无忧无忧PPTPPT整理发整理发小波分析及其应用小波分析及其应用无忧无忧PPTPPT整理发整理发参考书目参考书目v小波分析及其工程应用小波分析及其工程应用 杨建国杨建国 著著v化学计量学方法化学计量学方法 许禄许禄 邵学广邵学广 著著无忧无忧PPTPPT整理发整理发主要内容主要内容v一、信号一、信号v二、连续小波变换及其应用二、连续小波变换及其应用v三、离散小波变换及其应用三、离散小波变换及其应用v四、小波包分析及其应用四、小波包分析及其应用v五、结束语五、结束语无忧无忧PPTPPT整理发整理发一、信号一、信号v1、信号是什么、信号是什么?v2、信号的分析与处理方法、信号的分析与处理方法v3、小波变换介绍、小波变换介绍无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、信号是什么？、信号是什么？v物理学角度：信号是承载某些信息的物理量的变化物理学角度：信号是承载某些信息的物理量的变化历程。历程。v数学角度：信号就是函数，就是某一变量随时间或数学角度：信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其它变量而变化的函数。频率或其它变量而变化的函数。v工程角度：信号是一组数据或者波形。工程角度：信号是一组数据或者波形。无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、分析与处理方法、分析与处理方法v目的：从信号中提取有用信息。目的：从信号中提取有用信息。数学方法数学方法时域：时域：不涉及数学变换不涉及数学变换频域：频域：离散傅立叶变换离散傅立叶变换FFT时频域：时频域：WVD、小波变换小波变换、短时傅立叶变换短时傅立叶变换Wigner-Ville分布无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、小波变换介绍、小波变换介绍v小波变换：首先由法国地球物理学家小波变换：首先由法国地球物理学家Morlet 在在20世纪世纪80年代初在分析地球物理信号时提年代初在分析地球物理信号时提出的。出的。v研究小波的热潮在研究小波的热潮在1986年后。年后。无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、小波变换介绍、小波变换介绍v小波变换的应用：数据压缩、图像处理、机小波变换的应用：数据压缩、图像处理、机械故障诊断、信号降噪、边缘检测、神经网械故障诊断、信号降噪、边缘检测、神经网络、参数辨识、络、参数辨识、CT成像、语音识别与合成等。成像、语音识别与合成等。无忧无忧PPTPPT整理发整理发二、连续小波变换及其应用二、连续小波变换及其应用v1、小波的定义、小波的定义v2、小波变换的定义、小波变换的定义v3、不同变换比较、不同变换比较v4、连续小波变换的应用、连续小波变换的应用无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、小波的定义、小波的定义v小波定义：满足一定条件的函数小波定义：满足一定条件的函数 通过平移和伸通过平移和伸缩产生的一个函数族。缩产生的一个函数族。v式中：式中： a-尺度参数，用于控制伸缩；尺度参数，用于控制伸缩；v b-平移参数，用于控制位置；平移参数，用于控制位置；v - 小波基或者小波母函数小波基或者小波母函数;无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、小波的定义、小波的定义v小波母函数小波母函数 必须满足以下两个条件：必须满足以下两个条件：v条件条件1： 小小，迅速趋向于零，迅速趋向于零v条件条件2： 波波，满足，满足 无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、小波的定义、小波的定义v几种常用的小波：几种常用的小波：v1、高斯函数的、高斯函数的m阶导数阶导数无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、小波的定义、小波的定义v2、Morlet小波小波无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、小波的定义、小波的定义无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波变换的定义、小波变换的定义v小波变换定义：小波变换定义：v可以理解为函数可以理解为函数 f(t)在小波空间的投影。在小波空间的投影。无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波变换的定义、小波变换的定义v连续小波变换的步骤：连续小波变换的步骤：v1、选择小波函数和尺度、选择小波函数和尺度a。v2、从信号的起始位置开始，将小波函数与信号进行、从信号的起始位置开始，将小波函数与信号进行比较，计算小波系数。比较，计算小波系数。v3、改变、改变b，在新的位置重新计算小波系数。，在新的位置重新计算小波系数。v4、改变尺度改变尺度a,重复重复2、3步步无忧无忧PPTPPT整理发整理发连续小波变换流程连续小波变换流程选择小波和尺度选择小波和尺度a计算小波系数计算小波系数改变改变b，计算小波系数，计算小波系数选择选择a，重复，重复2、3步步无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波变换的定义、小波变换的定义无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波变换的定义、小波变换的定义v结论：结论：v时间局部化能力；时间局部化能力；v小波系数越大，相似程度越高；小波系数越大，相似程度越高；v不同的尺度小波代表不同频率，小波系数越不同的尺度小波代表不同频率，小波系数越大，在这一频率中心周围的频率成分就越多。大，在这一频率中心周围的频率成分就越多。无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、不同变换比较、不同变换比较v1、傅立叶变换：、傅立叶变换：v表示表示:信号信号f(t)在整个时间域中的频率特征，或者说在整个时间域中的频率特征，或者说傅立叶变换在时间域中没有傅立叶变换在时间域中没有局部化性质局部化性质。无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、不同变换比较、不同变换比较v2、加窗傅立叶变换：、加窗傅立叶变换：v目的：为了进行信号的局部化性质研究，加入了窗目的：为了进行信号的局部化性质研究，加入了窗口函数口函数g(t)进行处理。进行处理。v随着随着m的变化，的变化，g(t)在时间轴上移动，从而得到不在时间轴上移动，从而得到不同的局部化信息。同的局部化信息。无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、不同变换比较、不同变换比较v既叫做既叫做Gabor变换，又叫做短时傅立叶变换。变换，又叫做短时傅立叶变换。vGabor变换很好地解决了傅立叶变换的局部化性质。变换很好地解决了傅立叶变换的局部化性质。v高频信号采用小的窗口；低频信号采用大的窗口。高频信号采用小的窗口；低频信号采用大的窗口。窗口的大小不能自动调整。窗口的大小不能自动调整。无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、不同变换比较、不同变换比较v3、小波变换、小波变换：小波母函数相当于一个窗口函数，通：小波母函数相当于一个窗口函数，通过伸缩参数过伸缩参数a可以改变窗口的大小。可以改变窗口的大小。v小波分析有小波分析有“自动变焦功能自动变焦功能”。无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、连续小波变换的应用、连续小波变换的应用v应用之一：应用之一：断点分析断点分析v检测信号中的间断点检测信号中的间断点无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、连续小波变换的应用、连续小波变换的应用v如图，一正弦信号在空间如图，一正弦信号在空间1000处有一个间断点，由于间断处有一个间断点，由于间断点持续时间很短，因此波形图上无法辨认出间断点位置。点持续时间很短，因此波形图上无法辨认出间断点位置。 无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、连续小波变换的应用、连续小波变换的应用只有基频处有信息无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、连续小波变换的应用、连续小波变换的应用v利用小波变换检测间断点，如图：无忧无忧PPTPPT整理发整理发三、离散小波变换及其应用三、离散小波变换及其应用v1、离散小波定义、离散小波定义v2、离散小波变换定义、离散小波变换定义v3、Mallat算法算法v4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、离散小波定义、离散小波定义v定义定义：所谓的离散小波是指对尺度：所谓的离散小波是指对尺度a和偏移和偏移b进行进行离散化，而不是对时间的离散化。离散化，而不是对时间的离散化。v代入：代入：v得到：得到：无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、离散小波定义、离散小波定义v取取a0=2,b0=1,得到二进离散小波得到二进离散小波v以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变换。换。无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、离散小波变换定义、离散小波变换定义v定义定义：v小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波函数的函数的线性组合线性组合。 为为小波系数小波系数。 无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、离散小波变换定义、离散小波变换定义v采用采用symmlet小波对图中的信号进行小波变换。小波对图中的信号进行小波变换。无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、离散小波变换定义、离散小波变换定义v在得到的小波系数中，只有以下几个系数不为零。在得到的小波系数中，只有以下几个系数不为零。v也就是说可以用下列组合进行表示：也就是说可以用下列组合进行表示：无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、Mallat算法算法vS.Mallat在在1989年在多分辨分析的基础上提年在多分辨分析的基础上提出的快速算法。出的快速算法。vMallat算法在小波分析中的作用相当于算法在小波分析中的作用相当于FFT在在傅立叶变换中的作用。傅立叶变换中的作用。vMallat算法又称为塔式算法，由小波分解滤算法又称为塔式算法，由小波分解滤波器波器H、G和小波重构滤波器和小波重构滤波器h、g对信号进行对信号进行分解与重构。分解与重构。无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、Mallat算法算法v分解算法分解算法：第j层，低频部分的小波系数(低频部分又叫近似部分）第j层,高频部分的小波系数（高频部分又叫细节部分）j为层数，j=1，2，3J,无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、Mallat算法算法v分解算法的图解：分解算法的图解：第二层的细节部分第二层的近似部分无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、Mallat算法算法v隔点采样：隔点采样：v降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔一个点选取一个点。一个点选取一个点。v做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一半。信号中的数据量也减半。半。信号中的数据量也减半。无忧无忧PPTPPT整理发整理发v重构算法重构算法无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、Mallat算法算法v重构算法图解：重构算法图解：无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、Mallat算法算法v隔点插零：隔点插零：v在离散时间信号的每两个样点之间插入一个零值。在离散时间信号的每两个样点之间插入一个零值。v结果：结果：v1、信号采样频率增加一倍、信号采样频率增加一倍v2、隔点采样和隔点插零是相反的过程。、隔点采样和隔点插零是相反的过程。无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v应用之一：应用之一：数据压缩数据压缩v背景：信号经过小波变换之后从原来的空间背景：信号经过小波变换之后从原来的空间投影到小波空间，有一部分小波系数很小，投影到小波空间，有一部分小波系数很小，对信号没有意义。对信号没有意义。v如果将小的系数去除，在重构的信号中不会如果将小的系数去除，在重构的信号中不会丢失有意义的信息。丢失有意义的信息。无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v步骤步骤：v1、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。v2、将系数中足够小的系数去除既可以得到压、将系数中足够小的系数去除既可以得到压缩后的数据。缩后的数据。v3、用数据对原始信号进行重构。、用数据对原始信号进行重构。v引出问题：引出问题：具体保留的系数多少呢？具体保留的系数多少呢？无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v具体保留的系数多少，需要设定一个阈值。具体保留的系数多少，需要设定一个阈值。v两种方式：两种方式：v1、采用一定的计算公式。、采用一定的计算公式。v2、根据经验人工确定。主要考虑压缩比和失真程度。、根据经验人工确定。主要考虑压缩比和失真程度。需要反复测试得到理想的阈值。需要反复测试得到理想的阈值。v在满足失真度的前提下，尽量提高压缩比。在满足失真度的前提下，尽量提高压缩比。无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v例子：例子：某电信号如图所示，数据长度某电信号如图所示，数据长度1024。利用。利用sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进行压缩。行压缩。v采用阈值：采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值细节小波系数的绝对值最大值无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v进行小进行小波变换波变换后，对后，对信号进信号进行重构行重构恢复信恢复信号。号。无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v采用采用symmlet滤波器，尺度为滤波器，尺度为10无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v应用之二：平滑和滤噪应用之二：平滑和滤噪v滤噪是将信号中的干扰信号进行滤除。滤噪是将信号中的干扰信号进行滤除。v平滑是将信号中的高频部分滤除。减少信号平滑是将信号中的高频部分滤除。减少信号的波动。的波动。无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、离散小波变换的应用、离散小波变换的应用v滤噪步骤滤噪步骤：（类似数据：（类似数据压缩）压缩）v1、将原始信号进行小、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。波变换，得到小波系数。v2、将系数中、将系数中足够小的足够小的系数系数去除得到滤噪后数去除得到滤噪后数据。据。v3、用数据对原始信号、用数据对原始信号进行重构。进行重构。v平滑步骤平滑步骤：（类似傅立叶：（类似傅立叶滤波）滤波）v1、将原始信号进行小波、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。变换，得到小波系数。v2、将系数中代表、将系数中代表高频率高频率信号的系数信号的系数去除，得到的去除，得到的数据。数据。v3、用数据对原始信号进、用数据对原始信号进行重构。行重构。无忧无忧PPTPPT整理发整理发四、小波包分析及其应用四、小波包分析及其应用v1、什么是小波包？、什么是小波包？v2、小波包的快速算法、小波包的快速算法v3、小波包与离散小波变换、小波包与离散小波变换v4、小波包应用、小波包应用无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、什么是小波包？、什么是小波包？v先谈谈为什么要引入小波包？先谈谈为什么要引入小波包？v二进小波变换对高频部分不再分解。对音频二进小波变换对高频部分不再分解。对音频信号等分析就不能满足要求。信号等分析就不能满足要求。无忧无忧PPTPPT整理发整理发1、什么是小波包？、什么是小波包？v1992年，年，Coifman,Meyer,Wickerhauser提提出了小波包概念。出了小波包概念。v定义定义：借助于小波分解滤波器在各个尺度上：借助于小波分解滤波器在各个尺度上对每个子带均进行对每个子带均进行再次降半划分再次降半划分，从而得到，从而得到比二进小波更加精确的信号分解。比二进小波更加精确的信号分解。无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波包的快速算法、小波包的快速算法v小波包分解树形图的图解：小波包分解树形图的图解：HGHGHG无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波包的快速算法、小波包的快速算法v二进小波包快速算法：二进小波包快速算法：无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波包的快速算法、小波包的快速算法v分解算法分解算法无忧无忧PPTPPT整理发整理发2、小波包的快速算法、小波包的快速算法v重构算法重构算法无忧无忧PPTPPT整理发整理发3、小波包与离散小波变换、小波包与离散小波变换v异异：是否对高频部分的分解。是否对高频部分的分解。v同：同：三个关键的运算三个关键的运算v1、与小波滤波器的卷积、与小波滤波器的卷积v2、隔点采样、隔点采样v3、隔点插零、隔点插零无忧无忧PPTPPT整理发整理发4、小波包应用、小波包应用v前面例子前面例子：v 某电信号如图所示，数据长度某电信号如图所示，数据长度1024。选用。选用sym5小波利用小波包分解到第二层，并进行压缩。小波利用小波包分解到第二层，并进行压缩。无忧无忧PPTPPT整理发整理发五、结束语五、结束语v 我的体会：我的体会：v小波分析有着很多方面的应用，除了前面提小波分析有着很多方面的应用，除了前面提到的，还有在紫外，可见光谱，光声光谱等到的，还有在紫外，可见光谱，光声光谱等方面。方面。v小波分析拥有的灵活性在提取特征信息、滤小波分析拥有的灵活性在提取特征信息、滤除噪声等方面是传统方法不能企及的。除噪声等方面是传统方法不能企及的。