简单的计数问题简单的计数问题简单的计数问题简单的计数问题主讲：黄慧顺越秀区育才学校 小学高级【知识导学知识导学】什么是“计数问题”？在小学数学题目中，有一类是要求具体确定出“几个”的问题。我们把这类问题称之为“计数问题”或“数数问题”。如何解决“计数问题”？在数数时，要建立数数的顺序，遵循规律依次去数；或者合理分类，依次进行计算。 例例1 1图中有多少条线段？【例题讲解】分析：每条线段有两个端点，根据左端点进行分类统计。左端点是A的线段有AB、AC、AD和AE共4条；左端点是B的线段有BC、BD、BE共3条；左端点是C的线段有CD、CE共2条，左端点是D的线段只有DE一条，左端点是E的线段不存在，因此线段总数是：4+3+2+1=10（条）例例2 2右图中有几个三角形？【例题讲解】分析：底边左端点是B的三角形共有BCA、BDA、BEA三个，底边左端点是C的三角形共有CDA、CEA两个，底边左端点是D的三角形只有DAE一个，所以三角形的个数是：3+2+16（个）【例题小结例题小结】 通过上面两例的分析，我们发现数线段、数三通过上面两例的分析，我们发现数线段、数三角形等基本图形的时候，所用的方法是一样的。角形等基本图形的时候，所用的方法是一样的。都都是从左端点出发，按规律有次序的去计算是从左端点出发，按规律有次序的去计算，这样才，这样才能做到不重复，不遗漏。能做到不重复，不遗漏。例例3 3图中有几个正方形？【例题讲解】分析：如果把每个小正方形的边长看作一个单位的话，图中的正方形按边长可以分成3类。边长是1的正方形有14个，边长是2的正方形有6个，边长是3的正方形只有一个，因此正方形的个数就是：14+6+121（个）例4. 图中有多少个三角形？【例题讲解】12 3 4567由1个基本图形组成的三角形有4个，分别是：1、3、5、7号； 由2个基本图形组成的三角形有6个：1+2，3+2，3+4，3+6， 4+7，5+6； 由3个基本图形组成的三角形有3个：1+2+5，7+4+1，5+6+7； 由4个基本图形组成的三角形有3个：1+2+3+4，2+3+5+6， 3+4+6+7 由7个基本图形组成的只有1个：1+2+3+4+5+6+7一共组成：4+6+3+3+117（个）【例题小结例题小结】 在数图形的时候要按图形特点在数图形的时候要按图形特点正确合理的分类正确合理的分类，在分类统计后再相加，这样才能做到不重复不遗漏。在分类统计后再相加，这样才能做到不重复不遗漏。例5 图中有6个点，9条线段。一只蚂蚁从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。进行中，同一个点或同一条线段只能经过1次。这只蚂蚁最多有多少种不同的走法？【例题讲解】分析：应该分3类统计：经过AB的走法有3种：ABCF、ABF、ABEF；经过AE的走法有3种：AEBCF、AEBF、AEF；经过AD的走法也有3种：ADEBCF、ADEBF、ADEF。因此，蚂蚁按要求一共有：3+3+39（种）【例题小结例题小结】上面这几个例的解题方法都采用了上面这几个例的解题方法都采用了“枚举法枚举法”“枚举法枚举法”？就是根据问题的要求，一一列举问？就是根据问题的要求，一一列举问题的解答，或者为了解答问题的需要与方便，把题的解答，或者为了解答问题的需要与方便，把问题分成即不重复也不遗漏的有限种情况，一一问题分成即不重复也不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最后达到解决整个问题列举各种情况加以解决，最后达到解决整个问题的目的。这样来考虑、解决问题的方法，叫做的目的。这样来考虑、解决问题的方法，叫做“枚举法枚举法”。枚举法是一种常常被采用来解答。枚举法是一种常常被采用来解答“计计数问题数问题”的有效方法。的有效方法。 例6.用0，2，3，6四个数字，可以组成几个不同的四位数？【例题讲解】分析：按千位数情况来分类，分成三类：千位是2的数有：2036、2063、2306、2360、2603、2630千位是3的数有：3026、3062、3206、3260、3602、3620千位是6的数有：6023、6032、6203、6230、6302、6320组成不同的四位数是：6318（个）【归纳总结归纳总结】1.“计数问题计数问题”可以用可以用“枚举法枚举法”解决。我们只要解决。我们只要不断的努力学习，掌握解决这类问题的各种方法和不断的努力学习，掌握解决这类问题的各种方法和技巧，就能解决形形色色的计数问题。技巧，就能解决形形色色的计数问题。 2.用用“枚举法枚举法”解题的过程中，关键是把题目的解题的过程中，关键是把题目的解答过程进行合理的分类，这样才能做到不重复、解答过程进行合理的分类，这样才能做到不重复、不遗漏。不遗漏。【练习讲评】1.下图中有（ ）个长方形？分析：抓住底边AE来考虑：长边左端点是A的长方形共有4个，长边左端点是B的长方形共有3个，长边左端点是C的长方形有2个，长边左端点是D的长方形有1个。共有：432110（个） 10【练习讲评】2.下图中有（ ）个正方形，有（ ）个三角形。正方形分两类统计：把一个小正方形的边长看作1，分两类统计：边长为1的正方形有10个，边长为2的正方形有3个。正方形一共有：10313（个）三角形分四类统计：由一个基本图形组成的三角形有8个，由3个基本图形组成的图形有3个，由6个基本图形组成的三角形有2个，由10个基本图形组成的三角形只有1个。 三角形一共有：832114（个）1314【练习讲评】3. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？分析：其中一种为红色的组合是：红黄、红绿、红蓝、红白4种；其中一种为黄色的组合有：黄绿、黄蓝、黄白3种；其中一种为绿色的组合有绿蓝、绿白2种，其中一种为蓝色的组合只有蓝白一种。432110（种） 【练习讲评】4.图中有多少个三角形？ 分析：分三类来统计：以AC上的线段为底边，以B为顶点的三角形一共有3216（个），以AC上的线段为底边，以D为顶点的三角形同样有6个。以BD为底边，顶点在AC上的三角形共3个。所以，三角形一共有：66315（个）【练习讲评】5.数学活动小组有5个人，第一次参加活动，每两个同学都要握一次手，他们一共握了多少次手？分析：这5个同学用A、B、C、D、E来代替，A分别和B、C、D、E握手，要握4次，B分别和C、D、E握手，要握3次；C分别和D、E握两次，D只和E握一次。 一共握了4+3+2+110（次）【练习讲评】6.下图中有（ ）个三角形。1234 567 8分析：由一个基本图形组成的有8个，由两个基本图形组成的有23，26，34，46，78共5个；由3个基本图形组成的三角形有123，578共2个，由5个基本图形组成的三角形有1个；由8个基本图形组成的三角形只有1个。 一共有：8+5+2+1+117（个）【练习讲评】7.有数字卡片 3 、4 、5 各一张，从中任意取出卡片放在桌面上，做多能组成多少个不同的数？只取一张卡片有3、4、5共3个数取两张卡片有：34、43、35、53、45、54共6个数取三张卡片有：345、354、435、453、534、543共6个数 因此一共有3+6+6=15（个）