平面与空间向量平面与空间向量要点要点疑点疑点考点考点1.1.向量的有关概念向量的有关概念 (1)既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量叫叫向向量量，长长度度为为0的的向向量量叫叫零零向向量量，长度为长度为1个单位长的向量，叫单位向量个单位长的向量，叫单位向量. (2)方方向向相相同同或或相相反反的的非非零零向向量量叫叫平平行行向向量量，也也叫叫共共线线向向量量.规定零向量与任一向量平行规定零向量与任一向量平行. (3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2.2.向量的加法与减法向量的加法与减法 (1)(1)求求两两个个向向量量和和的的运运算算，叫叫向向量量的的加加法法，向向量量加加法法按按平平行行四边形法则或三角形法则进行四边形法则或三角形法则进行. .加法满足交换律和结合律加法满足交换律和结合律. . (2)(2)求求两两个个向向量量差差的的运运算算，叫叫向向量量的的减减法法. .作作法法是是连连结结两两向向量的终点，方向指向被减向量量的终点，方向指向被减向量. . 【解解题题回回顾顾】选选用用本本例例的的意意图图有有二二，其其一一，复复习习向向量量加加法法的的平平行行四四边边形形法法则则，向向量量减减法法的的三三角角形形法法则则；其其二二，向向量量内内容容中中蕴蕴涵涵了了丰丰富富的的数数学学思思想想，如如模模型型思思想想、形形数数结结合合思思想想、分分类类讨讨论论思思想想、对对应应思思想想、化化归归思思想想等等，复复习习中中要要注注意意梳梳理理和和领悟领悟. .本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想. . 【解解题题回回顾顾】(1)以以上上证证明明实实际际上上给给出出了了所所证证不不等等式式的的几几何何解解释；释； (2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想. 4.对任意非零向量对任意非零向量a,b，求证：，求证：|a|-|b|ab|a|+|b|. 【解解题题回回顾顾】充充分分利利用用等等腰腰直直角角三三角角形形这这两两个个条条件件，转转化化为为|AB|=|BC|，ABBC延伸拓展5.在在等等腰腰直直角角三三角角形形ABC中中，B=90,AB=(1，3)，分分别别求求向量向量BC、AC误解分析2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏.1.在在向向量量的的有有关关习习题题中中，零零向向量量常常被被忽忽略略(如如能能力力思思维维方方法法1.中中)，从而导致错误，从而导致错误第2节 实数与向量的积要点要点疑点疑点考点考点2共共线线定定理理.向向量量b与与非非零零向向量量a共共线线的的充充要要条条件件是是有有且且只只有有一一个个实实数数，使得，使得b=a1.实数与向量的积的概念实数与向量的积的概念 .(1)实数实数与向量与向量a的积记作的积记作a，其长度，其长度|a|=|a|；方向规定如下：；方向规定如下：当当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a的方向与的方向与a的的方向相反；当方向相反；当=0时，时，a=0. (2)设设、为实数，则有如下运算律：为实数，则有如下运算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)=a+b3.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1,2，使，使a=1e1+2e2 ,其中其中e1，e2叫基底叫基底.1.设命题设命题p：向量：向量b与与a共线，命题共线，命题q:有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得b=a,则则p是是q的的( ) (A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)充要条件充要条件 (D)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 2.给出下列命题：给出下列命题：若若a,b共线且共线且|a|=|b|，则，则(a-b)(a+b)；已知已知a=2e,b=3e，则，则a=3b/2；若若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且，且e1e2，则，则|a|=3|b|；在在ABC中，中，AD是是BC上的中线，则上的中线，则AB+AC=2AD其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_3.(1)在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=a,AD=b,那么用那么用a和和b表示向量表示向量AC+DB为为( ) (2)已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点E，设，设AB=e1，AD=e2，则用则用e1, e2表示表示ED的表达式为的表达式为( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b 课课 前前 热热 身身B，ABD 4.平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点，若点C满足满足OC=OA+OB，其中，其中a、R，且，且+=1,则点则点C的的轨迹方程为轨迹方程为( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=05.设设P、Q是四边形是四边形ABCD对角线对角线AC、BD中点，中点，BC=a,DA=b，则，则PQ=_能力思维方法 1.1.已知已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中其中e1,e2e1,e2不不共线，共线， (1)(1)若若A A、B B、C C三点共线，求三点共线，求k k值；值； (2)(2)若若A A、B B、D D三点共线，求三点共线，求k k值值. . 【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题.2.设设ABC的重心为的重心为G，点，点O是是ABC所在平面内一点，求证：所在平面内一点，求证： OG= (OA+OB+OC) 【解解题题回回顾顾】当当点点O是是ABC重重心心时时，有有OA+OB+OC=0；反反过过来来，若若P是是ABC所所在在平平面面内内一一点点，且且PA+PB+PC=0，则则P必必为为ABC的重心的重心.事实上，由事实上，由PA+PB+PC=0得：得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所所以以OP= (OA+OB+OC)，故故P是是ABC的的重重心心3.已已知知OA、OB不不共共线线，设设OP=aOA+bOB，求求证证：A、P、B三三点点共线的充要条件是共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是是AB中点，则有中点，则有OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题利用本题结论，可解决一些几何问题.4.E是是ABCD的的边边AB上上一一点点，AE/EB=1/2，DE与与对对角角线线AC交交于于F，求，求AF/FC.(用向量知识解答用向量知识解答) 【解题回顾】利用例【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样：结论，本题还可这样： 设设AE=e1，AD=e2，D、F、E共线，共线，可设可设AF=e1+(1-)e2，又，又易知易知AC=3e1+e2根据根据A、F、C三点共线可得三点共线可得=3/4，故，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略另外还可以用坐标运算的方法来解，略. 延伸拓展5.如如图图，已已知知梯梯形形ABCD中中，ADCB，E，F分分别别是是AD，BC边边上上的的中中点点，且且BC=3AD，设设BA=a,BC=b，以以a,b为为基基底底表表示示EF，DF，CD. 【解解题题回回顾顾】本本题题实实际际上上是是平平面面向向量量的的基基本本定定理理的的应应用用.由由于于BA与与BC是是不不共共线线的的两两个个向向量量，因因此此平平面面上上的的任任何何一一个个向向量量都都可可以以用用它它们表示出来们表示出来. 误解分析1.很多人认为很多人认为“若若ab，则存在唯一实数，则存在唯一实数使使ba.”这是典型错这是典型错误误.事实上，它成立的前提是事实上，它成立的前提是a0.同样，在向量基本定理中，若同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量表示与它们不共线的向量. 2.在能力在能力思维思维方法方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了写成了0. 第3节 平面向量的坐标表示要点要点疑点疑点考点考点1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 (1)a(x，y)叫叫向向量量的的坐坐标标表表示示，其其中中x叫叫a在在x轴轴上上的的坐坐标标，y叫叫a在在y轴上的坐标轴上的坐标. (2)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，R. 则则a+b(x1+x2，y1+y2)，a-b(x1-x2，y1-y2)，a(x1，y1) (3)ab(b0)的充要条件是的充要条件是x1y2-x2y10 2.线段的定比分点线段的定比分点 (1)定定义义：设设P1、P2是是直直线线l上上的的两两点点，点点P是是l上上不不同同于于P1、P2的的任任一一点点，则则存存在在一一个个实实数数，使使P1PPP2，叫叫点点P分分有向线段有向线段P1P2所成的比，点所成的比，点P叫定比分点叫定比分点. (2)公式：设公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1PPP2，则，则当当1时，时， 为中点坐标公式为中点坐标公式. 3.平移平移 设原坐标设原坐标P(x，y)按向量按向量a(h，k)平移后得到新坐标平移后得到新坐标则则1.设设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点是不同的两点，点P(x，y)的坐的坐标由公式标由公式 确定确定.当当R且且-1时有时有( ) (A)P表示直线表示直线AB上的所有点上的所有点 (B)P表示直线表示直线AB上除去上除去A的所有点的所有点 (C)P表示直线表示直线AB上除去上除去B的所有点的所有点 (D)P表示直线表示直线AB上除去上除去A、B的所有点的所有点 课课 前前 热热 身身C2.若若对对n个个向向量量a1、a2、an，存存在在n个个不不全全为为零零的的实实数数k1、k2、kn，使使得得k1a1+k2a2+knan=0成成立立，则则称称向向量量a1、a2、an为为“线线性性相相关关”，依依此此规规定定，能能使使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线线性性相相关关”的的实实数数k1、k2、k3依依次次可可取取的的值值是是 _(写出一写出一组组数数值值即可，不必考即可，不必考虑虑所有情况所有情况) -4，2，13.三点三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是共线的充要条件是( )(A)x1y2-x2y10 (B)(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)(y3-y1)(C)(x2-x1)(y3-y1)(x3-x1)(y2-y1) (D)x1y3-x3y10 CB4.若向量若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则则c等于等于( ) 5.函函数数y=x2的的图图象象按按向向量量a=(2,1)平平移移后后得得到到的的图图象象的的函函数数表达式为表达式为( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1 C能力思维方法【解解题题回回顾顾】任任何何两两个个不不共共线线的的向向量量都都可可作作为为基基底底，i(1，0)，j(0，1)分分别别是是直直角角坐坐标标系系横横、纵纵两两个个方方向向的的单单位位向向量量，用用i、j表表示示向向量量时时，xi+yj中中的的x、y是是惟惟一一的的，即即为为向向量量的的(直直角角)坐坐标标.两两个个向向量量用用坐坐标标表表示示时时，当当且且仅仅当当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等. 1.设设x、y为实数，分别按下列条件，用为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示的形式表示c. (1)若给定若给定a(1，0)，b(0，1)，c(-3，-5)； (2)若给定若给定a(5，2)，b(-4，3)，c(-3，-5). 【解解题题回回顾顾】设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若若b0，则则ab的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数，使使得得ab.用用坐坐标标形形式式来来表表示示就就是是abx1y2-x2y10.而而x1/x2y1/y2是是ab的的充充分不必要条件分不必要条件. 2.已已知知在在梯梯形形ABCD中中，ABCD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若，若AD(BC-2AB)，求，求D点坐标点坐标. 3.已已知知三三点点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在在线线段段AB上上取取一一点点P，过过P作作直直线线与与BC平平行行交交AC于于Q，APQ与与梯梯形形PQCB的面积之比是的面积之比是4 5，求点，求点P的坐标的坐标. 【解解题题回回顾顾】一一般般地地，函函数数yf(x)的的图图象象按按a(h，k)平平移后所得图象的解析式为移后所得图象的解析式为y-kf(x-h)，即，即yf(x-h)+k.4.若若函函数数ylog2(2x-4)+1的的图图象象按按a平平移移后后图图象象的的解解析析式式为为ylog22x，求，求a. 延伸拓展【解解题题回回顾顾】本本题题(2)是是一一道道开开放放题题，求求解解开开放放题题的的一一般般途途径径是是假假定定命命题题成成立立.解解出出存存在在的的值值(如如无无解解，则则不不存存在在)，再再验证求出的解，如不矛盾，则存在验证求出的解，如不矛盾，则存在. 5.已已知知点点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及及OPOA+tAB，试试问：问： (1)t为何值时，为何值时，P在在x轴上轴上?在在y轴上轴上?P在第二象限在第二象限? (2)四四边边形形OABP能能否否成成为为平平行行四四边边形形?若若能能，求求出出相相应应的的t值；若不能，请说明理由值；若不能，请说明理由. 1.利利用用定定比比分分点点解解题题时时，一一定定要要先先把把定定比比先先明明确确，的的意意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错. 误解分析2.利利用用平平移移公公式式解解题题时时，一一定定要要分分清清原原坐坐标标与与新新坐坐标标之之间间关系关系. 第4节 平面向量的数量积要点要点疑点疑点考点考点2.2.平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律 (1)abba (2)(a)b(ab)a(b) (3)(a+b)cac+bc 1.1.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 (1)设设两两个个非非零零向向量量a和和b，作作OAa，OBb，则则AOB叫叫a与与b的的夹夹角角，其其范范围围是是0，|b|cos叫叫b在在a上的投影上的投影. (2)|a|b|cos叫叫a与与b的的数数量量积积，记记作作ab，即即ab|a|b|cos. (3)几几何何意意义义是是：ab等等于于|a|与与b在在a方方向向上上的的投投影影|b|cos的积的积. 3.平面向量的数量积的性质平面向量的数量积的性质 设设a、b是非零向量，是非零向量，e是单位向量，是单位向量，是是a与与e的的夹角，则夹角，则 (1)eaae|a|cos(2)ab ab0(3)ab|a|b|(a与与b同向取正，反向取负同向取正，反向取负) (4)aa|a|2 或或 |a|aa(5)(6)|ab|a|b| 4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示 (1)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)设设a起点起点(x1，y1)，终点终点(x2，y2)则则1.若向量若向量a、b的坐标满足的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则，则ab等于等于( ) (A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1 2.若若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则量都不共线，则( ) (A)(a)2(b)2=(ab)2 (B)|a+b|a-b| (C)(ab)c-(bc)a与与b垂直垂直 (D)(ab)c-(bc)a=0 3.设有非零向量设有非零向量a, b, c，则以下四个结论，则以下四个结论 (1)a(b+c)=ab+ac； (2)a(bc)=(ab)c; (3)a=bac=bc；(4)ab=ab.其中正确的是其中正确的是( ) (A)(1)、(3) (B)(2)、(3) (C)(1)、(4) (D)(2)、(4) 课课 前前 热热 身身AC A4.设设 a=(1,0),b=(1,1)， 且且 (a+b)b， 则则 实实 数数 的的 值值 是是 ( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2 5.已已知知|a|10，|b|12，且且(3a)(b/5) -36，则则a与与b的夹角是的夹角是( ) (A)60 (B)120 (C)135 (D)150 DB能力思维方法【解解题题回回顾顾】利利用用夹夹角角公公式式待待定定n，利利用用垂垂直直充充要要条条件求件求c. 1.已知已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与与b的夹角是的夹角是45(1)求求b； (2)若若c与与b同向，且同向，且c-a与与a垂直，求垂直，求c2.已知已知xa+b，y2a+b且且|a|b|1，ab. (1)求求|x|及及|y|；(2)求求x、y的夹角的夹角. 【解解题题回回顾顾】(1)向向量量模模的的计计算算方方法法常常用用的的有有两两种种，一一是是用用距距离离公公式式，一一是是用用a2|a|2把把模模的的问问题题转转化化为平面向量的数量积的问题为平面向量的数量积的问题.(2)向量夹角的取值范围是向量夹角的取值范围是0，. 【解题回顾】本题中，通过建【解题回顾】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图立恰当的坐标系，赋予几何图形形有有关关点点与与向向量量具具体体的的坐坐标标，将将有有关关几几何何问问题题转转化化为为相相应应的的代代数数运运算算和和向向量量运运算算，从从而而使使问问题题得得到到解解决决.应应深深刻刻领领悟悟到到其其中中的的形形数数结结合合思思想想.此此外外，题题中中坐坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁与简与简. 3.如如图图，P是是正正方方形形ABCD的的对对角角线线BD上上一一点点，PECF是矩形，用向量法证明：是矩形，用向量法证明：(1)PAEF；(2)PAEF. 【解解题题回回顾顾】这这是是一一道道关关于于向向量量与与解解析析几几何何的的综综合合题题，解解题题的的关关键键在在于于将将问问题题合合理理地地转转化化 ，回回避避了了复复杂的计算杂的计算. .4.4.已已知知a=(x,0),b=(1,y),a=(x,0),b=(1,y),且且(a+ (a+ b)(a- b)(a- b).b). (1) (1)求点求点P(x,y)P(x,y)的轨迹方程的轨迹方程C C的方程的方程. . (2)(2)若若直直线线l:y=kx+m(m0)l:y=kx+m(m0)与与曲曲线线C C交交于于A A、B B两两点点，D D(0(0，1)1)，且且有有ADAD= =BDBD, ,试试求求实实数数m m 的的取取值值范范围围. .延伸拓展5.已知向量已知向量a=(x,x-4)，向量，向量b=(x2,3x/2),x-4，2 (1)试用试用x表示表示ab (2)求求ab的最大值，并求此时的最大值，并求此时a、b夹角的大小夹角的大小. 【解解题题回回顾顾】本本题题将将向向量量与与三三次次函函数数的的最最值值问问题题溶溶于一体，考查知识的综合应用于一体，考查知识的综合应用.【解解题题回回顾顾】(1)是是用用数数量量积积给给出出的的三三角角形形面面积积公公式式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式则是用向量坐标给出的三角形面积公式. 6.在在ABC中，中，(1)若若CAa，CBb，求证，求证ABC的面积的面积 (2)若若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )，求证：，求证：ABC的面积的面积 1数数量量积积作作为为向向量量的的一一种种特特殊殊运运算算，其其运运算算律律中中结结合合律律及及消消去去律律不不成成立立，即即a(bc)(ab)c，abac不能推出不能推出bc，除非是零向量，除非是零向量. 误解分析2ab的的充充要要条条件件不不能能与与ab的的充充要要条条件件混混淆淆，夹夹角角的的范范围围是是0，不不能能记记错错.求求模模时时不不要要忘忘了了开开方，以上是造成不全对的主要原因方，以上是造成不全对的主要原因.第5节 空间向量及其运算要点要点疑点疑点考点考点1.若若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为是空间两个非零向量，它们的夹角为(0)，则则把把a、b的的数数量量积积定定义义为为|a|b|cos，记记作作ab.即即ab=|a|b|cos. 2.ab=ba，(a+b)c=ac+bc3.若若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，则，则 ab=x1x2+y1y2+z1z21.在以下四个式子：在以下四个式子：a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|a|b|中正确的有中正确的有( ) (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)0个个2.若若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果，如果a与与b为共线向量，则为共线向量，则( ) (A)x=1 , y=1 (B)(C) (D)3.已知四边形已知四边形ABCD中，中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线，对角线AC，BD的中点分别为的中点分别为E，F，则，则EF=_课课 前前 热热 身身AC3a+3b-5c4.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出四个命题：中，下面给出四个命题： (A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2A1C(A1B1-A1A)=0.AD1与与A1B的夹角为的夹角为60此正方体体积为：此正方体体积为：|ABAB1AD| 则错误命题的序号是则错误命题的序号是_(填出所有错误命题的序号填出所有错误命题的序号). 5.若若A、B、C三三点点在在同同一一条条直直线线上上，对对空空间间任任意意一一点点O，存在存在m、nR，满足，满足OC=mOA+nOB，则，则m+n=_. 、1能力思维方法1.已已知知三三棱棱锥锥OABC中中，G为为ABC的的重重心心，OA=a，OB=b，OC=c，试用，试用a , b , c 来表示来表示OG. 【解题回顾】【解题回顾】(1)此例用到的常用结此例用到的常用结论为：若论为：若AD是是ABC的中线，则有的中线，则有(2)此例是常用结论即重心定理：当此例是常用结论即重心定理：当OA、OB、OC两两两两垂垂直直时时，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，重重心心坐坐标公式为：标公式为：2.已已知知正正三三棱棱锥锥PABC中中，M，N分分别别是是PA，BC的的中中点点，G是是MN的中点的中点.求证：求证：PGBC. 【解【解题题回回顾顾】要】要证证PGBC，只，只要要证证PGBC=0，应选择应选择适当的基适当的基底：底：PA，PB，PC. 3.在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，AC交交BD于于O，G为为CC1中点中点. 求证：求证：A1O平面平面GBD. 【解解题题回回顾顾】欲欲证证A1O平平面面GBD，只只要要证证A1O垂垂直直于于面面BDG中中两两条条相相交交直直线线，易易看看出出A1OBD，而而OG与与A1O垂垂直直较为较为易易证证.(注：此注：此题题亦可用空亦可用空间间坐坐标标来来证证明明). 4.沿沿着着正正四四面面体体OABC的的三三条条棱棱OA，OB，OC的的方方向向有有大大小小等等于于1，2和和3的的三三个个力力f1，f2，f3，试试求求此此三三个个力力的的合力合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦. 【解解题题回回顾顾】引引入入OA、OB、OC方方向向上上的的三三个个单单位位向向量量是本题得到解决的关键是本题得到解决的关键. 延伸拓展5已知三角形的顶点是已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)试求这个三角形的面积试求这个三角形的面积. 【解解题题回回顾顾】本本题题实实际际上上是是给给出出了了三三角角形形的的“向向量量型型”面面积积公公式式.到到目目前前为为止止，你你一一共共知知道道多多少少种种求求三三角角形形面面积积的的方方法呢法呢? 误解分析已知已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=21，求，求ab 【分分析析】确确定定两两个个向向量量的的夹夹角角，应应将将它它们们平平移移，使使始始点点重重合合，这这时时这这两两个个向向量量间间的的夹夹角角 才才是是所所要要求求的的角角本本题题中中ABC不不是是a与与b的的夹夹角角，而而是是-a与与b的的夹夹角角(试试画图观察画图观察)，即，即a与与b的夹角应是的夹角应是ABC的补角，的补角，所以所以第6节 空间向量在立体几何中的应用要点要点疑点疑点考点考点2.向量向量a与与b平行的充要条件为：平行的充要条件为：|ab|=|a|b|. 1向量向量a与与b夹夹角角满满足：足： 若若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2则则3.向量向量a与与b垂直的充要条件垂直的充要条件为为： ab=0即即x1x2+y1y2+z1z2=0 1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( ) (A)互不相交互不相交(B)至多有两条直线相交至多有两条直线相交(C)三线相交于一点三线相交于一点(D)两两相交得三个交点两两相交得三个交点课课 前前 热热 身身C2.在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中棱棱长长为为a，M，N分分别别为为A1B和和AC上上的的点点，A1M=AN= a，则则MN与与平平面面BB1C1C的位置关系是的位置关系是( )(A)相交相交 (B)平行平行 (C)垂直垂直 (D)不能确定不能确定 B3.已已知知PAO所所在在的的平平面面，AB为为 O的的直直径径，C是是圆圆周周上上的的任任意意一一点点(但但异异于于A和和B)，则则平平面面PBC垂垂直直于于平平面面_ PAC4.在在棱棱长长为为1的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，M，N分分别别为为A1B1和和BB1的的中中点点，那那么么直直线线AM与与CN所所成成的的角角为为( ) (A)arccos (B)arccos(C)arccos (D)arccosD【解题回顾】空间两条直线【解题回顾】空间两条直线之间的夹角是不超过之间的夹角是不超过90的的角因此，如果按公式计算角因此，如果按公式计算分分子子的的数数量量积积为为一一个个负负数数，则则应应当当取取其其绝绝对对值值，使使之之变变为为正正值值，这这样样求求得得的的角角为为锐锐角角，这这一一说说明明在在以以后后很很多计算问题中经常被用到多计算问题中经常被用到. 5P是是二二面面角角-AB-棱棱上上的的一一点点，分分别别在在，平平面面上引射线上引射线PM，PN，如果，如果BPM=BPN=45,MPN=60，那么二面角，那么二面角-AB-的大小为的大小为( ) (A)60 (B)70 (C)80 (D)90 D【解解题题回回顾顾】从从本本题题解解法法中中我我们们看看到到，在在求求二二面面角角时时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线. 【解解题题回回顾顾】从从本本题题解解法法中中我我们们看看到到，在在求求二二面面角角时时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线. 6设设n是是平平面面的的单单位位法法向向量量，AB是是平平面面的的一一条条斜斜线，其中线，其中A，则，则AB与平面与平面所成的角为所成的角为 ；B点到点到平面平面的距离为的距离为_. ABn能力思维方法【解题回顾】用向量求异面【解题回顾】用向量求异面【解题回顾】用向量求异面【解题回顾】用向量求异面直线所成的角，可能会因为直线所成的角，可能会因为直线所成的角，可能会因为直线所成的角，可能会因为我们选择向量方向的缘故，我们选择向量方向的缘故，我们选择向量方向的缘故，我们选择向量方向的缘故，而求得该角的补角所以最而求得该角的补角所以最而求得该角的补角所以最而求得该角的补角所以最后后后后作作作作答答答答时时时时要要要要加加加加以以以以确确确确认认认认( (取取取取小小小小于于于于或或或或等等等等于于于于9090的的的的角角角角作作作作为为为为异异异异面面面面直线所成角直线所成角直线所成角直线所成角). ). 1.在在 长长 方方 体体 ABCDA1B1C1D1中中 ， AB=a， BC=b，AA1=c，求异面直线，求异面直线BD1和和B1C所成角的余弦值所成角的余弦值. 【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，这样使过程更加清晰，这样使过程更加清晰.2.三条射线三条射线OA，OB，OC，若，若BOC=, COA=, ,AOB=，又又二二面面角角B-OA-C的的大大小小为为，试试证证这这些些角之间有如下关系：角之间有如下关系：【解题回顾】将【解题回顾】将“两线垂直两线垂直”问题问题向向“两线所在的向量的数量积为两线所在的向量的数量积为0”转化转化. 3.已已知知ADB和和ADC都都是是以以D为为直直角角顶顶点点的的直直角角三三角形，且角形，且AD=BD=CD，BAC=60. (1)求证求证BD平面平面ADC； (2)若若H是是ABC的垂心，的垂心，求证求证H是是D在平面在平面ABC内的射影内的射影. 【解解题题回回顾顾】根根据据向向量量和和的的平平行行四四边边形形法法则则，在在平平行行六六面面体体中中利利用用量量解解题题应应当当是是最最方方便便的的，同同学学们们应应用用心心体会体会. 4.平行六面体平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知中，已知AB=5，AD=4,AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD= . (1)求证：顶点求证：顶点A1在底面在底面ABCD的射影在的射影在BAD的角平分线上；的角平分线上； (2)若若M、N分别在分别在D1C1、B1C1上上且且D1M=2，B1N=2，求，求BN与与CM所成的角所成的角. 延伸拓展【解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模【解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模. 5.四四面面体体ABCD中中，DAC=BAC=BAD=60，AC=AD=2，AB=3. (1)求直线求直线AC和和BD所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)求点求点C到平面到平面ABD的距离的距离. 6.设设l1，l2是是两两条条异异面面直直线线，其其公公垂垂线线段段AB上上的的单单位位向量向量为为n，又，又C，D分分别别是是l1，l2意一点，求证意一点，求证 |AB|=|CDn|； 【解题回顾】在以上推导中，【解题回顾】在以上推导中，我们已暗中假定了我们已暗中假定了n的方向是的方向是由由l1上的点上的点A指向指向l2上的点上的点B，而而CD的方向也是由的方向也是由l1上的点上的点C指向指向l2上的点上的点D这样求得的这样求得的CDn是正值是正值.如果如果n指向与指向与CD指向不同则指向不同则CDn是负值，所以一般地就写成是负值，所以一般地就写成|AB|=|CDn|.又如果又如果n不是单位向量，则不是单位向量，则7.已已知知正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长长为为a，求求体体对对角角线线BD1与面对角线与面对角线B1C的距离的距离. 【解题回顾】【解题回顾】DA，DC，DD1有有着基底的作用，我们将着基底的作用，我们将BD1与与B1C的公垂线段向量的公垂线段向量n用这组基用这组基底来表示底来表示.因为相差一个常数因因为相差一个常数因子不影响其公垂性，子不影响其公垂性， 所以设定所以设定了了n=DA+DC+DD1，使使其其只只含含有有两两个个待待定定常常数数，这这样样就就方便多了方便多了. 误解分析误解分析关于向量的命题：关于向量的命题： 1.若若|a|=0，则，则a=0；() 2.若若|a|=|b|，则，则a=b或或a=-b；() 3.a0为单位向量，为单位向量，aa0，则，则a=|a|a0；() 4.0a=0；() 5.|ab|=|a|b|；() 6.若若ab=0，则，则a=0或或b=0；() 7.ab ab=|a|b|() 8.a、b都是单位向量，则都是单位向量，则ab=1；() 9.若若|ab|=0，则，则|a|=0或或|b|=0；() 10.(ab)c=a(bc).() 尝试说明上述命题为假的理由尝试说明上述命题为假的理由.