费马费马(fermat)引引理理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定定理理(dngl)且 存在(cnzi)证: 设则费马 证毕第1页/共27页第一页，共28页。罗尔（罗尔（Rolle）定）定理理(dngl)满足(mnz):(1) 在区间(q jin) a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b )使证:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则因此在( a , b ) 内至少存在一点第2页/共27页第二页，共28页。若若Mm,则则M和和m中至少有一个中至少有一个(y)与端点值不等与端点值不等,不妨(bfng)设 则至少(zhsho)存在一点使注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 则由费马引理得 例如,第3页/共27页第三页，共28页。使2)定理条件只是定理条件只是(zhsh)充分的充分的.本定理(dngl)可推广为在 ( a , b ) 内可导, 且在( a , b ) 内至少(zhsho)存在一点证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . 第4页/共27页第四页，共28页。例例1.证明证明(zhngmng)方方程程有且仅有一个(y )小于1 的正实根 .证: 1) 存在(cnzi)性 .则在 0 , 1 连续 ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设第5页/共27页第五页，共28页。二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(dngl)(1) 在区间(q jin) a , b 上连续满足(mnz):(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点使思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,在a, b 上连续,在(a, b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 .拉氏 证毕第6页/共27页第六页，共28页。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(dngl)的有限的有限增量形式增量形式:推论(tuln): 若函数在区间(q jin) I 上满足则在 I 上必为常数.证: 在 I 上任取两点日中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上为常数 .令则第7页/共27页第七页，共28页。例例2.证明证明(zhngmng)等等式式证: 设由推论(tuln)可知 (常数(chngsh) 令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立.自证:经验:欲证时只需证在 I 上第8页/共27页第八页，共28页。例例3.证明证明(zhngmng)不等不等式式证: 设中值定理(dngl)条件,即因为(yn wi)故因此应有第9页/共27页第九页，共28页。三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(dngl)分析(fnx):及(1) 在闭区间(q jin) a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点使满足 :问题转化为证柯西 构造辅助函数第10页/共27页第十页，共28页。证证:作辅助作辅助(fzh)函数函数且使即由罗尔定理知, 至少存在(cnzi)一点思考: 柯西定理(dngl)的下述证法对吗 ?两个 不一定相同错! !上面两式相比即得结论. 第11页/共27页第十一页，共28页。柯西定理的几何柯西定理的几何(jh)意义意义:注意(zh y):弦的斜率(xil)切线斜率第12页/共27页第十二页，共28页。例例4.设设至少存在(cnzi)一点使证: 问题(wnt)转化为证设则在 0, 1 上满足(mnz)柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使即证明第13页/共27页第十三页，共28页。例例5.试证至少存在试证至少存在(cnzi)一点一点使证: 法1 用柯西中值定理(dngl) .则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足(mnz)柯西中值定理条件, 令因此 即分析:第14页/共27页第十四页，共28页。例例5.试证至少试证至少(zhsho)存在一点存在一点使法2 令则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理(dngl)条件,使因此(ync)存在第15页/共27页第十五页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 微分中值定理的条件(tiojin)、结论及关系罗尔定理(dngl)拉格朗日中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理第16页/共27页第十六页，共28页。思考思考(sko)与练习与练习1. 填空题1) 函数(hnsh)在区间(q jin) 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值2) 设有个根 , 它们分别在区间上.方程第17页/共27页第十七页，共28页。2.设设且在内可导, 证明(zhngmng)至少存在一点(y din)使提示(tsh):由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设第18页/共27页第十八页，共28页。3.若若可导, 试证在其两个(lin )零点间一定有的零点(ln din). 提示(tsh): 设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.第19页/共27页第十九页，共28页。4.思考思考(sko):在在即当时问是否(sh fu)可由此得出 不能 !因为(yn wi)是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .应用拉格朗日中值定理得上对函数第20页/共27页第二十页，共28页。作业作业(zuy)P134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15提示(tsh):题*15.题14. 考虑(kol)第二节 第21页/共27页第二十一页，共28页。备用备用(biyng)题题求证(qizhng)存在使1. 设 可导，且在连续(linx)，证: 设辅助函数因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即使得第25页/共27页第二十五页，共28页。设 证明(zhngmng)对任意有证：2.不妨(bfng)设第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结费马(fermat)引理。一、罗尔( Rolle )定理。罗尔（ Rolle ）定理。即方程有小于 1 的正根。在(a, b)内可导,。在 I 上必为常数.。只需证在 I 上。在区间 1, 2 上满足(mnz)拉格朗日定理。个根 , 它们分别在区间。费马(1601 1665)。引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.。他在方程论, 解析函数论,。柯西(1789 1857)。西全集共有 27 卷.。有思想有创建,第二十八页，共28页。