2.3.2抛物线的简抛物线的简单几何性质单几何性质（1）高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方圆锥曲线与方程程一、温故知新一、温故知新( (一一) ) 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离比的距离比为常数为常数e的点的轨迹的点的轨迹,当当e1时，是时，是双曲线双曲线 .当当0e0) (2)开口向左开口向左 y2 = -2px (p0)(3)开口向上开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下开口向下 x2 = -2py (p0)范围范围1、由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质的几何性质?xy对称性对称性2、关于关于x轴轴对称对称即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px，xy顶点顶点3、 定义：抛物线与它定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的轴的交点叫做抛物线的的顶点顶点。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.xy离心率离心率4、 抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.xyxyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图.2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.练习练习1:已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直轴，焦点在直线线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 .16通径的长度通径的长度|AB|= 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFP焦点弦长度公式：焦点弦长度公式：方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）二、讲授新课二、讲授新课特点特点:1.1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内, ,虽然它可以虽然它可以无限延伸无限延伸, ,但它没有渐近线但它没有渐近线; ;2.2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴, ,没有对称中心没有对称中心; ;3.3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; ;4.4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的, ,为为1;1;5.5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响. .P P越大越大, ,开口越开阔开口越开阔因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），解解:所以设方程为：所以设方程为：又因为点又因为点M M在在抛物线上抛物线上：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：例例：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求（，），求它的标准方程它的标准方程. .三、典例精析三、典例精析题型一：求抛物线的标准方程题型一：求抛物线的标准方程-待定系数法待定系数法 当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上，开口方向不定时开口方向不定时，设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0)，可避免可避免讨论讨论练习：P63 1、2、3想想一一想想 这是一道简单，但解法这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗你能给出它的几种解法吗？题型二：弦长问题题型二：弦长问题具体步骤由同学们给出具体步骤由同学们给出.法一法一:直接求两点坐标直接求两点坐标,计算弦长计算弦长(运算量一般较大运算量一般较大);法二法二:设而不求设而不求,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长(运算量一般运算量一般);法三法三:设而不求设而不求,数形结合数形结合,活用定义活用定义,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长.法四法四:纯几何计算纯几何计算,这也是一种较好的思维这也是一种较好的思维.【变式训练变式训练】A 练习2:2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.y2 = 8xX=316 （1）已知点）已知点A（-2，3）与抛物线与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P = 。 （2）抛物线）抛物线 的弦的弦AB垂直垂直x轴，若轴，若|AB|= ， 则焦点到则焦点到AB的距离为的距离为 。 42（3）已知直线）已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A、B两两 点，那么线段点，那么线段AB的中点坐标是的中点坐标是 。 四、课堂练习四、课堂练习5.点点A的的坐坐标标为为(3，1)，若若P是是抛抛物物线线 上上的的一一动动点，点，F是抛物线的焦点，则是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为的最小值为( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.(2)焦点在轴焦点在轴x上上且截直线且截直线2x-y+1=0所得的弦长为所得的弦长为6、已知、已知Q(4,0)，P为抛物线为抛物线 上任一点，上任一点，则则|PQ|的最小值为的最小值为( ) A. B. C. D.BC 五、归纳总结五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质：、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反射就从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束变成了平行光束. .作 业：课本课本 P64：A组组 3探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。例例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系,使反射镜使反射镜的顶点与原点重合的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径轴垂直于灯口直径.在在探照灯的轴截面探照灯的轴截面设设抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为:y2=2px由由条件可得条件可得A (40,30),代入代入方程得方程得:302=2p40解之解之: p=故所求故所求抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为: y2= x, 焦点为焦点为( ,0)24l例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1米后，水面宽多少米后，水面宽多少？xoA Ay若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？思考题思考题2BA（2,2）x2=2yB（1，y） y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=3代入得代入得