛域的最小半径。 右边序列的右边序列的收敛域收敛域第三章 Z变换数字信号处理 图图3-3 右边序列及其收敛域右边序列及其收敛域（n1|a| 这这是是一一个个无无穷穷项项的的等等比比级级数数求求和和，只只有有在在|az-1|a|处收敛处收敛如图如图3-4所示所示。 解解 这是一个因果序列，其这是一个因果序列，其z变换为变换为 由于由于 ， 故在故在z=a处有一极点处有一极点(用用“”表示表示)，收敛域为极点所在圆，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。的外部。 第三章 Z变换数字信号处理图图3-4 的收敛域的收敛域 收收敛敛域域上上函函数数必必须须是是解解析析的的，因因此此收收敛敛域域内内不不允允许许有有极极点点存存在在。所所以以，注注意意：右右边边序序列的列的z变换如果有变换如果有N个有限极点个有限极点 存存在在，那那么么收收敛敛域域一一定定在在模模值值最最大大的的有有限限极极点点所在圆以外，也即所在圆以外，也即但但在在 处处是是否否收收敛敛，则则需需视视序序列列存存在在的的范范围围另另外外加加以以讨讨论论。对对于于因因果果序序列列，处处也也不不能有极点。能有极点。第三章 Z变换数字信号处理例题例题3-3 求求 的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。第三章 Z变换数字信号处理（3 3）左边左边序列序列: : 其其z变换为变换为左边序列的左边序列的收敛域收敛域0|z|0|z| Rx+ 0 |z| Rx+其中：其中：Rx+为收敛域的最大半径。为收敛域的最大半径。注意：注意：若若 n2 0，收敛域包括，收敛域包括|z|=0，即，即|z| 0，故，故 z=0除外）除外）第三章 Z变换数字信号处理 例例3-4： x(n)=-anu(-n-1), 求其求其z变换及收敛域。变换及收敛域。 解：解： 这是一个左边序列。其这是一个左边序列。其z变换为变换为 此等比级数在此等比级数在|a-1z|1，即，即|z|a|处收敛。处收敛。 因此因此 序列序列z变换的收敛域变换的收敛域如图如图2-6所示所示。函数函数 在在z=a处处有有一一极极点点，整整个个收收敛敛域域在在极极点点所所在在圆圆以以内内的的解析区域。解析区域。 第三章 Z变换数字信号处理图图2-6 的收敛域的收敛域 注注意意1：左左边边序序列列的的z变变换换如如果果有有N个个有有限限极极点点 存存在，在，注注意意2：z变变换换后后，只只给给出出z变变换换的的闭闭合合表表达达式式是是不不够够的的,必须同时给出收敛域必须同时给出收敛域,才能唯一地确定一个序列。才能唯一地确定一个序列。 那么收敛域一定在模值最小那么收敛域一定在模值最小的有限极点所在圆之内，即的有限极点所在圆之内，即但在但在 处是否收敛处是否收敛,需视序列需视序列存在的范围另外加以讨论。存在的范围另外加以讨论。第三章 Z变换数字信号处理例题例题3-5求求 的的z z变换及其收敛域。变换及其收敛域。第三章 Z变换数字信号处理 双双边边序序列列指指n为为任任意意值值时时，x(n)皆皆有有值值的的序序列列，可以把它看作一个左边序列和一个右边序列之和，即可以把它看作一个左边序列和一个右边序列之和，即（4 4）双）双边边序列序列: : 如如果果Rx-Rx+，则则无无公公共共收收敛敛区区域域，X(z)无收敛域无收敛域,故不存在故不存在z变换的解析式。变换的解析式。|z|Rx+Rx-|z|Rx-第三章 Z变换数字信号处理图图2-7 双边序列及收敛域双边序列及收敛域 第三章 Z变换数字信号处理例题例题3-6 （1） ，a为实数，为实数， 求求 的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。（2）求序列）求序列 的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。第三章 Z变换数字信号处理归纳右序列的收敛域是：左序列的收敛域是：有限长序列的收敛域是：双边序列的收敛域:Z平面的全平面；Z平面内某个圆的外部；Z平面内某个圆的内部；如果存在，是Z平面内环形区域。第三章 Z变换数字信号处理1.定定义义:已已知知函函数数X(z)及及其其收收敛敛域域，反反过过来来求求序序列列x(n)的变换称为的变换称为z反变换反变换，表示为，表示为则则 3.2 z3.2 z反变换反变换一、一、 z反变换的定义反变换的定义2. z反变换的一般公式反变换的一般公式若若第三章 Z变换数字信号处理图图2-8 围线积分路径围线积分路径 积分路径积分路径c为环形解析域（即收敛域）内为环形解析域（即收敛域）内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。环绕原点的一条逆时针闭合单围线。第三章 Z变换数字信号处理1.围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）;2.部分分式展开法部分分式展开法;3.幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）.二二z反变换方法反变换方法 直直接接计计算算围围线线积积分分是是比比较较麻麻烦烦的的，实实际际上上, 求求z反反变变换换时时，往往往往可可以以不不必必直直接接计计算算围围线线积积分分。一般求一般求z反变换的常用方法有三种：反变换的常用方法有三种：第三章 Z变换数字信号处理 根根据据留留数数定定理理，若若函函数数X(z)zn-1在在围围线线c以以内内有有K个个极极点点zk，而而在在c以以外外有有M个个极极点点zm（M、K为为有有限限值值），则有则有留数法留数法其中：其中： 表示函数表示函数X(z)zn-1在极点在极点z=zk（c以内极点）上的留数。以内极点）上的留数。 表示函数表示函数X(z)zn-1在极点在极点z=zm（c以外极点）上的留数。以外极点）上的留数。第三章 Z变换数字信号处理如何求如何求X(z)zn-1在任一极点在任一极点zk处的留数？处的留数？ 1. 设设zk是是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有的单（一阶）极点，则有 2. 如果如果zk是是X(z)zn-1的多重极点，如的多重极点，如N阶极点，则有阶极点，则有 (3-1)(3-2)第三章 Z变换数字信号处理注注意意：以以上上两两式式都都可可以以用用于于计计算算z反反变变换换，应应根根据据具具体体情况来选择。例如，情况来选择。例如，如如果果当当n大大于于某某一一值值时时，函函数数X(z)zn-1在在围围线线的的外外部部可可能能有有多多重重极极点点，这这时时选选c的的外外部部极极点点计计算算留留数数就就比比较较麻麻烦烦，而而通常选通常选c的内部极点求留数的内部极点求留数则较简单。则较简单。如如果果当当n小小于于某某一一值值时时，函函数数X(z)zn-1在在围围线线的的内内部部可可能能有多重极点，这时选用有多重极点，这时选用c外部的极点求留数外部的极点求留数就方便得多。就方便得多。第三章 Z变换数字信号处理例例3-7：已知：已知 求求z反变换。反变换。 解：解： 当当n0时时,在在围围线线c以以内内有有一一个个单单极极点点z=a ；如如图图2-9所所示示。应用应用公式公式(3-1)，则，则当当n|a| 第三章 Z变换数字信号处理注注意意：在在具具体体应应用用留留数数法法时时，若若能能从从收收敛敛域域判判定定序序列列是是因因果果的的，就就可可以以不不必必考考虑虑n0时时出出现现的的极极点点了了， 因为它们的留数和一定总是零。因为它们的留数和一定总是零。因此因此 即即 第三章 Z变换数字信号处理例例3-8 已知已知 求求z反变换。反变换。 解解 由于极点由于极点a处在围线处在围线c以外以外(见图见图2-13），），当当n0时围线时围线c内无极点，因此内无极点，因此 ；而而n2收敛域为|z|3收敛域为2|z|3第三章 Z变换数字信号处理幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数级数的系数就是序列x(n)第三章 Z变换数字信号处理根据收敛域判断根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的的性质，在展开成相应的z的幂级数的幂级数 将将X(z) X(z)的的 x(n) 展成展成z的的 分子分母分子分母 按按z的的 右边序列右边序列 负幂级数负幂级数 降幂排列降幂排列 左边序列左边序列 正幂级数正幂级数 升幂排列升幂排列第三章 Z变换数字信号处理解：由解：由Roc判定判定x(n)是因果序列，用是因果序列，用长除法展成长除法展成z的负的负幂级数幂级数第三章 Z变换数字信号处理解：由解：由Roc判定判定x(n)是左边序列，用是左边序列，用长除法展成长除法展成z的正的正幂级数幂级数第三章 Z变换数字信号处理结论：在Z平面中单位圆上定义的序列Z变换即为序列的傅3.3 Z3.3 Z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系Z变换表达式： 令 ，代入上式得到：当时， 即里叶变换。Z在单位圆上取值即即z变换等效成序列的傅里叶变换变换等效成序列的傅里叶变换第三章 Z变换数字信号处理3.4 z3.4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 1. 1. 线性线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: ZTx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么对于任意常数那么对于任意常数a、b，z变换都能满足以下等式变换都能满足以下等式： ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ 注注意意：1）通通常常两两序序列列和和的的z变变换换的的收收敛敛域域为为它它们们各各自自收收敛域的公共区域，即敛域的公共区域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+)2）如如果果线线性性组组合合中中某某些些零零点点与与极极点点相相互互抵抵消消，则则收收敛敛域可能扩大。域可能扩大。 第三章 Z变换数字信号处理2. 序列的移位序列的移位() 式中：式中：m为正为延迟为正为延迟(右移右移)， m为负为超前为负为超前(左移左移)。 若序列若序列x(n)的的z变换为变换为 则有则有 证明：证明： 第三章 Z变换数字信号处理例：例：求序列求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的的z变换。变换。解：解：第三章 Z变换数字信号处理3. 乘以指数序列（乘以指数序列（z域尺度变换）域尺度变换） 若若则则4. 序列的线性加权（序列的线性加权（z域求导数）域求导数）若已知若已知则则第三章 Z变换数字信号处理5. 共轭序列共轭序列式中，符号式中，符号“*”表示取共轭复数。表示取共轭复数。 若若则则6. 翻褶序列翻褶序列 若若则则第三章 Z变换数字信号处理对于因果序列对于因果序列x(n)，即，即x(n)=0, n0, 有有 7. 初值定理初值定理 8. 终值定理终值定理 设设x(n)为为因因果果序序列列，且且X(z)=Zx(n)的的全全部部极极点点，除除有有一一个个一一阶阶极极点点可可以以在在z=1 处处外外，其其余余都都在在单单位圆内，则位圆内，则 第三章 Z变换数字信号处理9. 序列的卷积和（时域卷积和定理）序列的卷积和（时域卷积和定理）()则则 设设注意：注意：1）若时域为卷积和，则若时域为卷积和，则z变换域是相变换域是相乘的关系；乘的关系；2） 乘积乘积Y(z)的收敛域为的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。收敛域的公共部分。 若有极点被抵消，收敛域可扩大。若有极点被抵消，收敛域可扩大。 第三章 Z变换数字信号处理 在在线线性性移移不不变变系系统统中中，如如果果输输入入为为x(n)，系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应为为h(n)，则则输输出出y(n)是是x(n)与与h(n)的的卷卷积积;利利用用时时域域卷卷积积和和定定理理，通通过过求求出出X(z)和和H(z)，然然后后求求出出乘乘积积X(z)H(z)的的z反反变变换换，从从而而可可得得y(n)。具具体步骤如下：体步骤如下：时域卷积和定理的应用时域卷积和定理的应用 求线性移不变系统输出响应求线性移不变系统输出响应第三章 Z变换数字信号处理例例 3-12： 设设x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求求y(n)=x(n) * h(n) 。 解：解： 所以所以 其其z反变换为反变换为第三章 Z变换数字信号处理 显显然然，在在z=a处处，X(z)的的极极点点被被H(z)的的零零点点所所抵抵消消，如如果果|b|a|，则则Y(z)的的收收敛敛域域比比X(z)与与H(z)收收敛敛域域的的重重叠叠部部分要大。分要大。 图图 2-14 Y(z)的零极点及收敛域的零极点及收敛域 第三章 Z变换数字信号处理例题1.已知 ， 的z变换，求 及 的z变换。2.已知某因果序列 的z变换 求 的初值 和 及终值。 第三章 Z变换数字信号处理3.53.5离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应 在在时时域域中中，一一个个线线性性时时不不变变系系统统完完全全可可以以由由它它的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(n)来表示，即来表示，即 一、系统函数一、系统函数取取z变换变换线线性性移移不不变变系系统统的的系系统统函函数数，单单位位冲冲激激响响应应的的z变变换换 第三章 Z变换数字信号处理1. 因果系统因果系统二、因果稳定系统二、因果稳定系统单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)为为因因果果序序列列的的系系统统是是因因果果系系统统，因因果果系系统统的的系系统统函函数数H(z)具具有有包包括括z=点点的的收收敛敛域，即域，即 线性移不变系统是因果系统的充要条件是线性移不变系统是因果系统的充要条件是:即因果系统的收敛域是半径为即因果系统的收敛域是半径为 的圆的外部，且的圆的外部，且必须包括必须包括|z|=在内。在内。第三章 Z变换数字信号处理 z变换的收敛域由满足变换的收敛域由满足 的的那那些些z值值确确定定，因因此此稳稳定定系系统统的的系系统统函函数数H(z)必必须须在在单单位位圆圆上上收收敛敛，即即收收敛敛域域包包括括单单位位圆圆|z|=1的系统是稳定的。的系统是稳定的。2. 稳定系统稳定系统线性移不变系统稳定的充要条件是单位线性移不变系统稳定的充要条件是单位冲激响应冲激响应h(n)绝对可和绝对可和:第三章 Z变换数字信号处理 因因果果稳稳定定系系统统的的系系统统函函数数H(z)必必须须在在从从单单位位圆圆到到的整个的整个z域内收敛，即收敛域必须包括域内收敛，即收敛域必须包括 也就是说，系统函数的也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内全部极点必须在单位圆内。 3. 因果稳定系统因果稳定系统第三章 Z变换数字信号处理注意：注意：1）同同一一个个系系统统函函数数，收收敛敛域域不不同同，所所代代表表的的系系统统就就不不同同，所所以以给给出出系系统统函函数数时时必必须须同同时时给给定定系系统统的收敛域才行。的收敛域才行。2）对对于于稳稳定定系系统统，其其收收敛敛域域必必须须包包括括单单位位圆圆，因因而而，在在z平平面面以以极极点点、零零点点图图描描述述系系统统函函数数，通通常常都都画画出出单单位位圆圆以以便便看看出出极极点点是是在在单单位位圆圆内内还还是是位位于单位圆外。于单位圆外。 第三章 Z变换数字信号处理例例 已知系统函数为已知系统函数为 21/2。该收敛域又包括单位圆，故系统是稳定的。该收敛域又包括单位圆，故系统是稳定的。 对系统函数对系统函数H(z)进行进行z反变换，可得单位脉冲响应为反变换，可得单位脉冲响应为 或：或： 第三章 Z变换数字信号处理（2）系统的频率响应为系统的频率响应为 由于系统是线性时不变且因果由于系统是线性时不变且因果稳定的稳定的，故当输入，故当输入 时，可得输出响应为时，可得输出响应为 第三章 Z变换数字信号处理例：解：设系统差分方程为 限定系统是因果的，求 限定系统是稳定的，求求： 系统函数零初始条件下对差分方程取Z变换：第三章 Z变换数字信号处理 限定系统是因果的，即右序列， 收敛域为第三章 Z变换数字信号处理第三章 Z变换数字信号处理 限定系统是稳定的，收敛域包含单位圆第三章 Z变换数字信号处理改求c外极点留数，c外有一个极点：第三章 Z变换数字信号处理部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！