任意角和弧度制任意角和弧度制 问题：问题：在实际问在实际问题中还会题中还会遇到其他遇到其他角角角的定义角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从一个位角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形置旋转到另一个位置所组成的图形. .始边始边终边终边A AO OB B顶点顶点 角是平面几何中的一个基本图形，角是可角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的以度量其大小的. .在平面几何中，角的取值范在平面几何中，角的取值范围如何？围如何？ 回顾：回顾：1.1.体操是力与美的结合，也充满了角的概念体操是力与美的结合，也充满了角的概念20022002年年1111月月2222日，在匈牙利德布勒森举行日，在匈牙利德布勒森举行的第的第3636届世界体操锦标赛中，届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳李小鹏跳”“踺子后手翻转体踺子后手翻转体180180度接直体前空度接直体前空翻转体翻转体900900度度”，震惊四座，这里的转体，震惊四座，这里的转体180180度、度、 转体转体900900度就是一个角的概念度就是一个角的概念. . 角的形成结果角的形成结果2 2. . 在实际问题中还会遇到其他角在实际问题中还会遇到其他角 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到到“转体转体108010800 0”、“转体转体126012600 0”这样的解说这样的解说钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角它们按照不同方向旋转所成的角不全是不全是0o360o范围内的角范围内的角.因此，仅有因此，仅有0360范围范围内的角是不够的内的角是不够的.我们必须将角的概念进行推广我们必须将角的概念进行推广. 在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的反方向旋转的. .一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转向旋转，也可以按顺时针方向旋转. .思考思考1 1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转6060度所形成的角，与按顺时针方向旋转度所形成的角，与按顺时针方向旋转6060度所形成的度所形成的角是否相等？角是否相等？知识探究（一）：角的概念的推广知识探究（一）：角的概念的推广 思考思考2 2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？形成一个角吗？ 规定：规定：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角，按，按顺时针顺时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个个零角零角. .度量一个角的大小，既要考虑度量一个角的大小，既要考虑旋转旋转方向方向，又要考虑，又要考虑旋转量旋转量，通过上述，通过上述规定，规定，角的范围就扩展到角的范围就扩展到任意大小任意大小. .B B2 2A AB B1 1O O思考思考3 3：对于：对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 画图表示一个大小一定的角画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.思考思考4 4：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50508080=130=130， 50508080= =3030，你能解，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？释一下这两个式子的几何意义吗？ 练习练习1 1： 钟表经过钟表经过4小时，时针与分针各小时，时针与分针各转转 (填度填度). 2：如果你的手表慢了：如果你的手表慢了20分钟，或快了分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？将时间校准？ 120120，450450. . 120120，-1440-1440. .知识探究（二）：知识探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们常在直：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重合，那么对一个任轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？意角，角的终边可能落在哪些位置？ xoy如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角. .50xyoxyo210450xyo405xyo200xyo 那么下列各角：那么下列各角：-50-50，405405，210210,-200,-200，450450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？思考思考3 ：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限象限角只能反映角的终边所在象限(位置位置)，不能反映角的大小，不能反映角的大小. 思考思考2 ：锐角是第几象限的角？第一象限的角锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？的角是锐角吗？ 思考思考4 4：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的角的终边在什么位置？终边在该位置的角终边在什么位置？终边在该位置的角一定是一定是135135吗？吗？xyo探究三：探究三：终边相同的角终边相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第几象限的是第几象限的角？这些角有什么内在联系？角？这些角有什么内在联系？32392xyo o328思考思考2 2：与与3232角终边相同的角有多少个？这角终边相同的角有多少个？这些角与些角与3232角在数量上相差多少？角在数量上相差多少？ 思考思考3 3：所有与：所有与3232角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同3232角角在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合，你能用描述法表示集合S S吗吗？ S=|=S=|=k k360360，kZkZ，一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内所在内所构成的集合构成的集合S S可以表示为：可以表示为： 3.终边相同的角即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 例例1 1 在在0 0360360范围内，找出与范围内，找出与950950角终边相角终边相同的角，并判定它是第几象限角同的角，并判定它是第几象限角. . 130130，第二象限角，第二象限角. .例例1 1 判别下列各角是第几象限的角。判别下列各角是第几象限的角。(1)405(1)4050 0 (2)488 (2)4880 0 (3)840 (3)8400 0 (4)-120 (4)-1200 0 (1) 4050=3600+450 而450是第一象限角，所以4050是第一象限角解：(2) 4880=3600+1280 而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角(3) 8400=23600+1200 而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角(4) -1200=-3600+2400 而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角例例2 2 在在0 0360360内找出与下列各角终边相同内找出与下列各角终边相同的角的角(1)900(1)9000 0 (2)-50 (2)-500 0 (3)425 (3)4250 0 (4)-670 (4)-6700 0 (1) 9000=23600+1800 所以9000的角与1800角终边相同解：(2) -500=-3600+3100 所以-500的角与3100角终边相同(3) 4250=3600+650 所以4250的角与650角终边相同(4) -6700=-23600+500 所以-6700的角与500角终边相同思考思考3 3：终边在终边在x x轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴，y y轴正半轴、轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：= k360，kZ ； x轴负半轴：= 180k360，kZ ；y轴正半轴：= 90k360，kZ ； y轴负半轴：= 270k360，kZ .思考思考1 1：终边在：终边在x x轴非正半轴、非负半轴上的角分别如轴非正半轴、非负半轴上的角分别如何表示？何表示？ x轴非负半轴:=k360,kZ ； x轴非正半轴:=k360+180,kZ ；2 2：终边在：终边在x x轴上的角的集合表示轴上的角的集合表示终边在x轴上：S=|=k180，kZ；4.终边在坐标轴上角的表示思考思考3 3：终边在：终边在y y轴非正半轴、非负半轴上的角分别轴非正半轴、非负半轴上的角分别如何表示如何表示？ y轴非负半轴:= 90k360，kZ ；y轴非正半轴:= 270k360，kZ .4 4：终边在：终边在y y轴上的角的集合表示轴上的角的集合表示终边在y轴上:S=|=90+k180 ,kZ. 思考：终边在第一象限的角的集合如何表示？思考：终边在第一象限的角的集合如何表示？ 5.终边在各个象限角的表示S=|kS=|k360360o o9090o ok k360360，kZkZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|90o ok k360360180180o ok k360360o o,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|180o ok k360360270270o ok k360360o o,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|90ok360k360o,kZ；思考：终边在其它象限的角的集合如何表示？思考：终边在其它象限的角的集合如何表示？ 典例典例如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分别是第分别是第几象限的角？几象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k72072023602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180S=|=45S=|=45k k180180，kZ.kZ.315315，-135-135，4545，225225，405405，585. 585. 例例2 2 写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中适中适合不等式合不等式-360-360 720720的元素写出来的元素写出来. . 例例3.例例3.几何法几何法如图如图如图如图