第五章 时 变 电 磁 场 第五章 时 变 电 磁 场 5.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 5.2 位移电流位移电流 5.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 5.4 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件 5.5 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流 5.6 正弦电磁场正弦电磁场 5.7 波动方程波动方程 5.8 时变电磁场中的位函数时变电磁场中的位函数 第五章 时 变 电 磁 场 5.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 图 5-1 法拉第电磁感应定律 (5 - 1)第五章 时 变 电 磁 场 当回路线圈不止一匝时，例如一个N匝线圈，可以把它看成是由N个一匝线圈串联而成的， 其感应电动势为 如果定义非保守感应场Eind沿闭合路径l的积分为l中的感应电动势，那么式(5 - 1)可改写为 (5 - 3)第五章 时 变 电 磁 场 如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总电场E为两者之和，即E=Ec+Eind。但是， 所以式(5 - 3)也可改写为 引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化， 也可以是闭合回路l自身的运动(大小、形状、 位置的变化)。 (5 - 4)第五章 时 变 电 磁 场 式(5 - 4)变为 利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为 上式对任意面积均成立，所以 第五章 时 变 电 磁 场 图 5-2 磁场中的运动回路 第五章 时 变 电 磁 场 穿过该回路的磁通量的变化率为 式中B(t+t)是在时间t+t时刻由lb围住的曲面Sb上的磁感应强度，B(t)是在t时刻由la围住的曲面Sa上的磁感应强度。 若把静磁场中的磁通连续性原理SBdS=0推广到时变场，那么在时刻t+t通过封闭面S=Sa+Sb+Sc的磁通量为零，因此 第五章 时 变 电 磁 场 将B(t+t)展开成泰勒级数，有 第五章 时 变 电 磁 场 由于侧面积Sc上的面积元dS=dlvt, 当t0 时， 第五章 时 变 电 磁 场 因此，l由la的位置运动到lb的位置时，穿过该回路的磁通量的时变率为 这样运动回路中的感应电动势可表示为 式(5 - 14)可改写为 第五章 时 变 电 磁 场 设静止观察者所看到的电场强度为E，那么E=E-vB。因此，运动回路中， 或 第五章 时 变 电 磁 场 5.2 位位 移移 电电 流流 电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程：式中J是电流体密度， 它的方向就是它所在点上的正电荷流动的方向，它的大小就是在垂直于电流流动方向的单位面积上每单位时间内通过的电荷量(单位是A/m2)。因此，式(5- 18)表明，每单位时间内流出包围体积V的闭合面S的电荷量等于S面内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。(5 - 18)第五章 时 变 电 磁 场 利用散度定理(也称为高斯公式) 将式(5 - 18)用体积分表示， 对静止体积有 上式对任意体积V均成立， 故有 上式是电流连续性方程的微分形式。 第五章 时 变 电 磁 场 静态场中的安培环路定律之积分形式和微分形式为 和 此外， 对于任意矢量A， 其旋度的散度恒为零， 即 第五章 时 变 电 磁 场 在承认 也适用于时变场的前提下，则有 第五章 时 变 电 磁 场 由于 所以位移电流 第五章 时 变 电 磁 场 对任意封闭曲面S有 即 穿过任意封闭面的各类电流之和恒为零，这就是全电流连续性原理。 将其应用于只有传导电流的回路中，可知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号，流入的电流取负号)。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)电流定律：I=0。 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5-1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sint，铜的电导率=5.8107S/m, 0。 解：解： 铜中的传导电流大小为 第五章 时 变 电 磁 场 例例5-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 解解： 根据麦克斯韦方程 可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为试求：(1) 通过半径r=1mm的球面的电流值；(2) 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率；(3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。 第五章 时 变 电 磁 场 解：解：(1) (2) 因为 由电流连续性方程式， 得 第五章 时 变 电 磁 场 (3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率： 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 4 在无源的自由空间中，已知磁场强度 求位移电流密度Jd。 解：解：无源的自由空间中J=0, 式(5 - 22)变为 第五章 时 变 电 磁 场 5.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组5.3.1 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 全电流定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定理 第五章 时 变 电 磁 场 第五章 时 变 电 磁 场 如果我们假设过去或将来某一时刻，B在空间每一点上都为零，则 B在任何时刻处处为零， 所以有 第五章 时 变 电 磁 场 5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程麦克斯韦方程的辅助方程本构关系本构关系 一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为 对于各向同性的线性媒质， 式(5 - 30)可以写为 (5 - 30)第五章 时 变 电 磁 场 5.3.3 洛仑兹力洛仑兹力 电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电荷q所受的力为 如果电荷是连续分布的，其密度为，则电荷系统所受的电磁场力密度为 上式称为洛仑兹力公式。近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。 第五章 时 变 电 磁 场 例例5-5 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解：解： 将J=E代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有 由于 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 6 已知在无源的自由空间中， 其中E0、为常数，求H。 解解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0, =0。 第五章 时 变 电 磁 场 由上式可以写出： 第五章 时 变 电 磁 场 5.4 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件 图图 5-3 法向分量边界条件法向分量边界条件 第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某一场矢量(例如D、B、)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方向的两个分量。 因为矢量恒等式 所以 上式第一项沿n方向，称为法向分量；第二项垂直于n方向，切于分界面，称为切向分量。第五章 时 变 电 磁 场 5.4.1 一般情况一般情况 如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为 由上面两式，得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为 第五章 时 变 电 磁 场 或者如下的标量形式： 若分界面上没有自由面电荷， 则有 然而D=E，所以 综上可见，如果分界面上有自由面电荷，那么电位移矢量D的法向分量Dn越过分界面时不连续，有一等于面电荷密度S的突变。 如S=0，则法向分量Dn连续；但是，分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En不连续。 第五章 时 变 电 磁 场 磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为 或者如下的标量形式的边界条件： 由于B=H，所以 第五章 时 变 电 磁 场 图 5-4 切向分量边界条件将麦克斯韦方程 第五章 时 变 电 磁 场 设n(由媒质 2 指向媒质 1)、l分别是l中点处分界面的法向单位矢量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量，三者的关系为 将麦克斯韦方程 第五章 时 变 电 磁 场 因为 有限而h0，所以 如果分界面的薄层内有自由电流， 则在回路所围的面积上， 综合以上三式得 b是任意单位矢量，且nH与JS共面(均切于分界面)， 所以 第五章 时 变 电 磁 场 如果分界面处没有自由面电流，那么 由上式可以获得 第五章 时 变 电 磁 场 第五章 时 变 电 磁 场 5.4.2 两种特殊情况两种特殊情况 矢量形式的边界条件为 第五章 时 变 电 磁 场 它们相应的标量形式为 第五章 时 变 电 磁 场 理想导体是指，所以在理想导体内部不存在电场。此外，在时变条件下，理想导体内部也不存在磁场。故在时变条件下，理想导体内部不存在电磁场，即所有场量为零。设n是理想导体的外法向矢量，E、H、D、B为理想导体外部的电磁场，那么理想导体表面的边界条件为 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 - 7 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为 试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。 解：解： 第五章 时 变 电 磁 场 假设t=0 时，S=0，由边界条件nD=S以及n的方向可得 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5-8 证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是独立的。 因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量的边界条件。 解：解： 在分界面两侧的媒质中， 将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令 第五章 时 变 电 磁 场 于是有 由上式可见： 对于媒质 1 和媒质 2 有 第五章 时 变 电 磁 场 上面两式相减得 代入切向分量的边界条件： 有 第五章 时 变 电 磁 场 从而有 如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故 同理，将式 中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展开取其中的法向分量， 有 第五章 时 变 电 磁 场 此式对分界面两侧的媒质区域都成立， 故有 将两式相减并用 代入， 得 第五章 时 变 电 磁 场 再将切向分量的边界条件 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 - 9 设区域(z0)的媒质参数r2=5, r2=20, 2=0。区域中的电场强度为 区域中的电场强度为 试求：(1) 常数A；(2) 磁场强度H1和H2；(3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。 第五章 时 变 电 磁 场 解：解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有 由于E1和E2恰好为切向电场， 第五章 时 变 电 磁 场 (2) 根据麦克斯韦方程 有 所以 第五章 时 变 电 磁 场 同理， 可得 (3) 将z=0代入(2)中得 第五章 时 变 电 磁 场 5.5 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流 假设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J=E。根据焦耳定律，在体积V内由于传导电流引起的功率损耗是 由麦克斯韦方程式 第五章 时 变 电 磁 场 利用矢量恒等式 第五章 时 变 电 磁 场 利用散度定理上式可改写为 这就是适合一般媒质的坡印廷定理。 第五章 时 变 电 磁 场 利用矢量函数求导公式 对于各向同性的线性媒质，即D=E, B=H, J=E, 可知， 同理， 第五章 时 变 电 磁 场 对于各向同性的线性媒质， 坡印廷定理表示如下： 为了说明式(5 - 44)的物理意义，我们首先假设储存在时变电磁场中的电磁能量密度的表示形式和静态场的相同，即w=we+wm。其中，we=1/2(DE)为电场能量密度，wm=1/2(BH)为磁场能量密度， 它们的单位都是J/m3。另外，引如一个新矢量 第五章 时 变 电 磁 场 称为坡印廷矢量，单位是W/m2。 据此，坡印廷定理可以写成 上式右边第一项表示体积V中电磁能量随时间的增加率， 第二项表示体积V中的热损耗功率(单位时间内以热能形式损耗在体积V中的能量)。 根据能量守恒定理，上式左边一项-SSdS=-S(EH)dS必定代表单位时间内穿过体积V的表面S流入体积V的电磁能量。因此，面积分S SdS=S(EH)dS表示单位时间内流出包围体积V的表面S的总电磁能量。由此可见，坡印廷矢量S=EH可解释为通过S面上单位面积的电磁功率。 第五章 时 变 电 磁 场 在静电场和静磁场情况下，由于电流为零以及 ，所以坡印廷定理只剩一项S(EH)dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在场中任何一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，即没有电磁能量流动。由此可见，在静电场和静磁场情况下， S=EH并不代表电磁功率流密度。 第五章 时 变 电 磁 场 在恒定电流的电场和磁场情况下， ， 所以由坡印廷定理可知，V JEdV=-S(EH)dS。因此，在恒定电流场中，S=EH可以代表通过单位面积的电磁功率流。它说明，在无源区域中，通过S面流入V内的电磁功率等于V内的损耗功率。 在时变电磁场中，S=EH代表瞬时功率流密度，它通过任意截面积的面积分P=S(EH)dS代表瞬时功率。 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5-10 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。 解解：如图5-5，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有 图 5-5 坡印廷定理验证 第五章 时 变 电 磁 场 在导线表面， 因此，导线表面的坡印廷矢量 它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 - 11 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。 解解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、 外导体间的电场和磁场： 第五章 时 变 电 磁 场 上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为 这一结果与电路理论中熟知的结果一致。 第五章 时 变 电 磁 场 5.6 正正 弦弦 电电 磁磁 场场 5.6.1 正弦电磁场的复数表示法正弦电磁场的复数表示法 时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。 以电场强度为例， 在直角坐标系中， 第五章 时 变 电 磁 场 式中电场强度的各个坐标分量为 与电路理论中的处理相似，利用复数或相量来描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化：对时间变量t进行降阶(把微积分方程变为代数方程)减元(消去各项的共同时间因子e jt)。例如， 第五章 时 变 电 磁 场 第五章 时 变 电 磁 场 因此，我们也把 称为Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)的复数形式。按照式(5 - 47)，给定函数Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)，有唯一的复数与之对应； 反之亦然。 由于 第五章 时 变 电 磁 场 所以，采用复数表示时，正弦量对时间t的偏导数等价于该正弦量的复数形式乘以j，即 同理，电场强度矢量也可用复数表示为 第五章 时 变 电 磁 场 式中 称为电场强度的复振幅矢量或复矢量， 它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t和空间x、y、z的四维(x, y, z, t)矢量函数简化成了空间(x, y, z)的三维函数，即 若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以ejt并取实部，便得到其相应的瞬时值： 第五章 时 变 电 磁 场 例例5 -12 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 13 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。 第五章 时 变 电 磁 场 5.6.2 麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 在复数运算中，对复数的微分和积分运算是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故 第五章 时 变 电 磁 场 故当t任意时， 以及电流连续性方程的复数形式： 第五章 时 变 电 磁 场 5.6.3 复坡印廷矢量复坡印廷矢量 对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时： 从而坡印廷矢量瞬时值可写为 第五章 时 变 电 磁 场 它在一个周期T=2/内的平均值为 式中： S称为复坡印廷矢量，它与时间t无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚部为无功功率流密度。 注意式中的电场强度和磁场强度是复振幅值而不是有效值；E*、 H*是E、H的共扼复数，Sav称为平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。 第五章 时 变 电 磁 场 类似地可得到电场能量密度、磁场能量密度和导电损耗功率密度的表示式： 第五章 时 变 电 磁 场 5.6.4 复介电常数与复磁导率复介电常数与复磁导率 媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化和传导，它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导率。在静态场中这些参数都是实常数；而在时变电磁场作用下，反映媒质电磁特性的宏观参数与场的时间变化有关，对正弦电磁场即与频率有关。研究表明：一般情况下(特别在高频场作用下)， 描述媒质色散特性的宏观参数为复数，其实部和虚部都是频率的函数， 且虚部总是大于零的正数，即 第五章 时 变 电 磁 场 第五章 时 变 电 磁 场 对于具有复介电常数的导电媒质，考虑到传导电流J=E, 上式表明，导电媒质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替；导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示，即 第五章 时 变 电 磁 场 5.6.5 复坡印廷定理复坡印廷定理 利用矢量恒等式可知 第五章 时 变 电 磁 场 这个公式表示了作为点函数的功率密度关系。 对其两端取体积分，并应用散度定理得 这就是用复矢量表示的坡印廷定理， 称为复坡印廷定理。 设宏观电磁参数为实数， 磁导率和介电常数为复数， 则有 第五章 时 变 电 磁 场 式中pav,c、pav,e、pav,m分别是单位体积内的导电损耗功率、极化损耗功率和磁化损耗功率的时间平均值；wav,e和wav,m分别是电场和磁场能量密度的时间平均值。 第五章 时 变 电 磁 场 例例 5 - 14 已知无源(=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：(1) 磁场强度复矢量； (2) 坡印廷矢量的瞬时值；(3) 平均坡印廷矢量。 第五章 时 变 电 磁 场 解：解： (1) 由 得 第五章 时 变 电 磁 场 (2) 电场、 磁场的瞬时值为 所以，坡印廷矢量的瞬时值为 第五章 时 变 电 磁 场 (3) 平均坡印廷矢量： 第五章 时 变 电 磁 场 5.7 波波 动方程动方程 考虑媒质均匀、线性、各向同性的无源区域(J=0, =0)且=0 的情况，这时麦克斯韦方程变为 第五章 时 变 电 磁 场 第五章 时 变 电 磁 场 例如在直角坐标系中，由E的矢量波动方程可以得到三个标量波动方程： 第五章 时 变 电 磁 场 对于正弦电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动方程： 式中： 第五章 时 变 电 磁 场 例例5 15 在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强度满足的波动方程。 解解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由麦克斯韦方程有 第五章 时 变 电 磁 场 所以，电场强度E满足的波动方程为 同理，可得磁场强度满足的波动方程为 第五章 时 变 电 磁 场 5.8 时变电磁场中的位函数时变电磁场中的位函数 因为B=0，根据矢量恒等式 ( A)=0，可以令 第五章 时 变 电 磁 场 根据矢量恒等式( )=0，可以令 则 A称为矢量位，单位为Wb/m(韦伯/米)；称为标量位，单位为V(伏)。 第五章 时 变 电 磁 场 则有 第五章 时 变 电 磁 场 及 如果适当地选择A的值，就可以使这两个方程进一步简化为分别只含有一个位函数的方程。为此我们选择 第五章 时 变 电 磁 场 对于正弦电磁场，上面的公式可以用复数表示为 洛仑兹条件变为 第五章 时 变 电 磁 场 而A和的方程变为 其中k2=2。由此可见，采用位函数使原来求解电磁场量B和E的六个标量分量变为求解A和的四个标量分量。而且，因为标量位可以由洛仑兹条件求得： 第五章 时 变 电 磁 场 例例5 - 16 已知时变电磁场中矢量位 ， 其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：解： 如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。 第五章 时 变 电 磁 场 坡印廷矢量的瞬时值为