定积分的几何应用新定积分的几何应用新0870508705用定积分表示一个量，用定积分表示一个量，如几何量、如几何量、物理量或其物理量或其他的量，他的量，一般分四步考虑，一般分四步考虑，我我们们来来回回顾顾一一下下解解决决曲曲边梯形面积的过程边梯形面积的过程.第一步分割：第一步分割：将将区区间间 a,b 任任意意分分为为n 个个子子区区间间xi - -1,xi (i =1,2,n)，其中其中x0= = a，xn= = b .一、一、 定积分的微元法定积分的微元法例例1计算由曲线计算由曲线及直线及直线所围所围成的平面图形的面积。成的平面图形的面积。解：解：作出所围成的平面图形作出所围成的平面图形取取x为积分变量，其变化区间为积分变量，其变化区间为为0，1。于是，平面图形的面积。于是，平面图形的面积例例2求出抛物线求出抛物线y2 =2x 与直线与直线y =x 4所所围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.解解作草图，如图，作草图，如图，求抛物线与直线的交点，求抛物线与直线的交点，即解方程组即解方程组得交点得交点A (2,- -2)和和B (8,4).xAB- -24yy =x- -4y2 =2x(8,4)(2,- -2)于是于是如如果果选选择择x 为为积积分分变变量量，那么它的表达式就比上式复杂那么它的表达式就比上式复杂.如果选择如果选择y 作积分变量，作积分变量，y -2,4 ，xyAB(8,4)(2,- -2)- -24yy =x- -4y2 =2xy + +dy任任取取一一个个子区间子区间 y,y + +dy -2,4 ，则则在在 y,y + +dy 上上的面积微元是的面积微元是例例3求求y =sinx，y = =cosx，解解由上述公式知由上述公式知所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.也也可可以以先先作作出出该该平平面面图图形的草图，形的草图， 如图，如图，就不必用公式了就不必用公式了.则直接可得则直接可得y = =cosxxOy =sinx1y例例4求求椭椭圆圆x =a cost，y=b sint 的的面面积积，其其中中a 0，b 0.解解因因为为图图形形关关于于x 轴轴、y 轴对称，轴对称，所所以以椭椭圆圆面面积积是是它它在在第第一象限部分的面积的四倍，一象限部分的面积的四倍，把把x =a cost，y=b sint代代入入上上述述积积分分式式中中，上、下限也要相应地变换上、下限也要相应地变换( (满足满足积分变量积分变量t) ).由定积由定积分的换元公式得分的换元公式得即即xyO一个平面图形绕平面内的一条定直线旋一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫转一周所成的立体叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是旋转体。都是旋转体。计算由区间计算由区间a、b上的连续曲线上的连续曲线、两直线两直线x=a与与x=b及及x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形绕绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积轴旋转一周所成的旋转体的体积。三三 、 旋转体的体积旋转体的体积由微元法，取由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间为积分变量，其变化范围为区间a,b。在区间。在区间a,b的任意一个小区间的任意一个小区间x,x+dx上，相上，相应的薄旋转体的体积可以用以点应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值处的函数值f(x)为底为底面半径，以面半径，以dx为高为高的扁圆柱体的体积近似代替，的扁圆柱体的体积近似代替，从而得到体积元素从而得到体积元素所以，所求旋转所以，所求旋转体的体积体的体积类似地可得，由区间类似地可得，由区间c,d上的连续曲线上的连续曲线,两直线两直线y=c与与y=d及及y轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋轴旋转一周所成的旋转体的体积为转一周所成的旋转体的体积为例例5求由椭圆求由椭圆解解利用图形的对称性利用图形的对称性,只需考虑第一象限内只需考虑第一象限内( (一一) )绕绕x轴：选取积分变量为轴：选取积分变量为x 0,a ，所围图形分别绕所围图形分别绕x 轴和轴和y轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积.任取一个子区间任取一个子区间 x,x+ +dx 0,a ，的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，所求体积为该体积的所求体积为该体积的2倍倍。在子区间在子区间 x ,x+ +dx 上旋转体的微元为：上旋转体的微元为：于是于是dV1=p py2dx，yxOx x+ +dx( (二二) )绕绕y y轴轴：选选积积分分变变量量y 0,b ，任任取取子区间子区间 y ,y+ +dy 0,b.在子区间在子区间 y ,y+ +dy 上体积的微元为上体积的微元为则则yxO y + +dyyxx例例6求求y =x2与与y2=x 所所围围图图形形绕绕x轴轴旋旋转转所成的旋转体体积所成的旋转体体积.解解选选积积分分变变量量x 0,1 ( (两两曲曲线线的的交交点点为为( (0,0) )和和( (1,1)，任任取取子子区区间间 x,x +dx 0,1 ，其上的体积的微元为其上的体积的微元为xx+ +dx(1,1)y2 =x2yxO( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容 利用“微元法”推导了平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长的公式等几何学问题。二、重点和难点二、重点和难点“微元法”的思想及其应用是本章重点也是本章的难点。三、对学习的建议三、对学习的建议 在本章所有讨论的问题中，积分式的建立都依赖于“微元法”这种数学思想，对于非均匀变化问题，这是求整体量的普遍方法。1.曲线曲线与直线与直线所成的图形所成的图形的面积为的面积为（）2.将第一象限内由将第一象限内由x轴和曲线轴和曲线与直线与直线所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积等于等于()思考题思考题DCp2842（1）（）（3）5(1)12作业题作业题结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！25