4.3.14.3.1空间直角坐标系空间直角坐标系 4.3.24.3.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 教学目标教学目标掌握空间坐标系的有关概念，会根据坐标找掌握空间坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标；相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标；掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题。间的距离公式解决问题。教学重点和难点教学重点和难点重点：重点：空间直角坐标系中点的坐标表示空间直角坐标系中点的坐标表示难点：难点：空间直角坐标系中点的坐标表示空间直角坐标系中点的坐标表示问题引入问题引入 1 1数轴数轴Ox上的点上的点M，用代数的方法怎样表示呢，用代数的方法怎样表示呢？ 2 2直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？，怎样表示呢？ 数轴数轴Ox上的点上的点M，可用与它对应的实数，可用与它对应的实数x表示；表示； 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数，可用一对有序实数(x，y)表示表示xOyAOxxM(x,y)xy问题引入问题引入 3 3空间中的点空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？用代数的方法又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后，空间中的点当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以，可以用有序实数（用有序实数（x，y，z）表示）表示OyxzMxyz（x，y，z）yxz 如图，如图， 是单位正方体以是单位正方体以O O为原为原点，分别以射线点，分别以射线OA,OC, OA,OC, 的方向为正方向，以线的方向为正方向，以线段段OA,OC, OA,OC, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x x轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴这时我们说建立了一个轴这时我们说建立了一个空间直角坐标空间直角坐标系系 ，其中点，其中点O O 叫做坐标原点，叫做坐标原点，x x轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，分别称为xOy xOy 平面、平面、yOzyOz平面、平面、zOxzOx平面平面空间直角坐标系空间直角坐标系ABCO 右手直角坐标系：右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手在空间直角坐标系中，让右手拇指指向拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如轴的正方向，如果中指指向果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点M分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴轴于点于点P、Q和和R空间直角坐标系空间直角坐标系yxzMO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）MRQP 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点P、Q和和R，分别过，分别过P、Q和和R各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点M空间直角坐标系空间直角坐标系yxzMOMRQP空间直角坐标系空间直角坐标系yxzPMQOMR 这样空间一点这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点）叫做点M 在此在此空间直角坐标系中的坐标，空间直角坐标系中的坐标，记作记作M（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标yxzABCO OABCABCD是单位正方体以是单位正方体以O为原点，分别以射为原点，分别以射线线OA,OC, OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, OD的长为单的长为单位长，建立位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz试说出正方体的各个顶点试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上空间直角坐标系空间直角坐标系(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1) 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点D，C，A，B的坐标的坐标解解： 在在z 轴上，且轴上，且 ，它的竖坐标是，它的竖坐标是2；它的横坐；它的横坐标标x与纵坐标与纵坐标y都是零，所以点都是零，所以点 的坐标是（的坐标是（0，0，2） 点点C 在在y 轴上，且轴上，且 ，它的纵坐标是，它的纵坐标是4；它的横；它的横坐标坐标x与竖坐标与竖坐标z 都是零，所以点都是零，所以点C的坐标是（的坐标是（0，4，0） 同理，点同理，点 的坐标是（的坐标是（3，0，2）OyxzACB典型例题典型例题 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点D，C，A，B的坐标的坐标OyxzACB典型例题典型例题 解：解：点点B B在平面上的射影是在平面上的射影是B B，因此它的横坐标，因此它的横坐标x x与纵坐标与纵坐标y y同点同点B B的横坐标的横坐标x x与纵坐标与纵坐标y y 相同在相同在xOyxOy平面平面上，点上，点B B 横坐标横坐标x=3x=3，纵坐标，纵坐标y=4y=4；点；点B B在在z z轴上的射影轴上的射影是是D D，它的竖坐标与点，它的竖坐标与点D D的竖坐标相同，点的竖坐标相同，点D D的竖的竖坐标坐标z=2z=2所以点所以点B B的坐标是（的坐标是（3 3，4 4，2 2）例例2 2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子典型例题典型例题解解：把图中的钠原：把图中的钠原子分成上、中、下子分成上、中、下三层来写它们所在三层来写它们所在位置的坐标位置的坐标例例2 2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子典型例题典型例题 如图建立空间直角坐如图建立空间直角坐标系标系O O- -xyzxyz后，试写出全后，试写出全部钠原子所在位置的坐部钠原子所在位置的坐标标yzx 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1 1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是: :（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（ ， ，1） 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（ ，0， ），（），（1， ， ），（），（ ，1， ），（），（0， ， ）；）；典型例题典型例题 下层的原子全部在平面上，它们所下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是在位置的竖坐标全是0 0，所以这五个钠，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是原子所在位置的坐标分别是(0(0，0 0，0)0)，（，（1 1，0 0，0 0）, ,（1 1，1 1，0 0）, ,（0 0，1 1，0 0）, ,（ ， ，0）.xyzO问题提出问题提出 1. 1. 在平面直角坐标系中两点间在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？的距离公式是什么？ 2. 2. 在空间直角坐标系中，又如在空间直角坐标系中，又如何计算两点间距离？何计算两点间距离？知识探究（一）知识探究（一）:与坐标原点的距离公式与坐标原点的距离公式 思考思考1:1:在空间直角坐标系中，坐标轴在空间直角坐标系中，坐标轴上的点上的点A A（x x，0 0，0 0），），B B（0 0，y y，0 0），），C C（0 0，0 0，z z），与坐标原点），与坐标原点O O的距离分的距离分别是什么？别是什么？xyzOA AB BC C|OA|=|x|OA|=|x|OB|=|y|OB|=|y|OC|=|z|OC|=|z|思考思考2:2:在空间直角坐标系中，坐标平在空间直角坐标系中，坐标平面上的点面上的点A A（x x，y y，0 0），），B B（0 0，y y，z z），），C C（x x，0 0，z z），与坐标原点），与坐标原点O O的的距离分别是什么？距离分别是什么？xyzOA AB BC C思考思考3:3:在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点 P P（x x，y y，z z）在）在xOyxOy平面上的射影为平面上的射影为M M，则点，则点M M的坐标是什么？的坐标是什么？|PM|,|OM|PM|,|OM|的的值分别是什么？值分别是什么？xyzOPMM(x,y,0)M(x,y,0)|PM|=|z|PM|=|z|思考思考4:4:基于上述分析，你能得到点基于上述分析，你能得到点 P P（x x，y y，z z）与坐标原点）与坐标原点O O的距离公式吗？的距离公式吗？xyzOPM思考思考5:5:在空间直角坐标系中，方程在空间直角坐标系中，方程 x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=r=r2 2（r r0 0为常数）表示什么为常数）表示什么图形是什么？图形是什么？ O Ox xy yz zP P知识探究（二）知识探究（二）:空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 在空间中，设点在空间中，设点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）在）在xOyxOy平面上的射影平面上的射影分别为分别为M M、N.N.xyzOP2MP1N思考思考1:1:点点M M、N N之间的距离如何？之间的距离如何？思考思考2:2:若直线若直线P P1 1P P2 2 是是xOyxOy平面的一条平面的一条斜线，则点斜线，则点P P1 1、P P2 2的距离如何计算？的距离如何计算？MNxyzOP2P1A A思考思考3:3:在上述图形背景下，点在上述图形背景下，点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）与）与P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离是）之间的距离是？